《剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)》答案

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2、中心且垂直板面的固定軸以角速度0開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？（已知圓形平板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其中m為圓形平板的質(zhì)量）解：在r處的寬度為dr 的環(huán)帶面積上摩擦力矩為 總摩擦力矩 故平板角加速度 b =M /J 設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n，則轉(zhuǎn)角 q = 2pn 由 可得 2. 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M、半徑為R，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，滑輪軸光滑試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系解：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程 對物體： mgT ma 對滑輪： TR = Jb 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： aRb 將、式聯(lián)立得 amg /

3、(mM) v00， vatmgt / (mM) 3. 為求一半徑R50 cm的飛輪對于通過其中心且與盤面垂直的固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩末端懸一質(zhì)量m18 kg的重錘讓重錘從高2 m處由靜止落下，測得下落時(shí)間t116 s再用另一質(zhì)量m2=4 kg的重錘做同樣測量，測得下落時(shí)間t225 s假定摩擦力矩是一個(gè)常量，求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，對飛輪和重物列方程，得 TRMfJa / R mgTma h 則將m1、t1代入上述方程組，得 a12h /0.0156 m / s2 T1m1 (ga1)78.3 N J(T1RMf )R / a1 將m2、t2代入、方程組

4、，得 a22h / 6.4×10-3 m / s2 T2m2(ga2)39.2 N J = (T2RMf)R / a2 由、兩式，得 JR2(T1T2) / (a1a2)1.06×103 kg·m2 4. 一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起初角速度為w0設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比，即Mkw (k為正的常數(shù))，求圓盤的角速度從w0變?yōu)闀r(shí)所需的時(shí)間解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律： Jdw / dt = -kw 兩邊積分： 得 ln2 = kt / J t(J ln2) / k 5. 某人站在水平轉(zhuǎn)臺(tái)的中央，與轉(zhuǎn)臺(tái)一起以恒定的轉(zhuǎn)速n1轉(zhuǎn)動(dòng)，他的兩手各拿一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼，砝

5、碼彼此相距l(xiāng)1 (每一砝碼離轉(zhuǎn)軸l1),當(dāng)此人將砝碼拉近到距離為l2時(shí)(每一砝碼離轉(zhuǎn)軸為l2)，整個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速變?yōu)閚2求在此過程中人所作的功(假定人在收臂過程中自身對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化可以忽略) 解：(1) 將轉(zhuǎn)臺(tái)、砝碼、人看作一個(gè)系統(tǒng)，過程中人作的功W等于系統(tǒng)動(dòng)能之增量： WDEk 這里的J0是沒有砝碼時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (2) 過程中無外力矩作用，系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒： 2p(J0) n1 = 2p (J0) n2 (3) 將J0代入W式，得 6. 一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為m)，圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)開始時(shí)，圓盤靜

6、止，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求 (1) 子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度 (2) 經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng) (圓盤繞通過O的豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩) 解：(1) 以子彈和圓盤為系統(tǒng)，在子彈擊中圓盤過程中，對軸O的角動(dòng)量守恒 mv0R(MR2mR2)w (2) 設(shè)s表示圓盤單位面積的質(zhì)量，可求出圓盤所受水平面的摩擦力矩的大小 為 (2 / 3)pmgR3(2 / 3)mMgR 設(shè)經(jīng)過Dt時(shí)間圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則按角動(dòng)量定理有 Mf Dt0Jw(MR2mR2)w- mv 0R 7.一勻質(zhì)細(xì)棒長為2L，質(zhì)量為m，以與棒長方向相垂

7、直的速度v0在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰撞碰撞點(diǎn)位于棒中心的一側(cè)處，如圖所示求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w(細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，式中的m和l分別為棒的質(zhì)量和長度) 解：碰撞前瞬時(shí)，桿對O點(diǎn)的角動(dòng)量為 式中r為桿的線密度碰撞后瞬時(shí)，桿對O點(diǎn)的角動(dòng)量為 因碰撞前后角動(dòng)量守恒，所以 w = 6v0 / (7L) 8. 長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過桿的一端O點(diǎn)的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)靜止于豎直位置緊挨O點(diǎn)懸一單擺，輕質(zhì)擺線的長度也是l，擺球質(zhì)量為m若單擺從水平位置由靜止開始自由擺下，且擺球與細(xì)桿作完全彈性碰撞，碰撞后擺球正好靜止求

8、： (1) 細(xì)桿的質(zhì)量 (2) 細(xì)桿擺起的最大角度q 解：(1) 設(shè)擺球與細(xì)桿碰撞時(shí)速度為v 0，碰后細(xì)桿角速度為w，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒得： Jw = mv0l 由于是彈性碰撞，所以單擺的動(dòng)能變?yōu)榧?xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 代入J，由上述兩式可得 M3m (2) 由機(jī)械能守恒式 及 并利用(1) 中所求得的關(guān)系可得 四 研討題1. 計(jì)算一個(gè)剛體對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，一般能不能認(rèn)為它的質(zhì)量集中于其質(zhì)心，成為一質(zhì)點(diǎn)，然后計(jì)算這個(gè)質(zhì)點(diǎn)對該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？為什么？舉例說明你的結(jié)論。 參考解答：不能 因?yàn)閯傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與各質(zhì)量元和它們對轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān)如一勻質(zhì)圓盤對過其中心且垂直盤面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，若按質(zhì)量全部集中于質(zhì)心計(jì)

9、算，則對同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能的增量只決定于外力對它做的功而與內(nèi)力的作用無關(guān)。對于非剛體也是這樣嗎？為什么？參考解答：根據(jù)動(dòng)能定理可知，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量不僅決定于外力做的功，還決定于內(nèi)力做的功。由于剛體內(nèi)任意兩質(zhì)量元間的距離固定，或說在運(yùn)動(dòng)過程中兩質(zhì)量元的相對位移為零，所以每一對內(nèi)力做功之和都為零。故剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能的增量就只決定于外力的功而與內(nèi)力的作用無關(guān)了。非剛體的各質(zhì)量元間一般都會(huì)有相對位移，所以不能保證每一對內(nèi)力做功之和都為零，故動(dòng)能的增量不僅決定于外力做的功還決定于內(nèi)力做的功。3. 乒乓球運(yùn)動(dòng)員在臺(tái)面上搓動(dòng)乒乓球，為什么乒乓球能自動(dòng)返回？參考解答：分析：乒乓球（設(shè)乒乓球?yàn)榫|(zhì)球殼）的運(yùn)動(dòng)可分解為球隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)乒乓球在臺(tái)面上滾動(dòng)時(shí)，受到的水平方向的力只有摩擦力若乒乓球平動(dòng)的初始速度vc的方向如圖，則摩擦力 Fr的 方向一定向后摩擦力的作用有二，對質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來說，它使質(zhì)心平動(dòng)的速度vc 逐漸減??；對繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來說，它將使轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w逐漸變小當(dāng)質(zhì)心平動(dòng)的速度vc= 0而角速度w &