材料力學(xué) 強(qiáng)度理論與組合變形

1、第八章 強(qiáng)度理論與組合變形§8-1 強(qiáng)度理論的概念不同材料在同一環(huán)境及加載條件下對“破壞”（或稱為失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。例1 常溫、靜載條件下，低碳鋼的拉伸破壞表現(xiàn)為塑性屈服失效，具有屈服極限，鑄鐵破壞表現(xiàn)為脆性斷裂失效，具有抗拉強(qiáng)度 。圖9-1a,b同一材料在不同環(huán)境及加載條件下也表現(xiàn)出對失效的不同抗力。例2 常溫靜載條件下，帶有環(huán)形深切槽的圓柱形低碳鋼試件受拉時(shí)，不再出現(xiàn)塑性變形，而沿切槽根部發(fā)生脆斷，切槽導(dǎo)致的應(yīng)力集中使根部附近出現(xiàn)兩向和三向拉伸型應(yīng)力狀態(tài)。圖（9-2a,b）例3 常溫靜載條件下，圓柱形鑄鐵試件受壓時(shí)，不再出現(xiàn)脆性斷口，而出現(xiàn)塑性變形，此時(shí)材料處于壓

2、縮型應(yīng)力狀態(tài)。圖（9-3a）例4 常溫靜載條件下，圓柱形大理石試件在軸向壓力和圍壓作用下發(fā)生明顯的塑性變形，此時(shí)材料處于三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下。圖b根據(jù)常溫靜力拉伸和壓縮試驗(yàn)，已建立起單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性失效準(zhǔn)則，考慮安全系數(shù)后，其強(qiáng)度條件為 ，根據(jù)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，可建立起純剪應(yīng)力狀態(tài)下的彈性失效準(zhǔn)則，考慮安全系數(shù)后，強(qiáng)度條件為 。建立常溫靜載一般復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈性失效準(zhǔn)則強(qiáng)度理論的基本思想是：）確認(rèn)引起材料失效存在共同的力學(xué)原因，提出關(guān)于這一共同力學(xué)原因的假設(shè)；）根據(jù)實(shí)驗(yàn)室中標(biāo)準(zhǔn)試件在簡單受力情況下的破壞實(shí)驗(yàn)（如拉伸），建立起材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下共同遵循的彈性失效準(zhǔn)則和強(qiáng)度條件。）實(shí)際上，當(dāng)

3、前工程上常用的經(jīng)典強(qiáng)度理論都按脆性斷裂和塑性屈服兩類失效形式，分別提出共同力學(xué)原因的假設(shè)。§8-四個(gè)強(qiáng)度理論最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則（第一強(qiáng)度理論）基本觀點(diǎn)：材料中的最大拉應(yīng)力到達(dá)材料的正斷抗力時(shí)，即產(chǎn)生脆性斷裂。表達(dá)式：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)， 當(dāng)， 簡單拉伸破壞試驗(yàn)中材料的正斷抗力 ，最大拉應(yīng)力脆斷準(zhǔn)則： (9-1a)相應(yīng)的強(qiáng)度條件：(9-1b)適用范圍：雖然只突出 而未考慮 的影響，它與鑄鐵，工具鋼，工業(yè)陶瓷等多數(shù)脆性材料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較符合。特別適用于拉伸型應(yīng)力狀態(tài)（如），混合型應(yīng)力狀態(tài)中拉應(yīng)力占優(yōu)者（ 但 ）。2最大伸長線應(yīng)變準(zhǔn)則（第二強(qiáng)度理論）基本觀點(diǎn)：材料中最大伸長線應(yīng)變到達(dá)材料的脆斷伸長線應(yīng)

4、變 時(shí)，即產(chǎn)生脆性斷裂。表達(dá)式：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)，簡單拉伸破壞試驗(yàn)中材料的脆斷伸長線應(yīng)變，最大伸長線應(yīng)變準(zhǔn)則：（9-2a）相應(yīng)的強(qiáng)度條件：（9-2b）適用范圍：雖然考慮了，的影響，它只與石料、混凝土等少數(shù)脆性材料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較符合（如圖9-4所示），鑄鐵在混合型壓應(yīng)力占優(yōu)應(yīng)力狀態(tài)下（）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也較符合，但上述材料的脆斷實(shí)驗(yàn)不支持本理論描寫的，對材料強(qiáng)度的影響規(guī)律。3最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則（第三強(qiáng)度理論）基本觀點(diǎn)：材料中的最大剪應(yīng)力到達(dá)該材料的剪切抗力時(shí)，即產(chǎn)生塑性屈服。表達(dá)式：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)簡單拉伸屈服試驗(yàn)中的剪切抗力 ， 最大剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則：（9-3a）相應(yīng)的強(qiáng)度條件：（9-3b）， 適用范圍：雖然只

