復(fù)變函數(shù)在工程上的應(yīng)用

1、淺析復(fù)變函數(shù)在工程中的應(yīng)用作為一名學(xué)習(xí)通信工程的學(xué)生，我能感受到復(fù)變函數(shù)在學(xué)習(xí)中的大量運(yùn)用， 現(xiàn)在正在學(xué)習(xí)的信號(hào)與系統(tǒng)中時(shí)刻出現(xiàn)復(fù)變函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。經(jīng)過查閱，我 想從自己熟悉的角度談一下復(fù)變函數(shù)在工程中的應(yīng)用，主要分為兩個(gè)方面，一個(gè)方面是電磁場(chǎng)中的復(fù)變函數(shù)方法，一個(gè)方面是積分變換及其在通信中的應(yīng)用。導(dǎo)入：在學(xué)習(xí)大學(xué)物理電磁場(chǎng)的過程中，我曾經(jīng)接觸過這樣一道題目，題目如下:例4*5 如圖4-5所示，若已知£（ = ）=%（常數(shù)） «）<:,< a） 體是接地的，求在此蒂?zèng)r下縫中的電位、電場(chǎng)分 布.并求出.1-0和左二日兩血上的面電荷密度。由于在給某些定邊值的靜電場(chǎng)問

2、題中，在直角坐標(biāo)系中無法找到簡(jiǎn)單形式的試探解。通常采用疊加原理和傅里葉級(jí)數(shù)來構(gòu)成一個(gè)滿足邊界條件的試探解，然后運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)求出待定系數(shù)即可。例如此題中是將？?（x）= ?用傅里葉級(jí)數(shù)做了展開二AflSJn 竺r &&而？?的求法便是應(yīng)用復(fù)變函數(shù)中的傅里葉級(jí)數(shù)知識(shí),Vo sin（科為奇數(shù)）5為偶數(shù)）看到這道題后你的第一思路可能是這種不能湊成勢(shì)能相應(yīng)形式的題目沒有辦法解，但是當(dāng)你深入到復(fù)變函數(shù)中的傅里葉中的級(jí)數(shù)展開， 你的思路便展開了， 由于傅里葉級(jí)數(shù)可以展開成無數(shù)個(gè)頻率不同， 幅度不同的正弦余弦，而正弦余弦 形式的解的形式我們是可以解答的， 所以我們可以解出這道題，由

3、求出的系數(shù)帶 入到原來的傅里葉級(jí)數(shù)？，便可以求出最終解。經(jīng)過這道題目，我初步了解到了復(fù)變函數(shù)的初步作用， 即它可以提供一種逼 近思想，它可以將一個(gè)常數(shù)經(jīng)過傅里葉級(jí)數(shù)展開變成一個(gè)由無數(shù)多個(gè)不同幅度， 不同頻率的正余弦函數(shù)的和，用信號(hào)與系統(tǒng)中的分析思想就是由實(shí)數(shù)域轉(zhuǎn)換到了 復(fù)頻域。復(fù)變函數(shù)在靜電場(chǎng)問題中的應(yīng)用：在電磁場(chǎng)的學(xué)習(xí)中，我們?cè)凇办o電場(chǎng)的標(biāo)量位”這一章中接觸到了復(fù)變函數(shù) 在靜電場(chǎng)問題中的應(yīng)用。如果一個(gè)系統(tǒng)為場(chǎng)量和源量分布只與 x和y有關(guān)的二維靜電場(chǎng)系統(tǒng)。因?yàn)樵诙S無源區(qū)域內(nèi)，靜電位滿足二維拉普拉斯方程，即（x，y）?(? ?(? 7 7, 7 /= + ? ?我們發(fā)現(xiàn)，此時(shí)的點(diǎn)位是一個(gè)調(diào)和函

4、數(shù)，通過復(fù)變學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，解析 函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，而且是一對(duì)共軛的調(diào)和函數(shù)。因此，我們可以 使用復(fù)變函數(shù)這一數(shù)學(xué)工具來解決二維靜電場(chǎng)問題。由此在電磁場(chǎng)中引出了復(fù)電位的概念，若f （? = u（x,y）+ jv（x,y）, 則?1）"+ ？(？)=0 ? ? ?+ =0, (?2）只要利用解析函數(shù)應(yīng)滿足的柯西-黎曼條件，即? ? ?=?就可以導(dǎo)出式（1）和（2），可以證明，實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)的等值線族是相互正交的。由正交特性，可以將平面上的電場(chǎng)強(qiáng)度放在復(fù)平面上來考察，也就是可以將E（x,y ）寫成復(fù)數(shù)形式?(? = -+j需?=- 零,其中？?便是復(fù)電位的概念。利用復(fù)變

