第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析

1、第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析在討論了狀態(tài)方程的描述、標準形和模型轉換后，本章將討論線性多變量系統(tǒng)的運動分析，包括線性狀態(tài)方程的求解和系統(tǒng)的能控與能觀性分析。2.1 定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.1.1 線性系統(tǒng)的解 給定線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為：(2.1.1）其中，且初始條件為。 將方程（2.1.1）寫為 在上式兩邊左乘e-At，可得 將上式由O積分到t，得故可求出其解為(2.1.2a)或(2.1.2b)式中為系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。對于線性時變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程， (2.1.3）類似可求出其解為(2.1.4)一般說來，線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣只能表示成一個無窮項之和，只有在特殊情況下，才能寫成

2、矩陣指數函數的形式。2.1.2 狀態(tài)轉移矩陣 1狀態(tài)轉移矩陣性質 定義2.1 時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣是滿足如下矩陣微分方程和初始條件(2.1.5)的解。下面不加證明地給出線性時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的幾個重要性質：1、；2、；3、；4、當A給定后， 唯一；5、計算時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的公式(2.1.6a) 上式一般不能寫成封閉形式，可按精度要求，用數值計算的方法取有限項近似。特別地，只有當滿足即在矩陣乘法可交換的條件下，才可表示為如下矩陣指數函數形式(2.1.6b) 顯然，定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣不依賴于初始時刻，其性質僅是上述時變系統(tǒng)的特例。 例21 試求如下線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣(t)和狀態(tài)轉

3、移矩陣的逆-1(t）。解 對于該系統(tǒng)，其狀態(tài)轉移矩陣由下式確定由于其逆矩陣為因此= 由于-1（t）=(-t)，故可求得狀態(tài)轉移矩陣的逆為 例2.2 求下列系統(tǒng)的時間響應：式中，u(t)為t = 0時作用于系統(tǒng)的單位階躍函數，即u(t)=1(t)。解 對該系統(tǒng) 狀態(tài)轉移矩陣已在例2.1中求得，即因此，系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應為：或 如果初始狀態(tài)為零，即X(0)=0,可將X(t)簡化為2. 矩陣指數函數eAt的計算前已指出，狀態(tài)方程的解實質上可歸結為計算狀態(tài)轉移矩陣，即矩陣指數函數eAt。如果給定矩陣A中所有元素的值，MATLAB將提供一種計算eAT的簡便方法，其中T為常數。 除了上述方法外，對e

4、At的計算還有幾種分析方法可供使用。這里我們將介紹其中的四種計算方法。方法一：直接計算法(矩陣指數函數)(2.1.7)可以證明，對所有常數矩陣A和有限的t值來說，這個無窮級數都是收斂的。方法二：對角線標準形與Jordan標準形法若可將矩陣A變換為對角線標準形，那么eAt可由下式給出式中，P是將A對角線化的非奇異線性變換矩陣。 類似地，若矩陣A可變換為Jordan標準形，則eAt可由下式確定出eAt = S e J t S 1(2.1.9) 例2.3 考慮如下矩陣A解 該矩陣的特征方程為因此，矩陣A有三個相重特征值=1?？梢宰C明，矩陣A也將具有三重特征向量（即有兩個廣義特征向量）。易知，將矩陣A

5、變換為Jordan標準形的變換矩陣為 矩陣S的逆為于是注意到可得eAt = S e J t S 1即 方法三：拉氏變換法(2.1.10)為了求出eAt，關鍵是必須首先求出（sI-A）的逆。一般來說，當系統(tǒng)矩陣A的階次較高時，可采用遞推算法。 例2.4 考慮如下矩陣A A試用前面介紹的兩種方法計算eAt 。解 方法一 由于A的特征值為0和-2（1=0，2= -2），故可求得所需的變換矩陣P為P =因此，由式(2.1.10）可得 方法二 由于可得因此方法四：化eAt為A的有限項法(Caley-Hamilton定理法)第四種是利用凱萊-哈密爾頓定理，化為A的有限項，然后通過求待定時間函數獲得的方法。

