考研線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一章、行列式1行列式的定義：用個(gè)元素組成的記號(hào)稱(chēng)為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；（2）展開(kāi)式共有n!項(xiàng)，其中符號(hào)正負(fù)各半；2行列式的計(jì)算一階|=行列式，二、三階行列式有對(duì)角線法則；N階（n3）行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡(jiǎn)單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為0，利用定理展開(kāi)降階。特殊情況：上、下三角形行列式、對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積；行列式值為0的幾種情況：行列式某行（列）元素全為0；行列式某行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同；行列

2、式某行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例；奇數(shù)階的反對(duì)稱(chēng)行列式。3.概念：全排列、排列的逆序數(shù)、奇排列、偶排列、余子式、代數(shù)余子式定理：一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，改變排列的奇偶性。 奇排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為基數(shù)，偶排列為偶數(shù)。 n階行列式也可定義：，t為的逆序數(shù)4.行列式性質(zhì)：1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式兩行或兩列，行列式變號(hào)。若有兩行(列)相等或成比例，則為行列式0。3、行列式某行（列）乘數(shù)k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。4、行列式某行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。5、行列式某行（列）乘一個(gè)數(shù)加到另一行（列）上，行列式不變。6、

3、行列式等于他的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和。（按行、列展開(kāi)法則）7、行列式某一行（列）與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0.5.克拉默法則：若線性方程組的系數(shù)行列式，則方程有且僅有唯一解。：若線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則系數(shù)行列式D=0.：若齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則其沒(méi)有非零解。：若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式D=0。6.，范德蒙德行列式, ，（兩式要會(huì)計(jì)算）題型：Page21（例13）第二章、矩陣1矩陣的基本概念（表示符號(hào)、一些特殊矩陣如單位矩陣、對(duì)角、對(duì)稱(chēng)矩陣等）；2矩陣的運(yùn)算（1）加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；（2）關(guān)于乘法的幾個(gè)

4、結(jié)論：矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律（若ABBA，稱(chēng)A、B是可交換矩陣）；矩陣乘法一般不滿(mǎn)足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；|kA|=*|A|。只有方陣才有冪運(yùn)算。（3）轉(zhuǎn)置：（kA）T=kAT， （4）方陣的行列式：，（5）伴隨矩陣：，的行元素是A的列元素的代數(shù)余子式（6）共軛矩陣：，（7）矩陣分塊法：，3對(duì)稱(chēng)陣：方陣。 對(duì)稱(chēng)陣特點(diǎn)：元素以對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等。3矩陣的秩（1）定義：非零子式的最大階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩；（2）秩的求法：一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)（每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元開(kāi)始往

5、下全為0的矩陣稱(chēng)為行階梯陣）。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。（3）0R()minm,n；若，則R(A)=R(B)；若P、Q可逆，則R(PAQ)=R(A);maxR(A),R(B) R(A,B) R(A)+R(B)；若AB=C，R(C)minR(A),R(B)4逆矩陣（1）定義：A、B為n階方陣，若ABBAI，稱(chēng)A可逆，B是A的逆矩陣（滿(mǎn)足半邊也成立）；（2）性質(zhì)：， ；(A B的逆矩陣，你懂的)（注意順序）（3）可逆的條件：|A|0；r(A)=n;  A->I;（4）逆的求解：伴隨矩陣法；初等變換法（A:I）->(施行初等變換)（I:）（5）方陣A可逆

6、的充要條件有：存在有限個(gè)初等矩陣，使第三章、初等變換與線性方程組1、 初等變換：， 性質(zhì)：初等變換可逆。 等價(jià)：若A經(jīng)初等變換成B，則與等價(jià)，記作，等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性。初等矩陣：由單位陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。定理：對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘相應(yīng)的n階初等矩陣。等價(jià)的充要條件： R(A)=R(B)=R(A,B) 的矩陣、等價(jià)存在m階可逆矩陣P、n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B。線性方程組解的判定定理：(1) r(A,b)r(A)  無(wú)解；(2) r(A,b)=r(A)=n  有唯一

7、解；(3)r(A,b)=r(A)<n   有無(wú)窮多組解；特別地：對(duì)齊次線性方程組AX=0，(1)  r(A)=n  只有零解；(2)  r(A)<n  有非零解；     再特別，若為方陣，(1)|A|0  只有零解；(2)|A|=0   有非零解2齊次線性方程組（1）解的情況：r(A)=n只有零解； r(A)<n有無(wú)窮多組非零解。（2）解的結(jié)構(gòu)：。（3）求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過(guò)行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣；寫(xiě)出對(duì)應(yīng)同解方程組；移項(xiàng)，利用自由未

