阻尼減振材料滯彈性位移場模型參數(shù)尋優(yōu)及計算

1、阻尼減振材料滯彈性位移場模型參數(shù)尋優(yōu)及計算曹友強1鄧兆祥1，2李軍1（1.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶4000302.汽車NVH及安全控制國家重點實驗室，重慶400039）摘*要：針對阻尼材料滯彈性位移場模型多參數(shù)、多目標(biāo)、非線性優(yōu)化問題，給出了一種粒子群算法與序列二次規(guī)劃法相結(jié)合的多參數(shù)變量尋優(yōu)解法，并將模型優(yōu)化結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型及試驗結(jié)果進行了比較?；贏DF數(shù)學(xué)模型建立了粘彈性集中參數(shù)系統(tǒng)及阻尼夾芯板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程，并進行了結(jié)構(gòu)模態(tài)響應(yīng)分析及阻尼預(yù)測。計算結(jié)果表明：該組合尋優(yōu)解法不僅能得到較好的最優(yōu)解，而且確定出的模型參數(shù)準(zhǔn)確可信,優(yōu)化后的ADF模型能很好的再現(xiàn)

2、阻尼材料的本構(gòu)特征。關(guān)鍵詞：阻尼材料；ADF模型；混合算法；多參數(shù)優(yōu)化；動力特性中圖分類號：TH113.1文獻標(biāo)識碼：A在工程實踐中，含阻尼材料的復(fù)合結(jié)構(gòu)常被廣泛用于抑制結(jié)構(gòu)的振動和噪聲1。粘彈性阻尼材料的本構(gòu)模型決定了這類結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程形式, 由此可見阻尼材料本構(gòu)模型的選用和計算尤為重要。由于粘彈性材料的本構(gòu)關(guān)系隨時間、頻率和溫度的變化而變化，使得粘彈性材料本構(gòu)模型變得復(fù)雜多樣，其參數(shù)優(yōu)化計算也變得比較繁瑣。目前大多數(shù)文獻2-5都是直接采用經(jīng)驗參數(shù)代入本構(gòu)模型進行計算, 缺少對模型參數(shù)的優(yōu)化選取。由Lesieutre 6-7于1995年提出的滯彈性位移場（Anelastic Displac

3、ements Fields ，ADF ）模型從位移場的角度出發(fā)，將總的位移場分為彈性部分和滯彈性部分。ADF 模型的輔助坐標(biāo)在單元之間是連續(xù)的, 體現(xiàn)了其位移場的特點，它能直接進行有限元解算，能很容易融入有限元動力學(xué)方程，因此受到眾多學(xué)者的青睞6-8。但是，ADF 模型各參數(shù)的確定是一個非線性、多變量、多目標(biāo)規(guī)劃，具有約束條件的優(yōu)化問題, 解決這一問題難度較大。針對此類問題的全局最優(yōu)解沒有任何數(shù)學(xué)條件可以表征,基于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃的優(yōu)化方法因其優(yōu)化結(jié)果易陷入局部極值而難以處理9，現(xiàn)代優(yōu)化算法如遺傳算法容易出現(xiàn)早熟狀態(tài)，導(dǎo)致收斂時間長，優(yōu)化失敗10。基于此，本文詳細(xì)給出了基于粒子群算法（PSO ）與

4、序列二次規(guī)劃法（SQP ）相結(jié)合的求解方法。首先利用PSO 算法的全局優(yōu)化功能開展全局搜索, 確定全局最優(yōu)解的可行位置，再用SQP 算法的局部精細(xì)搜索能力確定其局部最優(yōu)解。文中建立ADF 模型的優(yōu)化模型，獲取了ADF 模型的各參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，并與標(biāo)準(zhǔn)流變模型、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型兩種典型形式的松弛函數(shù)曲線進行擬合比較，由此驗證了優(yōu)化算法的可行性；通過*基金資助項目：國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃（863計劃）項目（2006AA110102）第一作者：曹友強男，博士研究生，1982年7月生。對懸臂阻尼夾芯板結(jié)構(gòu)的動力特性分析進一步驗證了本文優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。這可為阻尼類材料本構(gòu)模型的參數(shù)優(yōu)化問題提供參考。1阻尼材

