大學(xué)物理課件考研備考期末復(fù)習(xí)高斯定理

1、復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律 庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理 電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算2rdqEer 01=4（1）取坐標(biāo)系）取坐標(biāo)系 yyxxdEEdEE（5）分別積分）分別積分 jEiEEyx （6）合場(chǎng)強(qiáng)：）合場(chǎng)強(qiáng)： （4）根據(jù)幾何關(guān)系統(tǒng)一積分變量）根據(jù)幾何關(guān)系統(tǒng)一積分變量 （2）選積分元，寫出）選積分元，寫出 Ed（3）寫出）寫出 的投影分量式的投影分量式 EdyxdEdE ,dE 面密度為面密度為 的的圓板在軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度圓板在軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 解解rrqd2d2/3220)(d41dxrqxE

2、EEdixRxRqE)(1 22/12220PrxOEd2/3220)(d2xrrrx)(1 22/1220 xRxRxrrrx02/3220)(d2例例Rrd(1) 當(dāng)當(dāng)R x ，圓板可視為無限大薄板，圓板可視為無限大薄板02E(2)(2)補(bǔ)償法補(bǔ)償法E1E1E1E2E2E2ixRxRx)(1)(122/12222/1221012RREEE1R2RpxO討論討論221/2012()xEiRx 解解EqFEqF相對(duì)于相對(duì)于O O點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩lFlFMsin21sin21qlEsinEpEl qM(1)力偶矩最大力偶矩最大 2力偶矩為零力偶矩為零 (電偶極子處于穩(wěn)定平衡電偶極子處于穩(wěn)定平衡)

3、0(2)(3)力偶矩為零力偶矩為零 (電偶極子處于非穩(wěn)定平衡電偶極子處于非穩(wěn)定平衡)EqqlFFP求電偶極子在均勻電場(chǎng)中受到的力偶矩？求電偶極子在均勻電場(chǎng)中受到的力偶矩？ 討論討論O高斯高斯一一 電場(chǎng)線（電場(chǎng)的圖示法）電場(chǎng)線（電場(chǎng)的圖示法） 1 1） 曲線上每一點(diǎn)曲線上每一點(diǎn)切線切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)電場(chǎng)方向方向?yàn)樵擖c(diǎn)電場(chǎng)方向. . SNEEd/d規(guī)規(guī) 定定ES2 2） 通過垂直于電場(chǎng)方向單位面積電場(chǎng)線數(shù)為通過垂直于電場(chǎng)方向單位面積電場(chǎng)線數(shù)為該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小. .典型線典型線幾種典型的電場(chǎng)線分布幾種典型的電場(chǎng)線分布+平板平板帶電平行板電容器的電場(chǎng)線帶電平行板電容器的電場(chǎng)線 + +

4、+ + + + + + + + + + 電場(chǎng)電場(chǎng)線的線的特點(diǎn)特點(diǎn) 1） 始于正電荷始于正電荷,止于負(fù)電荷止于負(fù)電荷. 2） 電場(chǎng)線不相交電場(chǎng)線不相交. 3） 靜電場(chǎng)電場(chǎng)線不閉合靜電場(chǎng)電場(chǎng)線不閉合.通量通量ES二二 電場(chǎng)強(qiáng)度通量電場(chǎng)強(qiáng)度通量 通過電場(chǎng)中某一個(gè)面的電場(chǎng)線數(shù)叫做通過這個(gè)通過電場(chǎng)中某一個(gè)面的電場(chǎng)線數(shù)叫做通過這個(gè)面的面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量電場(chǎng)強(qiáng)度通量. . 均勻電場(chǎng)均勻電場(chǎng) ， 垂直平面垂直平面EES ecoseES 均勻電場(chǎng)均勻電場(chǎng) ， 與平面夾角與平面夾角EneSEeES非均勻非均勻EE 非均勻電場(chǎng)強(qiáng)度電通量非均勻電場(chǎng)強(qiáng)度電通量 sSEdcosdeesSEde0d,2e220d,2e11S