6、凱萊-哈密爾頓(Caley-Hamilton)定理在證明有關矩陣方程的定理或解決有關矩陣方程的問題時，凱萊-哈密爾頓定理是非常有用的?？紤]nn維矩陣A及其特征方程 凱萊-哈密爾頓定理指出，矩陣A滿足其自身的特征方程，即(2.1.11) 為了證明此定理，注意到（I-A）的伴隨矩陣adj(I-A)是的n -1次多項式，即式中，。由于可得 從上式可看出，A 和(i=1,2,，n)相乘的次序是可交換的。因此，如果(I-A）及其伴隨矩陣adj(I-A)中有一個為零，則其乘積為零。如果在上式中用A代替，顯然I-A為零。這樣即證明了凱萊-哈密爾頓定理。 最小多項式 按照凱萊-哈密爾頓定理，任一nn維矩陣A滿

7、足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A滿足的最小階次的純量方程。我們將矩陣A為其根的最小階次多項式稱為最小多項式，也就是說，定義nn維矩陣A的最小多項式為最小階次的多項式()，即使得(A）= 0，或者 最小多項式在nn維矩陣多項式的計算中起著重要作用。 假設的多項式d()是(I-A)的伴隨矩陣adj(I-A)的所有元素的最高公約式。可以證明，如果將d()的最高階次的系數選為1，則最小多項式()由下式給出：(2.1.12) 注意，nn維矩陣A的最小多項式()可按下列步驟求出：1、根據伴隨矩陣adj(I-A)，寫出作為的因式分解多項式的adj(I-A)的各元素；2、確定作為伴隨矩陣adj(I-

8、A)各元素的最高公約式d()。選取d()的最高階次系數為1。如果不存在公約式，則d()=1；3、最小多項式()可由|I-A|除以d()得到。 設A的最小多項式階數為m?？梢宰C明，采用賽爾維斯特內插公式，通過求解行列式(2.1.13)即可求出。利用式(2.13）求解時，所得是以 (k=0,1,2,m-1)和 (i=1,2,3,，m)的形式表示的。此外，也可采用如下等價的方法。將式(2.13)按最后一行展開，容易得到(2.1.14）從而通過求解下列方程組： (2.1.15)可確定出(k=0,1,2，m-1)，進而代入式(2.14)即可求得。如果A為nn維矩陣，且具有相異特征值，則所需確定的的個數為

9、m=n，即有（2.1.16）如果A含有相重待征值，但其最小多項式有單根，則所需確定的的個數小于n.例2.5 考慮如下矩陣A試用化為A的有限項法計算。解 矩陣A的特征方程為可得相異特征值為1=0，2= -2。 由式(2.13），可得即 將上述行列式展開，可得或另一種可選用的方法是采用式(2.16）。首先，由確定待定時間函數和。由于1=0，2= -2，上述兩式變?yōu)?求解此方程組，可得因此，2.2能控性與能觀測性分析能控性和能觀測性的概念是由R.E.Kalman于60年代初首先提出的。在用狀態(tài)空間法設計控制系統(tǒng)時，這兩個概念起到很重要的作用。實際上，可控性和可觀性可以給出控制系統(tǒng)設計問題的完全解存在

10、性的條件。如果所研究的系統(tǒng)不可控，那么控制系統(tǒng)設計問題的解不存在。可控和可觀測性決定了最優(yōu)控制問題解的存在性。例如，在極點配置問題中，狀態(tài)反饋的的存在性將由系統(tǒng)的能控性決定；在觀測器設計和最優(yōu)估計中，將涉及到系統(tǒng)的能觀測性條件。在本章中，我們的討論將限于線性系統(tǒng)。將首先給出能控性與能觀測性的定義，然后推導出判別系統(tǒng)能控和能觀測性的若干判據。2.2.1 系統(tǒng)的能控性1 概述如果在一個有限的時間隔內施加一個無約束的控制向量，使得系統(tǒng)由初始狀態(tài)x(to)轉移到任一狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)在時刻to是能控的。如果系統(tǒng)的狀態(tài)x(to)在有限的時間間隔內可由輸出的觀測值確定，那么稱系統(tǒng)在時刻to是能觀測的。前已指