5、考慮了最大主剪應(yīng)力 ，而未考慮其它兩個(gè)主剪應(yīng)力 ， 的影響，但與低碳鋼、銅、軟鋁等塑性較好材料的屈服試驗(yàn)結(jié)果符合較好；并可用于像硬鋁那樣塑性變形較小，無頸縮材料的剪切破壞，此準(zhǔn)則也稱特雷斯卡（Tresca）屈服準(zhǔn)則。3形狀改變比能準(zhǔn)則（第四強(qiáng)度理論）基本觀點(diǎn)：材料中形狀改變比能到達(dá)該材料的臨界值 時(shí)，即產(chǎn)生塑性屈服。表達(dá)式：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，簡單拉伸屈服試驗(yàn)中的相應(yīng)臨界值， 形狀改變比能準(zhǔn)則： （9-4a）相應(yīng)的強(qiáng)度條件： （9-4b）適用范圍：它既突出了最大主剪應(yīng)力對塑性屈服的作用，又適當(dāng)考慮了其它兩個(gè)主剪應(yīng)力的影響，它與塑性較好材料的試驗(yàn)結(jié)果比第三強(qiáng)度理論符合得更好。此準(zhǔn)則也稱為米澤斯（Mis

6、es ）屈服準(zhǔn)則，由于機(jī)械、動(dòng)力行業(yè)遇到的載荷往往較不穩(wěn)定，因而較多地采用偏于安全的第三強(qiáng)度理論；土建行業(yè)的載荷往往較為穩(wěn)定，因而較多地采用第四強(qiáng)度理論。*附：泰勒奎尼（TaylorQuinney）薄壁圓筒屈服試驗(yàn)（1931）。米澤斯與特雷斯卡屈服準(zhǔn)則的試驗(yàn)驗(yàn)證。薄壁圓筒承受拉伸與扭轉(zhuǎn)組合作用時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)如圖9-5a。主應(yīng)力： ，代入第三強(qiáng)度理論： 或 （a）代入第四強(qiáng)度理論： 或 （b）（a），（b）式在以為坐標(biāo)軸的平面內(nèi)為兩條具有不同短軸的理論橢圓曲線（圖9-5b）。結(jié)果：試驗(yàn)點(diǎn)基本上落于兩條理論曲線之間，大多數(shù)試驗(yàn)點(diǎn)更接近于第四強(qiáng)度理論曲線。莫爾強(qiáng)度理論1不同于四個(gè)經(jīng)典強(qiáng)度理論，莫爾理論

7、不致力于尋找（假設(shè)）引起材料失效的共同力學(xué)原因，而致力于盡可能地多占有不同應(yīng)力狀態(tài)下材料失效的試驗(yàn)資料，用宏觀唯象的處理方法力圖建立對該材料普遍適用（不同應(yīng)力狀態(tài)）的失效條件。2自相似應(yīng)力圓與材料的極限包絡(luò)線自相似應(yīng)力圓：如果一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中所有應(yīng)力分量隨各個(gè)外載荷增加成同一比例同步增加，則表現(xiàn)為最大應(yīng)力圓自相似地?cái)U(kuò)大。材料的極限包絡(luò)線：隨著外載荷成比例增加，應(yīng)力圓自相似地?cái)U(kuò)大，到達(dá)該材料出現(xiàn)塑性屈服或脆性斷裂時(shí)的極限應(yīng)力圓。只要試驗(yàn)技術(shù)許可，務(wù)求得到盡可能多的對應(yīng)不同應(yīng)力狀態(tài)的極限應(yīng)力圓，這些應(yīng)力圓的包絡(luò)線即該材料的極限（狀態(tài)）包絡(luò)線。圖9-6a所示即包含拉伸、圓軸扭轉(zhuǎn)、壓縮三種應(yīng)力狀態(tài)的極限

