高中數(shù)學(xué)橢圓題型歸納

1、高中數(shù)學(xué)橢圓題型歸納一橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及定義1已知橢圓+=1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)距離為（）A2B3C5D72、已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，并且焦距為6，則實(shí)數(shù)m值為3求滿足下列條件橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點(diǎn)分別為（0，2），（0，2），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，） （2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，），（）4求滿足下列條件橢圓方程：（1）長(zhǎng)軸在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12，離心率等于；（2）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，0）和（0，8）；（3）橢圓一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)距離分別為10和45設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（6，4），則|PM|+|PF1|最大值為二、離心率1、已知F1、F2是橢

2、圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2=90°，則橢圓離心率取值范圍是2設(shè)F1、F2是橢圓E：+=1（ab0）左右焦點(diǎn)，P是直線x=a上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30°等腰三角形，則橢圓E離心率為（）ABCD3已知點(diǎn)F1、F2是雙曲線C：=1（a0，b0）左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|3|PF2|，則雙曲線C離心率取值范圍為（）A（1，+）B，+）C（1，D（1，三、焦點(diǎn)三角形1、已知橢圓+=1左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2=60°求PF1F2周長(zhǎng)求PF1F2面積2已知點(diǎn)（0，）

3、是中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，離心率為，橢圓左右焦點(diǎn)分別為F1和F2（1）求橢圓方程；（2）點(diǎn)M在橢圓上，求MF1F2面積最大值；（3）試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P，使=0，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由四、弦長(zhǎng)問(wèn)題1、已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m取值范圍（2）求被橢圓截得最長(zhǎng)弦長(zhǎng)度2、設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1斜率為1直線與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列（1）求E離心率；（2）設(shè)點(diǎn)P（0，1）滿足|PA|=|PB|，求E方程五、中點(diǎn)弦問(wèn)題1、 已知橢圓+=1弦AB中點(diǎn)M坐標(biāo)

4、為（2，1），求直線AB方程，并求AB長(zhǎng)六、定值、定點(diǎn)問(wèn)題1、已知橢圓C：9x2+y2=m2（m0），直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB中點(diǎn)為M（1）證明：直線OM斜率與l斜率乘積為定值；（2）若l過(guò)點(diǎn)（，m），延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l斜率；若不能，說(shuō)明理由七、對(duì)稱問(wèn)題1已知橢圓方程為，試確定m范圍，使得橢圓上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱高中數(shù)學(xué)橢圓題型歸納參考答案與試題解析一選擇題（共3小題）1（2016春馬山縣期末）已知橢圓+=1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)距離為（）A2B3C5D7

5、【分析】先根據(jù)條件求出a=5；再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離d等式即可得到結(jié)論【解答】解：設(shè)所求距離為d，由題得：a=5根據(jù)橢圓定義得：2a=3+dd=2a3=7故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓定義在解決涉及到圓錐曲線上點(diǎn)與焦點(diǎn)之間關(guān)系問(wèn)題中，圓錐曲線定義往往是解題突破口2（2015秋友誼縣校級(jí)期末）設(shè)F1、F2是橢圓E：+=1（ab0）左右焦點(diǎn)，P是直線x=a上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30°等腰三角形，則橢圓E離心率為（）ABCD 【分析】利用F2PF1是底角為30°等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根據(jù)P為直線x=a上一點(diǎn)，可建立方程，由此可求橢圓離心率【解答】解

6、：F2PF1是底角為30°等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P為直線x=a上一點(diǎn)2（ac）=2ce=故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定幾何量之間關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題3（2016衡水模擬）已知點(diǎn)F1、F2是雙曲線C：=1（a0，b0）左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|3|PF2|，則雙曲線C離心率取值范圍為（）A（1，+）B，+）C（1，D（1，【分析】由直角三角形判定定理可得PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，運(yùn)用雙曲線定義，可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，再由勾股定

7、理，即可得到ca，運(yùn)用離心率公式，即可得到所求范圍【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由雙曲線定義可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化為（|PF2|+a）2=2c2a2，即有2c2a24a2，可得ca，由e=可得1e，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線離心率范圍，注意運(yùn)用雙曲線定義和直角三角形性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題二填空題（共3小題）4已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，并且焦距為6，則實(shí)數(shù)m值為4或【分

8、析】由題設(shè)條件，分橢圓焦點(diǎn)在x軸上和橢圓焦點(diǎn)在y軸上兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合橢圓中a2b2=c2進(jìn)行求解【解答】解：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓焦距為2c=6，c=3，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，25m2=9，解得m=4；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m225=9，解得m=綜上所述，m取值是4或故答案為：4或【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想合理運(yùn)用5（2016漳州一模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（6，4），則|PM|+|PF1|最大值為15【分析】由橢圓定義可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|2a+|MF2|，由

