西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 線性代數(shù) 二次型

1、上節(jié)課內(nèi)容復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容復(fù)習(xí)(1)(1)特征值和特征向量的定義特征值和特征向量的定義(3)(3)相似矩陣的概念相似矩陣的概念(4)(4)矩陣對角化的條件矩陣對角化的條件(2)(2)特征值和特征向量的求法特征值和特征向量的求法(5)(5)矩陣對角化的方法矩陣對角化的方法 . n1 + n2 + + ns = n. ：求出矩陣：求出矩陣 A 的所有特征值，設(shè)的所有特征值，設(shè) A有有 s 個不同的特征值個不同的特征值 1 , 2 , , s ，它們的重，它們的重數(shù)分別為數(shù)分別為 n1 , n2 , , ns , 對對 A 的每個特征值的每個特征值 i ,求求(A - - i E)x=0的基礎(chǔ)解系的基

2、礎(chǔ)解系, 設(shè)為設(shè)為iiniip,p,p21( i = 1, 2, , s). ),(21222211121121ssnssnn,p,pp,p,p,pp,ppP),diag(212211 snssnn ，以這些向量為列構(gòu)，以這些向量為列構(gòu)并把它們正交化、單位化，仍記并把它們正交化、單位化，仍記為為iiniip,p,p21造矩陣造矩陣則則 P 為正交矩陣，且為正交矩陣，且 P- -1AP = .),1)(5)(2( 設(shè)設(shè)120222023A求正交矩陣求正交矩陣 P , 使使 P- -1AP 為對角矩陣為對角矩陣.A 的特征多項式為的特征多項式為120222023E|A所以所以 A 的三個特征值為的

3、三個特征值為: . 521321,當(dāng)當(dāng)11時時, 解方程組解方程組, 0)(1xEA即即, 0220232024321xxx得得,2211p當(dāng)當(dāng)22時時, 解方程組解方程組, 0)(2xEA即即, 0120202021321xxx得得,2122p當(dāng)當(dāng)53時時, 解方程組解方程組, 0)(3xEA即即, 0420232022321xxx得得.1223p.122311333ppe 顯然顯然, p1 , p2 , p3 兩兩正交兩兩正交, 現(xiàn)把它們單位化現(xiàn)把它們單位化.令令,221311111ppe,212311222ppe再令再令,313232323132323231)(321,e,eeP則則 P

4、 為正交矩陣為正交矩陣, 且有且有.APP5211),2() 1(2 設(shè)設(shè),011101110A求正交矩陣求正交矩陣 P , 使使 P- -1AP 為對角矩陣為對角矩陣.A 的特征多項式為的特征多項式為111111E|A所以所以 A 的三個特征值為的三個特征值為: . 12321,當(dāng)當(dāng)21時時, 解方程組解方程組, 0)(1xEA即即, 0211121112321xxx得得,1111p當(dāng)當(dāng)132時時, 解方程組解方程組, 0)(2xEA即即, 0111111111321xxx得得,211,01132pp.211611333ppe 顯然顯然, p1 , p2 , p3 兩兩正交兩兩正交, 現(xiàn)把它

5、們單位化現(xiàn)把它們單位化.令令,111311111ppe,011211222ppe再令再令,62031612131612131)(321,e,eeP則則 P 為正交矩陣為正交矩陣, 且有且有.APP1121在求正交矩陣在求正交矩陣 P 把對稱矩陣把對稱矩陣 A 對角化時，對角化時，若若 A 有重特征值，在求該重特征值對應(yīng)的有重特征值，在求該重特征值對應(yīng)的特征向量時，可直接求出正交的特征向量，特征向量時，可直接求出正交的特征向量，這樣可避免正交化過程，從而簡化計算這樣可避免正交化過程，從而簡化計算.設(shè)特征值設(shè)特征值 3 對應(yīng)的特征向量為對應(yīng)的特征向量為值所對應(yīng)的特征向量正交值所對應(yīng)的特征向量正交,

6、 故故, 03211xxx,xp即即 x 的各分量是上面的齊次線性方程組的非零解的各分量是上面的齊次線性方程組的非零解.求得這個方程組的基礎(chǔ)解系為求得這個方程組的基礎(chǔ)解系為x = (x1 , x2 , x3)T ,由于實對稱矩陣的不同的特征由于實對稱矩陣的不同的特征 求一個三階實對稱矩陣求一個三階實對稱矩陣 A, 它的特征它的特征且特征值且特征值 6 對應(yīng)的一個特征向量為對應(yīng)的一個特征向量為.,pT1) 111 (值為值為 6 , 3 , 3,101011111321),p,p(pP.10101132p,p取取 p2 , p3 為特征值為特征值 3 對應(yīng)的兩個線性無關(guān)對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征向