11、出，在用狀態(tài)空間法設計控制系統(tǒng)時，這兩個概念起到非常重要的作用。實際上，雖然大多數物理系統(tǒng)是能控和能觀測的，然而其所對應的數學模型可能不具有能控性和能觀測性。因此，必須了解系統(tǒng)在什么條件下是能控和能觀測的。上面給出了系統(tǒng)狀態(tài)能控與能觀測的定義，下面我們將首先推導狀態(tài)能控性的代數判據，然后給出狀態(tài)能控性的標準形判據。最后討論輸出能控性。2 定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性的代數判據考慮線性連續(xù)時間系統(tǒng)：(2.2.1）其中，（單輸入），且初始條件為。如果施加一個無約束的控制信號，在有限的時間間隔tott1內，使初始狀態(tài)轉移到任一終止狀態(tài)，則稱由式（2.2.1）描述的系統(tǒng)在t = to時為狀態(tài)(完全)能控的。如果

12、每一個狀態(tài)都能控，則稱該系統(tǒng)為狀態(tài)(完全)能控的。下面我們將推導狀態(tài)能控的條件。不失一般性，設終止狀態(tài)為狀態(tài)空間原點，并設初始時刻為零，即to=0。由上一章的內容可知，式(2.2.1)的解為 利用狀態(tài)能控性的定義，可得或(2.2.2) 將寫為A的有限項的形式，即(2.2.3) 將式(2.2.3)代入式（2.2.2），可得(2.2.4)記則式(2.2.4)成為(2.2.5)如果系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，那么給定任一初始狀態(tài)x(0)，都應滿足式（2.2.5）。這就要求nn維矩陣的秩為n。由此分析，可將狀態(tài)能控性的代數判據歸納為：當且僅當nn維矩陣Q滿秩，即時，由式（2.2.1）確定的系統(tǒng)才是狀態(tài)能控的。上

13、述結論也可推廣到控制向量u為r維的情況。此時，如果系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，那么可以證明，狀態(tài)能控性的條件為nnr維矩陣的秩為n，或者說其中的n個列向量時線性無關的。通常，我們稱矩陣能控性矩陣。 例2.6 考慮由下式確定的系統(tǒng)： 由于即Q為奇異，所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的。 例2.7 考慮由下式確定的系統(tǒng)： 對于該情況，即Q為非奇異，因此系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。3 狀態(tài)能控性條件的標準形判據關于定常系統(tǒng)能控性的判據很多。除了上述的代數判據外，本小節(jié)將給出一種相當直觀的方法，這就是從標準形的角度給出的判據。 考慮如下的線性系統(tǒng)(2.2.6)式中，。 如果A的特征向量互不相同，則可找到一個非奇異線性變換矩陣P

14、，使得 注意，如果A的特征值相異，那么A的特征向量也互不相同；然而，反過來不成立。例如，具有相重特征值的nn維實對稱矩陣也有可能有n個互不相同的特征向量。還應注意，矩陣P的每一列是與i (i=1,2, ，n)有聯(lián)系的A的一個特征向量。 設x = P z(2.2.7) 將式(2.2.7)代入式(2.2.6)，可得 (2.2.8) 定義則可將式（2.2.8）重寫為 如果nr維矩陣G 的任一行元素全為零，那么對應的狀態(tài)變量就不能由任一來控制。由于狀態(tài)能控的條件是A的特征向量互異，因此當且僅當輸入矩陣沒有一行的所有元素均為零時，系統(tǒng)才是狀態(tài)能控的。在應用狀態(tài)能控性的這一條件時，應特別注意，必須將式（2

