高中數(shù)學(xué)圓錐曲線之拋物線的常見題型

1、一、拋物線定義的應(yīng)用涉及到拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，反之也可以.【2012四川】已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（ ）A、 B、 C、 D、解析： 【2014 成都三診】已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則線段的長度為（A）6 （B）8 （C）10 （D）12答案：B解析：根據(jù)拋物線定義來求解，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則隨堂練習(xí)1、過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則解析：，則2、在直角坐標(biāo)系中，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線相交于兩點(diǎn)

2、，其中點(diǎn)在軸上方，若直線的傾斜角為，則的面積為_.解析：聯(lián)立和可解得二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程【2013全國II】設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案：C解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|x05，則x05.又點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以以MF為直徑的圓的方程為(xx0)(yy0)y0.將x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由2px0，得，解之得p2，或p8.所以C的方程為y24x或y216x

3、.故選C.三、拋物線的幾何性質(zhì)【2014全國I】設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】 D【解析】【2015成都三診】如圖，一隧道截面由一個(gè)長方形和拋物線構(gòu)成. 現(xiàn)欲在隧道拋物線拱頂上安裝信息采集裝置. 若位置對隧道底的張角最大時(shí)，采集效果最好，則采集效果最好的為止到的距離是（A）（B）（C） （D）答案： A解析： 建立如圖所示直角坐標(biāo)系，并過點(diǎn)作的垂線，垂足為，易知拋物線的方程為，設(shè)，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，故選.隨堂練習(xí)：如圖，正方形和正方形的邊長分別為，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過兩

4、點(diǎn)，則解析：，代入可求得四、拋物線綜合問題【2015 三診】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，和分別是橢圓和橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知的焦距為2，點(diǎn)在直線上，且，又當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上的射影為焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰在雙曲線的漸近線上. （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（II）若與共焦點(diǎn)，且的長軸與的短軸長度相等，求的取值范圍（III）若是常數(shù)，且，證明為定值.解析：（I）雙曲線的漸近線方程為，由題意知橢圓的半焦距，則又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且在漸近線上，故解之得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（II）與共焦點(diǎn)，且的長軸與的短軸長度相等則，即的方程為當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)為，則直線的解析式為，直線的解析式為分別聯(lián)立所在的橢圓解析式可得：又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.當(dāng)直線的斜率為零或者不存在時(shí)，有綜上，的取值范圍是（III）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)為所以由（II）可得，當(dāng)是常數(shù)時(shí)，為定值易知當(dāng)直線的斜率不存在或者為零時(shí)，上述結(jié)論也成立.【2015全國I】在直角坐標(biāo)系中，曲線直線交與兩點(diǎn)（）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；（）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由。解析：（）當(dāng)時(shí)，直線，故兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或者又，所以曲線