5、EddenddeSS 為封閉曲面？為封閉曲面？SSdEne1dS2dS22E11E引入引入面積矢量面積矢量閉合閉合SSSESEdcosde 閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量SEdde 例例1 如圖所示如圖所示 ，有一，有一個(gè)三棱柱體放置在電場(chǎng)強(qiáng)度個(gè)三棱柱體放置在電場(chǎng)強(qiáng)度 的勻強(qiáng)電的勻強(qiáng)電場(chǎng)中場(chǎng)中 . 求通過此三棱柱體的求通過此三棱柱體的電場(chǎng)強(qiáng)度通量電場(chǎng)強(qiáng)度通量 .1CN200iExyzEoESdESxyzEoPQRNM解解下后前eee 0dsSE左左左左ESESsSEcosd enenene左右右右ESESsSEcosd e0 eeeeee下右左后前下右左eee 后前eee 練習(xí)練

6、習(xí)求通過均勻電場(chǎng)中半球面的電通量求通過均勻電場(chǎng)中半球面的電通量。EROnnnn1S2S 11SSSdE 2SE 21RES 課堂練習(xí)課堂練習(xí)高斯高斯+Sd 點(diǎn)電荷位于球面中心點(diǎn)電荷位于球面中心20 4rqESSSrqSEd 4d20e0eq r三三 高斯定理高斯定理 SeSEd以點(diǎn)電荷為例建立以點(diǎn)電荷為例建立e eq q 關(guān)系關(guān)系0 0 qqC. F Gauss (17771855) ？+ 點(diǎn)電荷在任意封閉曲面內(nèi)點(diǎn)電荷在任意封閉曲面內(nèi)cosd 4d20eSrq 20d 4rSq00ed 4qqSdSdSdrSdrSdd2其中立體角其中立體角 e 與曲面的形狀及與曲面的形狀及 q 在曲面內(nèi)的位置

7、無關(guān)在曲面內(nèi)的位置無關(guān) 結(jié)論結(jié)論: q 點(diǎn)電荷在封閉曲面之外點(diǎn)電荷在封閉曲面之外2dS2E0dd111SE0dd222SE0dd210dSSE1dS1E0e eq多個(gè)多個(gè) 由多個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)由多個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)21EEE SiiSSESEdde （外）內(nèi)）iSiiSiSESEdd( 內(nèi)）（內(nèi)）(0e1diiiSiqSE0d （外）iSiSE1qiq2qsSdE定理定理三三 高斯定理高斯定理niiSqSE10e1d請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 與那些電荷有關(guān)與那些電荷有關(guān) ？ Es2 2）哪些電荷對(duì)閉合曲面哪些電荷對(duì)閉合曲面 的的 有貢獻(xiàn)有貢獻(xiàn) ？e高斯高斯定理定理庫(kù)侖定律

8、庫(kù)侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理 在真空中在真空中,通過任一閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量通過任一閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量,等于該等于該曲面曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以 .0高斯面高斯面注意注意 a. 是閉合面各面元處的電場(chǎng)強(qiáng)度，是閉合面各面元處的電場(chǎng)強(qiáng)度，是由全部電是由全部電荷（荷（面內(nèi)外電荷面內(nèi)外電荷）共同產(chǎn)生的矢量和，而過曲面的）共同產(chǎn)生的矢量和，而過曲面的通量由曲面內(nèi)的電荷決定。通量由曲面內(nèi)的電荷決定。E 因?yàn)榍嫱獾碾姾桑ㄈ缫驗(yàn)榍嫱獾碾姾桑ㄈ?）對(duì)閉合曲面提供的通量有正有對(duì)閉合曲面提供的通量有正有負(fù)才導(dǎo)致負(fù)才導(dǎo)致 對(duì)整個(gè)閉合曲面貢對(duì)整個(gè)閉合曲面貢獻(xiàn)的通