8、包絡(luò)線。3對拉伸與壓縮極限應(yīng)力圓所作的公切線是相應(yīng)材料實(shí)際包絡(luò)線的良好近似（圖9-6b）。實(shí)際載荷作用下的應(yīng)力圓落在此公切線之內(nèi)，則材料不會(huì)失效，到達(dá)此公切線即失效。由圖示幾何關(guān)系可推得莫爾強(qiáng)度失效準(zhǔn)則。對于抗壓屈服極限大于抗拉屈服極限的材料（即）（9-5a）對于抗壓強(qiáng)度極限大于抗拉強(qiáng)度極限的材料（即）（9-5b）強(qiáng)度條件具有同一形式： 或 （9-5c）相應(yīng)于式（9-5a），；相應(yīng)于式（9-5b），, 對鑄鐵 ，陶瓷材料 ，對大多數(shù)金屬， ，此時(shí)莫爾強(qiáng)度條件退化為最大剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。4適用范圍：1）適用于從拉伸型到壓縮型應(yīng)力狀態(tài)的廣闊范圍，可以描述從脆性斷裂向塑性屈服失效形式過渡（或反之）的多

9、種失效形態(tài)，例如“脆性材料”在壓縮型或壓應(yīng)力占優(yōu)的混合型應(yīng)力狀態(tài)下呈剪切破壞的失效形式。2）特別適用于抗拉與抗壓強(qiáng)度不等的材料。3）在新材料（如新型復(fù)合材料）不斷涌現(xiàn)的今天，莫爾理論從宏觀角度歸納大量失效數(shù)據(jù)與資料的唯象處理方法仍具有廣闊應(yīng)用前景。§11-1 組合變形的概念1構(gòu)件的受力情況分為基本受力（或基本變形）形式（如中心受拉或受壓，扭轉(zhuǎn)，平面彎曲,剪切）和組合受力（或組合變形）形式。組合變形由兩種以上基本變形形式組成。2處理組合變形構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形（位移）問題時(shí)，可以運(yùn)用基于疊加原理的疊加法。疊加原理：如果內(nèi)力、應(yīng)力、變形等與外力成線性關(guān)系，則在小變形條件下，復(fù)雜受力情況

10、下組合變形構(gòu)件的內(nèi)力，應(yīng)力，變形等力學(xué)響應(yīng)可以分成幾個(gè)基本變形單獨(dú)受力情況下相應(yīng)力學(xué)響應(yīng)的疊加，且與各單獨(dú)受力的加載次序無關(guān)。說明：保證上述線性關(guān)系的條件是線彈性材料，加載在彈性范圍內(nèi)，即服從胡克定律；必須是小變形，保證能按構(gòu)件初始形狀或尺寸進(jìn)行分解與疊加計(jì)算，且能保證與加載次序無關(guān)。如10-1a圖所示縱橫彎曲問題，橫截面上內(nèi)力（圖10-1b）為N=P，M(x)=。可見當(dāng)撓度（變形）較大時(shí)，彎矩中與撓度有關(guān)的附加彎矩不能略去。雖然梁是線彈性的，彎矩、撓度與P的關(guān)系卻仍為非線性的，因而不能用疊加法。除非梁的剛度較大，撓度很小，軸力引起的附加彎矩可略去。§8-3斜彎曲圖10-2(a)所示

11、構(gòu)件具有兩個(gè)對稱面（y，z為對稱軸），橫向載荷P通過截面形心與y軸成 a 夾角，現(xiàn)按疊加法寫出求解梁內(nèi)最大彎曲正應(yīng)力的解法與步驟：根據(jù)圣維南原理，將載荷按基本變形加載條件進(jìn)行靜力等效處理，現(xiàn)將P沿橫截面對稱軸分解為Py、Pz，則有，（圖a）得到相應(yīng)的幾種基本變形形式，分別計(jì)算可能危險(xiǎn)點(diǎn)上的應(yīng)力?，F(xiàn)分別按兩個(gè)平面彎曲（圖b，c）計(jì)算。Py ，Pz 在危險(xiǎn)面（固定端）處分別有彎矩：，（圖d）。My 作用下產(chǎn)生以y軸為中性軸的平面彎曲，bd與ac邊上分別產(chǎn)生最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力(a)Mz 作用下產(chǎn)生以z軸為中性軸的平面彎曲,ab與cd邊上分別產(chǎn)生最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力(b) 由疊加法得組合變形情況

12、下，亦即原載荷作用下危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力。現(xiàn)可求得Py，Pz共同作用下危險(xiǎn)點(diǎn)（b、c點(diǎn)）彎曲正應(yīng)力（同一點(diǎn)同一微面上的正應(yīng)力代數(shù)相加） (10-1)上述橫向載荷P構(gòu)成的彎曲區(qū)別于平面彎曲，稱斜彎曲。它有以下兩個(gè)特點(diǎn)：構(gòu)件的軸線變形后不再是載荷作用平面內(nèi)的平面曲線，而是一條空向曲線；橫截面內(nèi)中性軸不再與載荷作用線垂直；或中性軸不再與彎矩矢量重合（如為實(shí)心構(gòu)件）。如圖10-2(e)所示，橫截面上任意點(diǎn)m（y，z）的正應(yīng)力為 (10-2)根據(jù)中性軸定義，令s=0，即得中性軸位置表達(dá)式當(dāng) ， ；現(xiàn)為矩形（h>b）， ，則 。形成斜彎曲，中性軸與M矢量不重合。當(dāng) （如圖10-2中為圓截面）， ，即載荷通過