5、料結(jié)構(gòu)ADF數(shù)學(xué)模型ADF 材料模型6-8是基于熱不可逆原理的連續(xù)場模型，用于描述粘彈性材料作一維剪切運動時的頻率特性和溫度特性。ADF 模型將粘彈性材料在頻域內(nèi)的復(fù)模量模型表示為：n2+j iG ( =G A 01+i 2+2i =1i （1）G *( 是粘彈性材料的復(fù)剪切模量，G A 0對應(yīng)于松弛彈性模量，i ，i ，代表第i 階ADF 模型的材料參數(shù)。n 是的非彈性位移場的個數(shù)的總數(shù)目。如果有n 階攝動量，則需要確定2n +1個參數(shù)。粘彈性材料ADF 模型中彈性部分和滯彈性部分的關(guān)系可以通過引入一系列耗散輔助變量x i a (i =1,., n 表示：x =x x i aeie n（2）

6、式子中，x 是總的位移場，x 是彈性位移場，x i a 是第i 個滯彈性位移場?？紤]到粘彈性材料頻變和溫變特性，并假定粘彈性材料的泊松比為定值，則由虛功原理可獲得含有粘彈性材料復(fù)合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型8為+K e x +K v G *( x =F M x（3）M 是結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣，K e 是結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣，K v 是粘性材料剛度矩陣。將x e 替代（3）式中的粘彈性材料勢能表達式中的x ，再結(jié)合(1式，則可得到ADF 模型表征的粘彈性結(jié)構(gòu)有限元方程：nM x +D x +(K e +K x K v vxa i=F（4）i式中，K v 是粘彈性材料非松弛剛度，K v =G K v ，G =G A 0(

7、1+i i ，ADF 模型中，描述粘彈性材料松弛行為的第i 個滯彈性場松弛方程7：C k K v x aa i +C i K v x i K v x =0（5）in式子中，耦合系數(shù)C k =(1+i/k，ii =1, 2n , k =1, 2n 。聯(lián)合（4）、（5），構(gòu)成粘彈性阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程：M x +D x +K x =F(6其中，M =M 0D 00，, F ，0D =0D F =aa 0x =col (x , x K e +K K 1, x n ，K =v ea K TeaK , aa D C 1n aa =diag (G C v G v ，1nK aa =diag (C 1G v

8、C n G v ，K ea =K vvK vv . K vv 。其中V 是由粘性材料剛度矩陣K v 的正特征值組成的對角陣，V 是以相應(yīng)的正交特征向量作為列的矩陣。引入輔助變量后, ADF 模型將復(fù)合結(jié)構(gòu)用二階線性模型加以描述, 從而可以利用有限元理論開展分析。2混合混合PSO-SQPPSO-SQP PSO-SQP算法算法ADF模型多參數(shù)優(yōu)化阻尼材料ADF模型參數(shù)的確定本身具有非線性，包括2n +1個參數(shù)變量,又同時需要對模型的實部和虛部兩個目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化擬合，是一種典型的多參數(shù)多目標(biāo)非線性優(yōu)化問題?？紤]成非線性有約束全局多目標(biāo)優(yōu)化問題:min f 1(x =f 1(x 1, x 2, ,

9、x 2n +1 min f 2(x =f 2(x 1, x 2, , x 2n +1 (7s . t . x 1, x 2, , x 2n +10其中, f 1(x 、f 2(x 為實部和虛部兩個目標(biāo)函數(shù)，x 為參數(shù)變量，n 為ADF模型設(shè)定階數(shù)。2.1混合優(yōu)化算法原理粒子群優(yōu)化算法11-12是一種基于群智能的全局優(yōu)化計算方法，具有收斂速度快、設(shè)置參數(shù)少、程序簡潔等特點, 但在優(yōu)化后期PSO 算法的收斂速度明顯變慢, 甚至處于停滯狀態(tài), 局部精細(xì)搜索能力有限。SQP 算法13在具有整體收斂性的同時保持局部超一次收斂性，是求解非線性規(guī)劃問題最優(yōu)秀的算法之一，但對初值的選取有較強的依賴性。為了克服