15、.2.8）的矩陣轉換成對角線形式。如果式（2.2.6）中的矩陣A不具有互異的特征向量，則不能將其化為對角線形式。在這種情況下，可將A化為Jordan標準形。例如，若A的特征值分別1,1,1,4,4,6,n,并且有n - 3個互異的特征向量，那么A的Jordan標準形為其中，在主對角線上的33和22子矩陣稱為Jordan塊。 假設能找到一個變換矩陣S，使得 如果利用x = S z(2.2.9)定義一個新的狀態(tài)向量z，將式（2.2.9）代入式（2.2.6）中，可得到(2.2.10)從而式（2.2.6）確定的系統(tǒng)的狀態(tài)能控性條件可表述為：當且僅當（1）式（2.2.10）中的矩陣J中沒有兩個Jorda

16、n塊與同一特征值有關；（2）與每個Jordan塊最后一行相對應的的任一行元素不全為零；（3）對應于不同特征值的的每一行的元素不全為零時，則系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 例2.8 下列系統(tǒng)是狀態(tài)能控的： 下列系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的： 4 用傳遞函數矩陣表達的狀態(tài)能控性條件狀態(tài)能控的條件也可用傳遞函數或傳遞矩陣描述。 狀態(tài)能控性的充要條件是在傳遞函數或傳遞函數矩陣中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。如果發(fā)生相約，那么在被約去的模態(tài)中，系統(tǒng)不能控。 例2.9 考慮下列傳遞函數：顯然，在此傳遞函數的分子和分母中存在可約的因子（s+2.5）(因此少了一階)。由于有相約因子，所以該系統(tǒng)狀態(tài)不能控。當然，將該傳遞函數寫為狀態(tài)方程，可得到同

17、樣的結論。狀態(tài)方程為 由于即能控性矩陣的秩為1，所以可得到狀態(tài)不能控的同樣結論。5 輸出能控性在實際的控制系統(tǒng)設計中，需要控制的是輸出，而不是系統(tǒng)的狀態(tài)。對于控制系統(tǒng)的輸出，狀態(tài)能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定義輸出能控性?？紤]下列狀態(tài)空間表達式所描述的線性定常系統(tǒng)式中，。如果能找到一個無約束的控制向量u(t)，在有限的時間間隔tott1內，使任一給定的初始輸出y(to)轉移到任一最終輸出y(t1)，那么稱由式（2.2.11）和（2.2.12）所描述的系統(tǒng)為輸出能控的。可以證明，系統(tǒng)輸出能控的充要條件為：當且僅當m(n+1)r維輸出能控性矩陣的秩為m時，由式（2.2.11）和

18、（2.2.12）所描述的系統(tǒng)為輸出能控的。注意，在式（2.2.12）中存在Du項，對確定輸出能控性是有幫助的。2.2.2 系統(tǒng)的能觀測性現(xiàn)在討論線性系統(tǒng)的能觀測性。考慮零輸入時的狀態(tài)空間表達式式中，。如果每一個狀態(tài)x(to)都可通過在有限時間間隔tott1內，由y(t)觀測值確定，則稱系統(tǒng)為(完全)能觀測的。本節(jié)僅討論線性定常系統(tǒng)。不失一般性，設to=0。能觀測性的概念非常重要，這是由于在實際問題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接量測。因而在構造控制器時，必須首先估計出不可量測的狀態(tài)變量。在“系統(tǒng)綜合”部分我們將指出，當且僅當系統(tǒng)是能觀測時，才能對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行觀測或估計。在下