13、截面形心任意方向均形成平面彎曲，若圓截面直徑為D，則有 (10-3)§8-4彎扭組合變形的強(qiáng)度計(jì)算1圓截面桿件設(shè)圖10-5a所示為圓截面桿橫截面上分別作用有彎矩 My ，Mz 和扭矩T 。對圓截面，通過圓心（形心）的任意方向的軸均為對稱軸，因而合力矩作用軸即中性軸，這時(shí)M作用下圓軸產(chǎn)生平面彎曲， 分布如圖a，在扭矩T作用下圓軸產(chǎn)生剪應(yīng)力，分布如圖b，分別為， （a）危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖c所示，主應(yīng)力為， （b）對塑性材料，可選用第三和第四強(qiáng)度理論，考慮式（b）后 （c） （d）對直徑為d的圓截面，有，考慮式（a）后式（c）與（d）分別有2矩形截面桿設(shè)圖10-6a和b所示為矩形截面上作用

14、有彎矩My ，Mz 和扭矩T 。對矩形截面（），My ，Mz 分別形成以y軸和z軸為中性軸的平面彎曲，彎曲正應(yīng)力分布如圖a所示。扭矩T在矩形截面上形成的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力分布如圖b所示。綜合考慮彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的分布情況，可以選出危險(xiǎn)點(diǎn)a、b、c，其應(yīng)力狀態(tài)如圖c所示。a點(diǎn)具有正應(yīng)力最大值b點(diǎn)具有和，c點(diǎn)具有和，對塑性材料，a點(diǎn)的強(qiáng)度條件為對b，c點(diǎn)可選擇第三或第四強(qiáng)度理論，如選第三強(qiáng)度理論，可比較和，較大者應(yīng)滿足例10-3 齒輪軸AB如圖10-7a所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n=265r/min ，輸入功率N=10kw，兩齒輪節(jié)圓直徑D1=396mm，D2=168mm，壓力角，軸的直徑d=50mm，材料

15、為45號(hào)鋼，許用應(yīng)力。試校核軸的強(qiáng)度。解：（1）軸的外力分析：將嚙合力分解為切向力與徑向力，并向齒輪中心（軸線上）平移?？紤]軸承約束力后得軸的受力圖如圖10-7b所示。由 得由扭轉(zhuǎn)力偶計(jì)算相應(yīng)切向力，徑向力，軸上鉛垂面內(nèi)的作用力P1y 、P2y ，約束力YA ，YB 構(gòu)成鉛垂面內(nèi)的平面彎曲，由平衡條件和可求得YA=1664N，NB=3300N由平衡條件校核所求約束力的正確性N，N軸上水平面內(nèi)的作用力P1Z 、P2Z ，約束力ZA 、ZB 構(gòu)成水平面內(nèi)的平面彎曲，由平衡條件和，可求得 ， 由平衡條件校核所求約束力的正確性N，N（2）作內(nèi)力圖：分別作軸的扭矩圖T圖（圖10-7c），鉛垂面內(nèi)外力引起

16、的軸的彎矩圖 Mz 圖，水平面外力引起的軸的彎矩圖 My 圖（圖10-7d）（3）作強(qiáng)度校核：由彎矩圖及扭矩圖確定可能危險(xiǎn)面為C（右）面和D（左）面。比較可知D面更危險(xiǎn)。對塑性材料，應(yīng)采用第三強(qiáng)度理論或第四強(qiáng)度理論作強(qiáng)度校核第三 第四 例10-4 圖10-8a所示曲軸的尺寸為r，。連桿軸頸直徑d1=50mm ，主軸頸直徑d=60mm 。曲柄截面III-III的尺寸為b=22mm，h=102mm。作用于曲軸上的力如圖10-8b所示：連桿軸頸上的力P=32KN，F(xiàn)=17KN，曲柄慣性力C=3KN ，平衡重慣性力C1=7KN。曲軸材料為碳鋼，。試校核曲柄的強(qiáng)度。解：（1）求約束力和扭轉(zhuǎn)力偶：由平衡條件可求得（見圖10-8b）（2）連桿軸頸強(qiáng)度校核：危險(xiǎn)面在中間截面I-I處。在xy和xz平面