9、此可得結(jié)論【解答】解：由題意F2（3，0），|MF2|=5，由橢圓定義可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|=10+|PM|PF2|10+|MF2|=15，當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)2，M三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故答案為：15【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題能力，屬于基礎(chǔ)題6已知F1、F2是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2=90°，則橢圓離心率取值范圍是【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)P即在已知橢圓上，又在以F1F2為直徑圓上因此以F1F2為直徑圓與橢圓有公式點(diǎn)，所以該圓半徑c大于或等于短半軸b長(zhǎng)度，由此建立關(guān)于a、c不等式，即可求得橢圓離心率取值范圍【解答】解P點(diǎn)滿足F1PF2

10、=90°，點(diǎn)P在以F1F2為直徑圓上又P是橢圓上一點(diǎn)，以F1F2為直徑圓與橢圓有公共點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓焦點(diǎn)以F1F2為直徑圓半徑r滿足：r=cb，兩邊平方，得c2b2即c2a2c22c2a2兩邊都除以a2，得2e21，e，結(jié)合0e1，e1，即橢圓離心率取值范圍是，1）故答案為：，1）【點(diǎn)評(píng)】本題在已知橢圓上一點(diǎn)對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)張角等于90度情況下，求橢圓離心率，著重考查了橢圓基本概念和解不等式基本知識(shí)，屬于中檔題三解答題（共9小題）7（2013秋瓊海校級(jí)月考）已知橢圓+=1左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2=60°求PF1F2周長(zhǎng)求PF1F2面積【分析】

11、根據(jù)橢圓方程求得c，利用PF1F2周長(zhǎng)L=2a+2c，即可得出結(jié)論；設(shè)出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2值，最后利用三角形面積公式求解【解答】解：a=5，b=3，c=4PF1F2周長(zhǎng)L=2a+2c=18；設(shè)|PF1|=t1，|PF2|=t2，則由橢圓定義可得：t1+t2=10在F1PF2中F1PF2=60°，t12+t222t1t2cos60°=28，可得t1t2=12，=3【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是熟練掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓定義，熟練利用解三角形一個(gè)知識(shí)求解問(wèn)題8（2015秋揭陽(yáng)月考）已知點(diǎn)（0，）是中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，離心

12、率為，橢圓左右焦點(diǎn)分別為F1和F2（1）求橢圓方程；（2）點(diǎn)M在橢圓上，求MF1F2面積最大值；（3）試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P，使=0，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）由題意設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率得b=，根據(jù)a2=b2+c2求出a值，即求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)（1）求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，求出點(diǎn)M縱坐標(biāo)范圍，即求出三角形面積最大值；（3）先假設(shè)存在點(diǎn)P滿足條件，根據(jù)向量數(shù)量積得，根據(jù)橢圓焦距和橢圓定義列出兩個(gè)方程，求出S值，結(jié)合（2）中三角形面積最大值，判斷出是否存在點(diǎn)P【解答】解：（1）由題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，由已知得，b=（2分）則e2=1=

13、，解得a2=6（4分）所求橢圓方程為+=1（5分）（2）令M（x1，y1），則S=|F1F2|y1|=2|y1|=|y1|（7分）點(diǎn)M在橢圓上，y1，故|y1|最大值為，（8分）當(dāng)y1=±時(shí)，S最大值為（9分）（3）假設(shè)存在一點(diǎn)P，使=0，（10分）PF1F2為直角三角形，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 （11分）又|PF1|+|PF2|=2a=2（12分）2，得2|PF1|PF2|=20，|PF1|PF2|=5，（13分）即S=5，由（1）得S最大值為，故矛盾，不存在一點(diǎn)P，使=0（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓方程求法以及橢圓性質(zhì)、向量數(shù)量積幾何意義，利用a、b、

14、c、e幾何意義和a2=b2+c2求出a和b值，根據(jù)橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)范圍求出相應(yīng)三角形面積最值，即根據(jù)此范圍判斷點(diǎn)P是否存在，此題綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)多，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力9（2015秋葫蘆島校級(jí)月考）求滿足下列條件橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點(diǎn)分別為（0，2），（0，2），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，） （2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，），（）【分析】（1）設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合c=2，即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【解答】解：（1）依題意，設(shè)所求橢圓方程為=1（ab0）因?yàn)辄c(diǎn)（4，3），在橢圓上，又c=2，得 ，解得a=6，b=4（10分）故所求橢圓方程是=1；（

15、2）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，），（），n=，橢圓方程為=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10（2012秋西安期末）求滿足下列條件橢圓方程：（1）長(zhǎng)軸在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12，離心率等于；（2）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，0）和（0，8）；（3）橢圓一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)距離分別為10和4【分析】（1）設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），運(yùn)用離心率公式和a，b，c關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，（m，n0），由題意代入點(diǎn)（6，0）和（0，8），解方程即可得到橢圓方程；（3）討論橢圓焦點(diǎn)位置，由題意可得ac=4，a+c=10