8、知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎(chǔ)解系；寫(xiě)出通解。（4）性質(zhì)：若和是向量方程A*x=0的解，則、也是該方程的解。齊次線性方程組的解集的最大無(wú)關(guān)組是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。若，則n元齊次線性方程組A*x=0的解集S的秩。3非齊次線性方程組（1）解的情況：有解 R(A)=R(A,b)。唯一解 R(A)=R(A,b)=n。無(wú)限解 R(A)=R(A,b)n。（2）解的結(jié)構(gòu)：X=u+。（3）無(wú)窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。（4）唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。（5）若、都是方程的解，則是對(duì)應(yīng)齊次方程的解 是方程的解，是的解，則也是的解。第四章、向量組的線性相

9、關(guān)性1N維向量的定義(注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣行矩陣和列矩陣；默認(rèn)向量a為列向量)。2向量的運(yùn)算：（1）加減、數(shù)乘運(yùn)算（與矩陣運(yùn)算相同）；（2）向量?jī)?nèi)積'=a1b1+a2b2+anbn；（3）向量長(zhǎng)     （4）向量單位化(1/|)；3線性組合（1）定義：若，則稱(chēng)b是向量組，的一個(gè)線性組合，或稱(chēng)b可以用向量組，的線性表示。（2）判別方法：將向量組合成矩陣，記A(，) B=(，)，則：r (A)=r (B) b可以用向量組，線性表示。B=(，)，則： B能由A線性表示R(A)=R(A,B) AX=B有解R(B)R

10、(A).（3）求線性表示表達(dá)式的方法：矩陣B施行行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。注：求線性表示的系數(shù)既是求解Ax=b4向量組的線性相關(guān)性（1）線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義設(shè) ，若k1,k2,kn不全為0，稱(chēng)線性相關(guān)；若全為0，稱(chēng)線性無(wú)關(guān)。（2）判別方法： r(1， 2，n)<n，線性相關(guān)；    r(1， 2，n)=n，線性無(wú)關(guān)。若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：n階行列式|0，線性相關(guān)（0無(wú)關(guān)）A:， B:，若A相關(guān)則B一定相關(guān)，若B相關(guān)A不一定相關(guān)；若A無(wú)關(guān)，B相關(guān)，則向量必能由A線性表示，且表示式唯一。注：含零向

11、量的向量組必定相關(guān)。5極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩（1）定義：最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組的秩（2）求法：設(shè)A(，)，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無(wú)關(guān)組。（3）矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。注：如何證明，.第五章、相似矩陣及二次型1、向量?jī)?nèi)積：。 內(nèi)積性質(zhì)：，;：當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，2、向量長(zhǎng)度：性質(zhì)：非負(fù)性、齊次性、三角不等式3、正交：稱(chēng)x與y正交。若x=0,則x與任何向量都正交。 正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量。 定理：若m維向量，是正交向量組，則，線性無(wú)關(guān)。正交陣：，。 性質(zhì)：若A為正交陣則也是正交陣，且

12、；若A、B都正交，則AB正交。 規(guī)范正交基：設(shè)m維向量，是向量空間V的一個(gè)基，若，兩兩正交，且都是單位向量，則稱(chēng)，是V的一個(gè)規(guī)范正交基。 規(guī)范正交化：施密特正交化過(guò)程：， 正交變換：P為正交陣，稱(chēng)為正交變換。有4、矩陣的特征值和特征向量定義：對(duì)方陣A，若存在非零向量和數(shù)使，則稱(chēng)是矩陣A的特征值，向量稱(chēng)為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。特征值和特征向量的求解：求出特征方程|=0的根即為特征值，將特征值代入對(duì)應(yīng)齊次線性方程組()0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。重要結(jié)論與定理：（1）A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；（2）A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值；（3）不同特征值對(duì)應(yīng)的

13、特征向量線性無(wú)關(guān)。（4）對(duì)的特征值有：；。（5）若是A的特征值，則是的特征值，是的特征值。（6），是方陣的個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)特征向量是，若互不相等，則互不相關(guān)。5、矩陣的相似定義：同階方陣A、B，若有可逆陣P， ，則A與B相似。P為把A變?yōu)锽的相似變換矩陣。若n階矩陣A與對(duì)角陣相似，則對(duì)角陣元素即是A的n個(gè)特征值。 若f()是矩陣的特征多項(xiàng)式，則f(A)=0。與對(duì)角陣相似A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。若的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角線對(duì)視。求A與對(duì)角矩陣相似的方法與步驟（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對(duì)角化（否則不能對(duì)角化），將這n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P，依次將對(duì)應(yīng)特征值構(gòu)成對(duì)角陣即為。通過(guò)正交變換求與實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A相似的對(duì)角陣：方法與相同，但要將所得特征向量正交化且單位化。6、二次型二次型：n元二次多項(xiàng)式f(,，)=稱(chēng)為二次型。若=0(ij)，則稱(chēng)為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。如果標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)為1、-1或0，則為規(guī)范型。 合同：A、B為n階矩陣，若有可逆陣，使，則A與B合同。二次型標(biāo)準(zhǔn)化：配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對(duì)角化完全相同，這是由于對(duì)正交矩陣Q， =Q'，即正交變換既是相似變