第二章Hermit插值法

1、數(shù)值分析第二章 插值法Hermite 插值插值,)(1010nnyyybxxxaxf處的函數(shù)值為在節(jié)點(diǎn)設(shè)值函數(shù)上的具有一階導(dǎo)數(shù)的插的在區(qū)間為設(shè),)()(baxfxP處必須滿足在節(jié)點(diǎn)顯然nxxxxP,)(10)(,)()1(一階光滑度上具有一階導(dǎo)數(shù)在若要求baxPiiiyxfxP)()(iiiyxfxP)()(ni, 1 ,0ni, 1 ,0-(1)個(gè)待定的系數(shù)可以解出22 n次的多項(xiàng)式可以是最高次數(shù)為因此12)(nxP次多項(xiàng)式作為插值函數(shù)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)就可以用311222n共個(gè)方程兩點(diǎn)三次兩點(diǎn)三次HermiteHermite插值插值FF例：例：設(shè)設(shè) x0 x1 x2, 已知已知 f(x0)、 f(x

2、1)、 f(x2) 和和 f (x1), 求多項(xiàng)求多項(xiàng)式式 P(x) 滿足滿足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且，且 P(x1) = f (x1), 并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。模仿模仿 Newton 多項(xiàng)式的思想，設(shè)多項(xiàng)式的思想，設(shè)解：解：首先，首先，P 的階數(shù)的階數(shù) = 3),()()()()()(221033xxxxxxxKxPxfxR!4)()()4(xfxK )()( )(,)(,)()(210102100100 xxxxxxAxxxxxxxfxxxxfxfxPA為待定系數(shù)，可由為待定系數(shù)，可由P(x1) = f (x1)確定確定)(,)(,)(210121001

3、101xxxxxxxfxxxxfxfA與與 Lagrange 分析分析完全類似完全類似應(yīng)滿足插值條件)(3xH003)(yxH113)(yxH003)(yxH113)(yxH 求求Hermite多項(xiàng)式的基本步驟：多項(xiàng)式的基本步驟： 寫出相應(yīng)于條件的、寫出相應(yīng)于條件的、 的組合形式；的組合形式；ii)()()()()(110011003xyxyxyxyxH 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè) 找出盡可能多的條件給出的根；找出盡可能多的條件給出的根；ii,其中其中1)(00 x0)(00 x1)(00 x0)(10 x0)(01x1)(11x0)(10 x0)(01x0)(11x0)(00 x0)(10 x0)(0

4、1 x0)(11 x0)(10 x0)(01 x1)(11 x 根據(jù)多項(xiàng)式的總階數(shù)和根的個(gè)數(shù)寫出表達(dá)式；根據(jù)多項(xiàng)式的總階數(shù)和根的個(gè)數(shù)寫出表達(dá)式；)()()(210baxxxx 根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)；根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)；1)(00 x0)(00 x由由可得可得310)(2xxa3100210)(2)(1xxxxxb)()()(210baxxxx21)(xx 310)(2xxx3100210)(2)(1xxxxx21021)()(xxxx102xxx10021xxx01021xxxx2101xxxx)()(21(201xlxl 最后完整寫出最后完整寫出H(

5、x)。)()()()()(110011003xyxyxyxyxH101121xxxxy2010 xxxx00 xxy2101xxxx2010 xxxx11xxy010021xxxxy2101xxxx兩點(diǎn)三次兩點(diǎn)三次HermiteHermite插值的誤差為插值的誤差為)()()(33xHxfxR0)()()(33iiixHxfxR0)()()(33iiixHxfxR1 , 0i因此可設(shè)的二重零點(diǎn)均為,)(,310 xRxx21203)()()(xxxxxKxR待定其中)(xK21203)()()()()(xtxtxKtHtft構(gòu)造輔助函數(shù)0)()()()()(21203xxxxxKxHxfxii

6、iii0)()()()()(21203xxxxxKxHxfx均是二重根個(gè)零點(diǎn)至少有因此5)(t連續(xù)使用4次Rolle定理，可得，,10 xx至少存在一點(diǎn)使得0)()4(1 , 0i0)(! 4)()()4()4(xKf即! 4)()()4(fxK所以,兩點(diǎn)三次Hermite插值的余項(xiàng)為2120)4(3)()(! 4)()(xxxxfxR10 xx以上分析都能成立嗎？上述余項(xiàng)公式成立上存在且連續(xù)時(shí)在當(dāng),)(10)4(xxxf一般的，總認(rèn)為次數(shù)越高，一般的，總認(rèn)為次數(shù)越高，逼近逼近f(x)f(x)的精度就越好，的精度就越好，但實(shí)際上并非如此。但實(shí)際上并非如此。2.6 分段低次插值分段低次插值 /*

7、 piecewise polynomial approximation */Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n

8、 越大，越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為越大，稱為Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次插值插值-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式的比較圖Runge現(xiàn)象現(xiàn)象從上圖可以看出，隨著從上圖可以看出，隨著n n的增加，的增加，L Ln n(x)(x)的計(jì)算結(jié)果和的計(jì)算結(jié)果和誤差的絕對(duì)值幾乎成倍的增加，這說(shuō)明當(dāng)誤差的絕對(duì)值幾乎成倍的增加，這說(shuō)明當(dāng)n n趨于無(wú)窮大趨于無(wú)窮大時(shí)，時(shí)， L Ln n(x)(x)在在-5-5，55上不收斂；上不收斂；-4

9、-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的圖象分段線性插值)(1xLy 的一條折線實(shí)際上是連接點(diǎn)niyxkk, 1 , 0,),(也稱折線插值也稱折線插值, ,如右圖如右圖曲線的光滑性較差曲線的

10、光滑性較差在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn) 但如果增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量但如果增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量減小步長(zhǎng)減小步長(zhǎng), ,會(huì)改善插值效果會(huì)改善插值效果上連續(xù)在若,)(baxf因此因此)(lim10 xLh)(xf則則 分段線性插值分段線性插值 /* piecewise linear interpolation */在每個(gè)區(qū)間在每個(gè)區(qū)間 上，用上，用1階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf,for 1 iixxx記記 ，易證：當(dāng)，易證：當(dāng) 時(shí)，時(shí)，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。 分段分段Hermite插值插值 /* Hermite piecewise polynomials */給定給定nnnyyyyx