16、，解方程可得a，c，再由a，b，c關(guān)系解得b，即可得到橢圓方程【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），由題意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b=2，即有橢圓方程為+=1；（2）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，（m，n0），由題意代入點(diǎn)（6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有橢圓方程為+=1；（3）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），由題意可得ac=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b=2，即有橢圓方程為+=1；同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可得橢圓方程為+=1即有橢圓方程為+=1或+=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程和

17、性質(zhì)，主要考查橢圓方程求法，注意運(yùn)用橢圓方程正確設(shè)法，以及橢圓性質(zhì)運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題11（2010寧夏）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1斜率為1直線與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列（1）求E離心率；（2）設(shè)點(diǎn)P（0，1）滿足|PA|=|PB|，求E方程【分析】（I）根據(jù)橢圓定義可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，進(jìn)而根據(jù)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)表示出|AB|，進(jìn)而可知直線l方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入直線和橢圓方程，聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2進(jìn)而根據(jù)，求得a和b關(guān)系，進(jìn)而求得a和c關(guān)系，

18、離心率可得（II）設(shè)AB中點(diǎn)為N（x0，y0），根據(jù)（1）則可分別表示出x0和y0，根據(jù)|PA|=|PB|，推知直線PN斜率，根據(jù)求得c，進(jìn)而求得a和b，橢圓方程可得【解答】解：（I）由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l方程為y=x+c，其中設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組化簡(jiǎn)（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0則因?yàn)橹本€AB斜率為1，|AB|=|x1x2|=，得，故a2=2b2所以E離心率（II）設(shè)AB中點(diǎn)為N（x0，y0），由（I）知，由|PA|=|PB|，得kPN=1，即得c=3，

19、從而故橢圓E方程為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線中橢圓性質(zhì)以及直線與橢圓位置關(guān)系，涉及等差數(shù)列知識(shí)，考查利用方程思想解決幾何問(wèn)題能力及運(yùn)算能力12（2014春廣水市校級(jí)月考）已知橢圓+=1弦AB中點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），求直線AB方程，并求AB長(zhǎng)【分析】首先，根據(jù)橢圓對(duì)稱軸，得到該直線斜率存在，設(shè)其方程為y1=k（x2），然后聯(lián)立方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，并且借助于中點(diǎn)坐標(biāo)公式，確定斜率k值，然后，利用兩點(diǎn)間距離公式或弦長(zhǎng)公式，求解AB長(zhǎng)【解答】解：當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，不成立，故直線AB斜率存在，設(shè)其方程為y1=k（x2），聯(lián)立方程組，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k（12

20、k）x+4（12k）216=0，x1+x2=，2k（2k1）=1+4k2，k=，直線AB方程：x+2y4=0將k=代人（1+4k2）x2+8k（12k）x+4（12k）216=0，得x24x=0，解得x=0，x=4，A（0，），B（4，），|AB|=AB長(zhǎng)2【點(diǎn)評(píng)】本題屬于中檔題，重點(diǎn)考查了橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，屬于高考熱點(diǎn)和重點(diǎn)問(wèn)題13（2015新課標(biāo)）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m0），直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB中點(diǎn)為M（1）證明：直線OM斜率與l斜率乘積為定值；（2）若l過(guò)點(diǎn)（，m），延長(zhǎng)線段OM

21、與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l斜率；若不能，說(shuō)明理由【分析】（1）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出對(duì)應(yīng)直線斜率即可得到結(jié)論（2）四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論【解答】解：（1）設(shè)直線l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），將y=kx+b代入9x2+y2=m2（m0），得（k2+9）x2+2kbx+b2m2=0，則判別式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，則x1+x2=，則xM=，yM=kxM+b=，于是直線OM斜率kOM=，即kOMk=9，直線

22、OM斜率與l斜率乘積為定值（2）四邊形OAPB能為平行四邊形直線l過(guò)點(diǎn)（，m），由判別式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，即k2m29b29m2，b=mm，k2m29（mm）29m2，即k2k26k，則k0，l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)充要條件是k0，k3，由（1）知OM方程為y=x，設(shè)P橫坐標(biāo)為xP，由得，即xP=，將點(diǎn)（，m）坐標(biāo)代入l方程得b=，即l方程為y=kx+，將y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2×，解得k1=4或k2=4+，ki0，ki3，i=1，2，當(dāng)l斜率為4或4+時(shí)，四邊形OAPB能為平行四邊形【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓錐曲線相交問(wèn)題，聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間關(guān)系是解決本題關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，難度較大14（2013秋阜城縣校級(jí)月考）已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m取值范圍（2）求被橢圓截得最長(zhǎng)弦長(zhǎng)度【分析】（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，直線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組有解，等價(jià)于消掉y后得到x二次方程有解，故0，解出即可；（2）設(shè)所截弦兩端點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韋達(dá)定理可把弦長(zhǎng)|AB|表示為關(guān)