7、量的特征向量, 并令并令,101011111)(321,p,ppP.3231313132313131311P則則,3361APP因而因而.4111411143361PPA 設(shè)設(shè) A 為為 n 階對稱的正交矩陣階對稱的正交矩陣, 且且 1為為 A 的的 r 重特征值重特征值. 求求 A 的相似對角矩陣的相似對角矩陣; 求求 | A - - 3E |. 由于由于 A 為為 n 階對稱的正交矩陣階對稱的正交矩陣, 故故 重特征值重特征值, 因而因而 A 的相似對角矩陣為的相似對角矩陣為 由于由于 1 為為 A 的的 r 重特征值重特征值, 故故 - -1 為為A的的 n - - r A必能相似于對角

8、矩陣必能相似于對角矩陣, 且且設(shè)設(shè)為為 A 的實特征值的實特征值, p 為對應(yīng)的實為對應(yīng)的實特征向量特征向量, 則則Ap = p .因而因而(Ap)T(Ap) = pTATAp = pTp = | p |2.又又(Ap)T(Ap) = (p)T(p) = 2(pTp) = 2 | p |2,所以所以(2- -1) | p |2= 0 .由于由于 p 0, 因而因而= 1 . 證明證明證明證明證畢證畢證畢證畢證明若證明若證明若證明若 A A 為為為為 n n 階對稱的正交矩陣階對稱的正交矩陣階對稱的正交矩陣階對稱的正交矩陣, , 則則則則A A 的特征值的特征值的特征值的特征值只能為只能為只能為

9、只能為 1. 1. 由由 (1) 可知可知, A 的特征多項式為的特征多項式為 | A - - E | = (1 - - )r (1 + )n- -r ,故故 | A - - 3E | = (1 - - 3 )r (1 + 3 )n- -r = (- -1)r 22n - - r .A = diag(1 , , 1, - -1 , , - -1).r 個個(n - - r) 個個 設(shè)設(shè),2112A求求 An .因因 A 對稱，故對稱，故 A 可對角化，即有可逆可對角化，即有可逆矩陣矩陣 P 及對角陣及對角陣 ，使，使 P- -1AP = .于是于是A = P P- -1 ，從而從而An = P

10、 nP- -1 .由由, ) 3)(1(2112|EA得得 A 的特征值的特征值 1 = 1， 2 = 3 .于是于是.3001,3001nn當(dāng)當(dāng) 1 = 1 時，時， 解方程解方程 (A E )x = 0，即，即, 0111121xx得得;111p當(dāng)當(dāng) 2 = 3 時，時， 解方程解方程 (A 3E )x = 0，即，即, 0111121xx得得.112 p令令,1111),(21ppP再求出再求出.1111211P于是于是111130011111211nnPPA.3131313121nnnn 設(shè)設(shè),542452222 A求正交矩陣求正交矩陣 P , 使使 P- -1AP 為對角矩陣為對角矩

11、陣. 12221222131P 4121APP二次曲線二次曲線022211222221122111 cxbxbxaxxaxa ,cossin,sincos yxyyxx.222222221122111ynxmxaxxaxa 背景：背景：其中其中), 2, 1,(njiaij 稱為二次稱為二次型的型的系數(shù)系數(shù). . .問題：問題：尋求可逆的線性變換尋求可逆的線性變換 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111使二次型只含平方項使二次型只含平方項 2222211nnykykykf 當(dāng)二次型的當(dāng)二次型的系數(shù)為復(fù)數(shù)系數(shù)為復(fù)數(shù)時，時， nxxx

12、f,21復(fù)二次型復(fù)二次型，當(dāng)二次型的系數(shù)為，當(dāng)二次型的系數(shù)為實數(shù)實數(shù)時，時， nxxxf,21 稱為稱為稱為稱為實二次型實二次型. .（1）用和號表示）用和號表示 njijiijnxxaxxxf1,21),(取取 aij = aji =kij/22221122222212211121122111nnnnnnnnnnnxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxa )()()(),(2211222212121212111121nnnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxxxf nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211

13、121, nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa,x,xx2121222211121121)( 若記若記 A = (aij)nn , x = (x1 , x2 , , xn)T , 則則 ,)(T1121Axxxxa,x,xxfjinjijnin(2) 式所表示的二次型可以表示成式所表示的二次型可以表示成其中其中 AT = A 為實對稱矩陣為實對稱矩陣, 稱稱 . 稱矩陣稱矩陣 A 的秩的秩 . （2 2）用矩陣表示）用矩陣表示例例1 1將二次型將二次型 寫成矩陣形式寫成矩陣形式. .32312124232221213222),(xxxxxxxxxxxxxfn 例例2 2 已知二次型已知二次

14、型 的秩為的秩為2,2,求參數(shù)求參數(shù)c c。32312123222132166255),(xxxxxxcxxxxxxf解：二次型解：二次型 的對稱矩陣為的對稱矩陣為 fcA333513152)(AR0A3c由由，知，知解得解得主要問題：主要問題：Cyx ),(11jiijjnjiijniaaxxaf用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟: :;, . 1AAxxfT求出將二次型表成矩陣形式;, . 221nA的所有特征值求出;, . 321n征向量求出對應(yīng)于特征值的特;, , . 4212121nnnC記得單位化正交化將特征向量., . 52211nnyyff