10、兩種算法缺點, 在PSO 算法的后期引入SQP 方法,利用SQP 方法整體收斂性和局部超一次收斂性來以獲得很好的全局最優(yōu)解。首先利用PSO 算法的全局搜索能力確定出接近最優(yōu)的可行解x 0，再將x 0作為SQP 算法的初始點，進行局部精細(xì)尋優(yōu)。在SQP 算法搜索過程中,設(shè)定最大搜索迭代次數(shù)K ,若超過最大搜索次數(shù),則表明SQP 算法陷入局部最優(yōu),同時說明上次PSO 算法提供給SQP 算法的結(jié)果不是一個良好的初值。此時結(jié)束SQP 算法, 同時在SQP 算法所得的最后一次解x 的較大范圍內(nèi)生成新的PSO 算法種群空間。由此循環(huán)計算，直到SQP 算法滿足正常收斂。整個PSO-SQP 混合算法操作在Ma

11、tlab 環(huán)境中編程實現(xiàn)。2.2優(yōu)化目標(biāo)模型阻尼材料的力學(xué)性能一般在頻域測定, 所以ADF 模型參數(shù)的確定也是在頻域中通過曲線擬合獲得。根據(jù)表達式（1），令x 1=G A 0, x 2=1, x 3=1, x 2n =n , x 2n +1=n 。設(shè)定ADF 模型在頻域中的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表達式：Nmin Re G ADF (x , f i Re G data (x , f i xF (x =(i =1Re G data (x , f i +Im G ADF (x , f i Im G data (x , f i Im G （8）data (x , f i 式子中x =(x 1, x 2, x 2

12、n +1 為未知參數(shù)向量，N 表示擬合的頻率截點，G GHM (x , f i 為ADF模型的復(fù)模量值，G data (x , f i 為阻尼材料通過試驗或者相關(guān)材料阻尼模型得到的復(fù)模量隨頻率變化曲線值。顯然，對于阻尼材料ADF 模型而言，上述目標(biāo)函數(shù)為在x i >0, (i =1, 22n +1 約束條件下的多變量優(yōu)化問題，并且目標(biāo)函數(shù)代入模型后表現(xiàn)出高度非線性，多極值的特點。3. 3.算例分析算例分析3.1ADF 模型參數(shù)尋優(yōu)為比較本文尋優(yōu)方法在優(yōu)化選取多參數(shù)問題的可行性，將ADF模型攝動項n 分別取2和4。將本文優(yōu)化得到的ADF模型與分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型、標(biāo)準(zhǔn)流變模型進行曲線擬合比較，見圖

13、1-2。采用文獻14描述的ZN-1阻尼材料，其力學(xué)性能參數(shù)模型為經(jīng)試驗數(shù)據(jù)15擬合得到的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型：G (t =4. 0+49. 8e 1685. 6t +1196. 2e 148314. 4t (Pa (10從ADF模型優(yōu)化結(jié)果與兩種形式的松弛函數(shù)及試驗結(jié)果的比較圖可以看出，本文的ADF模型參數(shù)的優(yōu)化效果明顯，模型優(yōu)化結(jié)果與松弛函數(shù)模型曲線很靠近，攝動項為4時的曲線要好于攝動項為2時的結(jié)果。對于ZN-1阻尼材料，ADF模型9參數(shù)優(yōu)化結(jié)果與試驗結(jié)果擬合較好,可以再現(xiàn)材料的本構(gòu)特征;對于粘彈性材料B，在整個擬合頻段內(nèi)，ADF模型攝動項為2和4的擬合效果非常接近。圖中符號G ，v 分別表示材料剪

14、切模量實部及材料損耗因子。 (s =(3. 6275+0. 2091s 0. 6752 ×105(Pa (9采用文獻16中描述的粘彈性材料B ，其力學(xué)性能參數(shù)模型為標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型：1ADF 模型與分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型、試驗結(jié)果在頻域0-1000Hz 的剪切模量實部及損耗因子比較曲線Fig.1The comparison curves of real part of shear modulus and loss factor among ADF model,fractional derivative model and tests with in frequency domain 0-1000