19、面討論能觀測性條件時，我們將只考慮由式（2.2.13）和（2.2.14）給定的零輸入系統(tǒng)。這是因為，若采用如下狀態(tài)空間表達式則從而 由于矩陣A、B、C和D均為已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后兩項為已知，因而它們可以從被量測值y(t)中消去。因此，為研究能觀測性的充要條件，只考慮式（2.2.13）和(2.2.14)所描述的零輸入系統(tǒng)就可以了。1. 定常系統(tǒng)狀態(tài)能觀測性的代數判據 考慮由式（3.13）和(2.2.14)所描述的線性定常系統(tǒng)。將其重寫為 易知，其輸出向量為 將寫為A的有限項的形式，即因而或(2.2.15) 顯然，如果系統(tǒng)是能觀測的，那么在0tt1時間間隔內，給定輸出y(t)，

20、就可由式（2.2.15）唯一地確定出x(0)?？梢宰C明，這就要求nmn維能觀測性矩陣的秩為n。 由上述分析，我們可將能觀測的充要條件表述為：由式（2.2.13）和（2.2.14）所描述的線性定常系統(tǒng)，當且僅當nnm維能觀測性矩陣的秩為n，即時，該系統(tǒng)才是能觀測的。例2.10 試判斷由式所描述的系統(tǒng)是否為能控和能觀測的。解 由于能控性矩陣的秩為2，即，故該系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 對于輸出能控性，可由系統(tǒng)輸出能控性矩陣的秩確定。由于的秩為1，即，故該系統(tǒng)是輸出能控的。為了檢驗能觀測性條件，我們來驗算能觀測性矩陣的秩。由于 的秩為2，故此系統(tǒng)是能觀測的。2. 用傳遞函數矩陣表達的能觀測性條件類似地，能觀

21、測性條件也可用傳遞函數或傳遞函數矩陣表達。此時能觀測性的充要條件是：在傳遞函數或傳遞函數矩陣中不發(fā)生相約現(xiàn)象。如果存在相約，則約去的模態(tài)其輸出就不能觀測了。例2.11 證明下列系統(tǒng)是不能觀測的。式中解 由于能觀測性矩陣注意到即，故該系統(tǒng)是不能觀測的。 事實上，在該系統(tǒng)的傳遞函數中存在相約因子。由于X1(s)和U (s)之間的傳遞函數為 又Y (s)和X1(s)之間的傳遞函數為故Y(s)與U(s)之間的傳遞函數為顯然，分子、分母多項式中的因子（s+1）可以約去。這意味著，該系統(tǒng)是不能觀測的，或者說一些不為零的初始狀態(tài)x(0)不能由y(t)的量測值確定。3.說明當且僅當系統(tǒng)是狀態(tài)能控和能觀測時，其

22、傳遞函數才沒有相約因子。這意味著，可相約的傳遞函數不具有表征動態(tài)系統(tǒng)的所有信息。4. 狀態(tài)能觀測性條件的標準形判據 考慮由式（2.2.13）和（2.2.14）所描述的線性定常系統(tǒng)，將其重寫為 設非奇異線性變換矩陣P可將A化為對角線矩陣，式中，為對角線矩陣。定義式（2.2.16）和(2.2.17)可寫為如下對角線標準形因此或如果mn維矩陣CP的任一列中都不含全為零的元素，那么系統(tǒng)是能觀測的。這是因為，如果CP的第i列含全為零的元素，則在輸出方程中將不出現(xiàn)狀態(tài)變量，因而不能由y上述判斷方法只適用于能將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（2.2.16）和(2.2.17)化為對角線標準形的情況。如果不能將式（2.2.16）和(2.2.17)變換為對角線標準形，則可利用一個合適的線性變換矩陣S，將其中的系統(tǒng)矩陣A變換為Jordan標準形。式中， J為Jordan標準形矩陣。 定義則式（2.2.16）和(2.2.17)可寫為如下Jordan標準形因此系統(tǒng)能觀測的充要條件為：（1） J中沒有兩個Jordan塊與同一特征值有關；（2）與每個Jordan塊的第一行相對應的