15、Cyx的標(biāo)準(zhǔn)形則得作正交變換例例3 3 求正交變換求正交變換 ，化二次型，化二次型Pyx 32212221442xxxxxxf為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出方程為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出方程 f =1表示何種二次曲面。表示何種二次曲面。二次型的矩陣為二次型的矩陣為 020212022A解：解： 1 1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值)2)(4)(1(20212022EAA A的特征值為的特征值為 241321，特征多項式為特征多項式為 2 2求特征向量求特征向量當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系212111()0iAE X當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 得基得基礎(chǔ)

16、解系礎(chǔ)解系23212 ,212 3 3將特征向量正交化、單位化將特征向量正交化、單位化212311p取取,1,2,3iiipi得得122312p221313p234,2 ()0iAE X于是所求的正交變換為于是所求的正交變換為yx21222112231方程方程 f =1表示的二次曲面為表示的二次曲面為單葉雙曲面單葉雙曲面。所化二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：所化二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為： 23222124yyyf12222121231P23222142yyyAPyPyAxxTTT232221zzzf如果希望把負(fù)的特征值放在中間，則只需令如果希望把負(fù)的特征值放在中間，則只需令 此時新的二次型方程就成為此時新的二次型方

17、程就成為進(jìn)一步可得二次型的規(guī)范形為：進(jìn)一步可得二次型的規(guī)范形為： 例例4 4 怎樣將二次方程怎樣將二次方程 ，通過變量的，通過變量的坐標(biāo)變換化簡為只含有平方項的二次齊次多項式坐標(biāo)變換化簡為只含有平方項的二次齊次多項式? ? 165522xyyx二次型的矩陣為二次型的矩陣為 5335A1 1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值)8)(2(161053352 EAA A的特征值為的特征值為 8221 ，特征多項式為特征多項式為 2 2求特征向量求特征向量當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系21 ()0iAE X 111 當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組

18、 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系82 ()0iAE X 112 3 3將特征向量正交化、單位化將特征向量正交化、單位化 11221p取取得得 11222p)2 , 1(, ipiii 于是所求的正交變換為于是所求的正交變換為所化二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：所化二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為： 2/22/22/22/2P1822221 yyf幾何角度幾何角度首先做出二次方程首先做出二次方程165522 xyyx表示的圖像表示的圖像若將坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)若將坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)4545度，得新坐標(biāo)系度，得新坐標(biāo)系yxyxyyxyxx222245cos45sin222245sin45cos將上式代入方程就得只含平方項二次齊次多項式：將上式

19、代入方程就得只含平方項二次齊次多項式： 22281xy旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：yxyx22222222156522 yxyx1822221 yy在平面上通過坐標(biāo)變換，實質(zhì)上是一個可逆的在平面上通過坐標(biāo)變換，實質(zhì)上是一個可逆的線性變換，使線性變換，使二次型的主軸和坐標(biāo)軸重合二次型的主軸和坐標(biāo)軸重合就能將就能將二次齊次多項式化簡成只含有平方項的標(biāo)準(zhǔn)形，二次齊次多項式化簡成只含有平方項的標(biāo)準(zhǔn)形，這也是平面上將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的這也是平面上將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的幾何意義幾何意義。從幾何圖形上尋找二次型主軸的問題，在線性從幾何圖形上尋找二次型主軸的問題，在線性代數(shù)中就等價于：代數(shù)中就等價于：使矩陣

20、使矩陣A A經(jīng)過正交變換經(jīng)過正交變換實現(xiàn)對角實現(xiàn)對角化?；?在使用在使用MATLABMATLAB時，上述步驟可用時，上述步驟可用eigeig函數(shù)來完成。函數(shù)來完成。其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為：)(,AeiglamdaP Plamda和和分別給出正交矩陣和特征值。分別給出正交矩陣和特征值。 把例把例4 的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 5335A代入，代入，運行結(jié)果為運行結(jié)果為 六、二次型應(yīng)用：六、二次型應(yīng)用：小行星軌道問題小行星軌道問題 一位天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運行一位天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點的直的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點的直角坐標(biāo)系

21、，在兩坐標(biāo)軸上取天文單位角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文單位 （一天文單（一天文單位等于地球到太陽的平均距離）。在五個不同的位等于地球到太陽的平均距離）。在五個不同的時間對小行星做了時間對小行星做了5 5次觀察，測得次觀察，測得5 5個點的坐標(biāo)數(shù)個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如下表：據(jù)如下表： 編號編號坐標(biāo)坐標(biāo)12345X坐標(biāo)坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.480Y坐標(biāo)坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5253.360由開普勒第一定律知，小行星軌道為一橢圓，由開普勒第一定律知，小行星軌道為一橢圓，現(xiàn)建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以供研究小行星運行軌道現(xiàn)建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以供研究小行星運行軌道的參數(shù)。的參數(shù)。解解 設(shè)橢圓的一般方程為設(shè)橢圓的一般方程為 012225423221 yaxayaxyaxa將上述將上述5 5個點的坐標(biāo)帶入橢圓的一般方程，得個點的坐標(biāo)帶入橢圓的一般方程，得122212221222122212225554253552251454424344224135342333322312524223222221151