15、Hz 2ADF 模型與標(biāo)準(zhǔn)流變模型在頻域0-1000Hz 的剪切模量實部及損耗因子比較曲線Fig.2The comparison curves of real part of shear modulus and loss factor between ADF model andstandard rheologic model with in frequency domain 0-1000Hz表1ADF模型n 取4時各參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Table 1parameters optimization results of ADF model at n=4ZN-1阻尼材料的ADF模型參數(shù)粘彈性材料B的ADF

16、模型參數(shù)i1234G A 0(pa 5.000e5iiG A 0(pa 4.000e0ii3.2動力特性計算為進一步驗證ADF模型優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文結(jié)合ADF模型的數(shù)學(xué)模型，分別建立了二自由度粘彈性集中參數(shù)系統(tǒng)及阻尼夾芯板及的動力學(xué)模型，進行了模態(tài)響應(yīng)分析及阻尼性能預(yù)測，并與文獻結(jié)果進行比較。對于阻尼夾芯板，還將計算結(jié)果與基于迭代算法17的ANSYS分析結(jié)果進行了比較。采用文獻15中的集中參數(shù) 系統(tǒng)，如圖3。選用粘彈性材料B作為耗能材料。圖3粘彈性集中參數(shù)系統(tǒng)Fig. 3Viscoelastic lumped parameter system系統(tǒng)動力特性矩陣如下，計算結(jié)果見表2。5M =5

17、0, K 1051001e =105105, K =1030v 10。03采用文獻16中的阻尼夾芯板結(jié)構(gòu)，如圖3。參數(shù)定義為：板件長度L a =0. 37m ，寬度L b =0. 28m ，基板層為鋁合金，基板厚度h b =0. 0025m ，密度b =2700kg ×m 3，彈性模量E b =70Gpa ，泊松比b =0. 3；粘彈性層為ZN-1阻尼材料，厚度h v =0. 001m ，密度v =2500kg ×m 3，泊松比v =0. 3，材料力學(xué)性能模型見式(8,其ADF模型參數(shù)見表1；約束層為鋼板，厚度h c =0. 001m ，密度c =5400kg ×

18、m 3，彈性模量E c =140Gpa ，泊松比b =0. 3。計算結(jié)果見表3-4。通過算例計算表明，采用本文ADF模型優(yōu)化參數(shù)的計算結(jié)果與理論和實驗值都很靠近，計算精度相對較高。對于阻尼夾芯板結(jié)構(gòu)，由于文獻16中約束板根部粘貼有占約束板面積2.3%的壓電片,本文忽略，所以本文計算值與實驗值略有誤差，但與ANSYS計算值的 誤差在5%以內(nèi)，結(jié)果可信度較高。圖4阻尼夾芯板結(jié)構(gòu)Fig. 4damped sandwich structures4結(jié)論本文針對阻尼材料ADF模型多參數(shù)、多目標(biāo)、非線性，具有約束條件的優(yōu)化問題給出了一種新的組合算法尋優(yōu)求解方法，通過與標(biāo)準(zhǔn)流變模型、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型兩種形式的松弛

19、函數(shù)模型及試驗結(jié)果的擬合比較，表明本文的優(yōu)化方法可以得到較好的全局優(yōu)化解，且優(yōu)化效果明顯；將優(yōu)化結(jié)果引入到二自由度粘彈性集中參數(shù)系統(tǒng)及懸臂夾芯板結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析及阻尼計算表明，本文優(yōu)化算法得到的優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確度高，能準(zhǔn)確描述粘彈性材料的本構(gòu)關(guān)系。本文的研究方法可為阻尼類材料各類模型的參數(shù)優(yōu)化問題提供參考，同時對含粘彈性材料的復(fù)合結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的深入研究提供了有力保障。表2集中參數(shù)系統(tǒng)頻率及損耗因子Table 2Natural frequency and loss factor ofViscoelastic lumped parameter system頻率/Hz獻155.635856.20630

20、.35530.09149表3阻尼夾芯板固有頻率（Hz）Table 3Natural frequency of damped sandwich structures (Hz模態(tài)階次1817.1040.5080.60-表4阻尼夾芯板阻尼比（%）1813.019.015.78-參考文獻：1戴德沛著.阻尼技術(shù)的工程應(yīng)用M,清華大學(xué)出版社，1991. 2Liao,W.H., Wang, K.W. On the analysis of viscoelastic materials for active constrained layer damping treatments J.Sound and Vib

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