9、量為獻(xiàn)的通量為0。4q4q1q2q3q4q iseqSdE01 注意注意b . 對(duì)連續(xù)帶電體，高斯定理為對(duì)連續(xù)帶電體，高斯定理為表明：表明：電場(chǎng)線從正電荷發(fā)出，穿出閉合電場(chǎng)線從正電荷發(fā)出，穿出閉合曲面曲面, ,所以所以正電荷是靜電場(chǎng)的源正電荷是靜電場(chǎng)的源。靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)表明：表明：有電場(chǎng)線穿入閉合曲面而終止于有電場(chǎng)線穿入閉合曲面而終止于負(fù)電荷，所以負(fù)電荷，所以負(fù)電荷是靜電場(chǎng)的尾負(fù)電荷是靜電場(chǎng)的尾。 dqSdE01 00ieq 00 eiq c .結(jié)論結(jié)論注意注意 iseqSdE01 思考思考1S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷 和和 的靜電場(chǎng)中，做如

10、下的三的靜電場(chǎng)中，做如下的三個(gè)閉合面?zhèn)€閉合面 求求通過各閉合面的電通量通過各閉合面的電通量. .,321SSSqq思考思考 將將 從從 移到移到2qABePs點(diǎn)點(diǎn) 電場(chǎng)強(qiáng)度是否變化電場(chǎng)強(qiáng)度是否變化？穿過高斯面穿過高斯面 的的 是否變化是否變化？2q2qABs1qP*應(yīng)用應(yīng)用四四 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用 iseqSdE01 1. 利用利用高斯定理求某些電通量高斯定理求某些電通量0 iq0 SdESe021 SS 021 )RE(S 21RES EROnnnn1S2S例：設(shè)均勻電場(chǎng)例：設(shè)均勻電場(chǎng) 和半徑和半徑R為的半球面的軸平行，為的半球面的軸平行， 計(jì)算通過半球面的電通量。計(jì)算通過半球面的

11、電通量。E 應(yīng)用應(yīng)用2 iseqSdE01 當(dāng)場(chǎng)源分布具有高度對(duì)稱性時(shí)求場(chǎng)強(qiáng)分布當(dāng)場(chǎng)源分布具有高度對(duì)稱性時(shí)求場(chǎng)強(qiáng)分布 2.求解的關(guān)鍵是選取求解的關(guān)鍵是選取適當(dāng)適當(dāng)?shù)母咚姑?。常見的具有?duì)的高斯面。常見的具有對(duì)稱性分布的源電荷有：稱性分布的源電荷有：球?qū)ΨQ分布：球?qū)ΨQ分布：包包括均勻帶電的球括均勻帶電的球面，球體和多層面，球體和多層同心球殼等同心球殼等無限大平面電荷：無限大平面電荷：包括無限大的均包括無限大的均勻帶電平面，平勻帶電平面，平板等。板等。軸對(duì)稱分布：軸對(duì)稱分布：包包括無限長(zhǎng)均勻帶括無限長(zhǎng)均勻帶電的直線，圓柱電的直線，圓柱面，圓柱殼等面，圓柱殼等 四四 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用步驟步

12、驟步步 驟驟1.進(jìn)行對(duì)稱性分析進(jìn)行對(duì)稱性分析，即由電荷分布的對(duì)稱性，分析場(chǎng)強(qiáng)分，即由電荷分布的對(duì)稱性，分析場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性，判斷能否用高斯定理來求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布；布的對(duì)稱性，判斷能否用高斯定理來求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布；2.根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作適當(dāng)?shù)母咚姑孢m當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：，要求?.計(jì)算計(jì)算電通量電通量和高斯面內(nèi)所包圍的和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和電荷的代數(shù)和，最后由，最后由高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。 iseqSdE01 四四 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用待求場(chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)應(yīng)在此高斯面上，待求場(chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)應(yīng)在此高斯面上，穿過該高斯面的電通量容易計(jì)算。穿過該高斯面的電通

13、量容易計(jì)算。一般地，高斯面各面元的法線矢量一般地，高斯面各面元的法線矢量n與與E平行平行或或垂直垂直，n與與E平行時(shí)，平行時(shí)，E的大小要求處處相等，使得的大小要求處處相等，使得E能提到積分能提到積分號(hào)外面；號(hào)外面；例例+OR例例2 2 均勻帶電球殼的電場(chǎng)強(qiáng)度均勻帶電球殼的電場(chǎng)強(qiáng)度0d1SSE0E02dQSESr1S20 4rQE02 4QErr2s 一半徑為一半徑為 , 均勻帶電均勻帶電 的薄的薄球殼球殼 . 求球殼內(nèi)外任意點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)求球殼內(nèi)外任意點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng) 度度 RQ20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2）+oxyz例例3 3 無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度下

14、底）上底）柱面）(dd dsssSESESE選取閉合的柱形高斯面選取閉合的柱形高斯面 無限長(zhǎng)均勻帶電直線，單位長(zhǎng)度上的電荷，即無限長(zhǎng)均勻帶電直線，單位長(zhǎng)度上的電荷，即電荷線密度為電荷線密度為 ，求距直線為，求距直線為 處的電場(chǎng)強(qiáng)度處的電場(chǎng)強(qiáng)度. .r對(duì)稱性分析：對(duì)稱性分析：軸對(duì)稱軸對(duì)稱解解hSSEd柱面）(dsSEneneneE+r0hrE0 20 2hrhE 柱面）(ddsSSESE+oxyzhneE+r例例3 3 無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

15、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 例例4 無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度 無限大均勻帶電平面，單位面積上的電荷，即電無限大均勻帶電平面，單位面積上的電荷，即電荷面密度為荷面密度為 ，求距平面為，求距平面為 處的電場(chǎng)強(qiáng)度處的電場(chǎng)強(qiáng)度. .r選取閉合的柱形高斯面選取閉合的柱形高斯面02E對(duì)稱性分析：對(duì)稱性分析： 垂直平面垂直平面E解解0dSSES底面積底面積 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

16、+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + SEESSS20SE 02EEEEEEO)0(x000000拓展拓展無無限限大大帶帶電電平平面面的的電電場(chǎng)場(chǎng)疊疊加加問問題題練習(xí)練習(xí)位于中位于中 心心 q過每一面的通量過每一面的通量q1立方體邊長(zhǎng)立方體邊長(zhǎng) a，求，求位于一頂點(diǎn)位于一頂點(diǎn) q06 qe 0240qe課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：密立根密立根密立根測(cè)定電子電荷的實(shí)驗(yàn)密立根測(cè)定電子電荷的實(shí)驗(yàn)1909年密立根測(cè)量電子電荷；年密立根測(cè)量電子電荷；1923年獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)。年獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)。方法：觀察均勻電場(chǎng)中帶電油滴的運(yùn)動(dòng)。方法：觀察均勻電場(chǎng)中帶電油滴的運(yùn)動(dòng)。不加電場(chǎng)時(shí)不加電場(chǎng)時(shí)油滴在重力和阻力的油滴在重力和阻力的作用下，最后得到終作用下，最后得到終極速度。極速度。0 61 rvmg rmgv 61由此式可從實(shí)驗(yàn)中測(cè)量油滴的質(zhì)量。由此式可從實(shí)驗(yàn)中測(cè)量油滴的質(zhì)量。加電場(chǎng)時(shí)加電場(chǎng)時(shí)油滴在重力、阻力和油滴在重力、阻力和電場(chǎng)力的作用下，最電場(chǎng)力的作用下，最后也得到終極速度。后也得到終極速度。0 62 qErvmg rqEmgv62 因而可得油滴的電荷為因而可得油滴的電荷為 Evvrq216 密立根油滴實(shí)驗(yàn)的結(jié)果