5、位可以反映靜電場(chǎng)分布情況，這是通過與已知靜電場(chǎng)問題的解相對(duì) 比而得到的。如果有一些有復(fù)雜邊界的靜電系統(tǒng)，則不能通過這種對(duì)比方法來求 復(fù)電位，這時(shí)編引入了常用的保角變換，利用保角變換可以把一些具有復(fù)雜邊界 的靜電系統(tǒng)變換為有簡(jiǎn)單邊界的典型靜電系統(tǒng)。運(yùn)用保角運(yùn)算計(jì)算系統(tǒng)的復(fù)電位的思路是這樣的：將復(fù)雜邊界的靜電系統(tǒng)變換為有簡(jiǎn)單邊界的典型靜電系統(tǒng)，由于典型靜電系統(tǒng)的復(fù)電位容易求解，運(yùn)用復(fù) 雜邊界與簡(jiǎn)單邊界的關(guān)系，求出典型系統(tǒng)的靜電位之后，就可以通過反變來得到 原系統(tǒng)的復(fù)電位了。當(dāng)然，能夠運(yùn)用這種思想需要的理論基礎(chǔ)是黎曼定理和互為 單值對(duì)應(yīng)原理。許瓦茲-克瑞斯托弗爾變換也是一種平面之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，它可以

6、將z平面上的一個(gè)任意多邊形區(qū)域變換為 w平面的上半平面的一種變換。以上便是平面靜磁場(chǎng)問題中的復(fù)變函數(shù)方法，即運(yùn)用復(fù)電位，保角變換(保角映射)，許瓦茲-克瑞斯托弗爾變換等來解決問題。其實(shí)，我認(rèn)為復(fù)變函數(shù)更多的體現(xiàn)在信號(hào)與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程中，因?yàn)閺?fù)變函數(shù)的思想一致貫穿與信號(hào)與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)中， 在時(shí)域中難以解決的問題通過轉(zhuǎn)換到 頻域中可以得到更簡(jiǎn)便的解決方案，而轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域便涉及到了復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的實(shí)頻域分析和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的實(shí)頻域分析便是是運(yùn)用傅里 葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換。而連續(xù)時(shí)間信號(hào)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析便是運(yùn)用到 了拉普拉斯變換的性質(zhì)。作為復(fù)變函數(shù)中重要的傅里葉變換和拉普拉斯變換，我

7、 們足以看到復(fù)變函數(shù)在信號(hào)即通信中的重要作用。首先，我們引入實(shí)頻域分析的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。針對(duì)周期函數(shù)，我們引入了傅里葉級(jí)數(shù)的概念。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析如下：對(duì)于滿足Dirichlet 條件的周期為?的周期函數(shù)f(t),可以將其分解表示 為：f(t)= ?+ 躺(？?cos?+ ?sin?由此得到，滿足 Dirichlet 條件的周期信號(hào)， 可以分解為基于其各次諧波的 不同幅度，不同相位的余弦或正弦信號(hào)的疊加， 在這種條件下，對(duì)滿足 Dirichlet 條件的周期信號(hào)， 從千變?nèi)f化的時(shí)域波形的關(guān)注， 轉(zhuǎn)向?qū)Ω鞔沃C波余弦或正弦函 數(shù)幅度和相位的關(guān)注， 從問題的表象到問題的特征， 建立周期信號(hào)

8、分析的理論模 型。由頻譜分析我們可以知道信號(hào)的幅頻和相頻特性。對(duì)非周期信號(hào)的分析我們則采用傅里葉變換， 因?yàn)樵谡鎸?shí)的物理世界中嚴(yán)格 的周期信號(hào)時(shí)不存在的， 所謂的周期信號(hào)只是既定于在某一個(gè)時(shí)間段， 傅里葉級(jí) 數(shù)的重要物理意義就是： 非周期信號(hào)可以與周期信號(hào)建立某種聯(lián)系， 進(jìn)而采用周 期信號(hào)的處理思路來處理非周期信號(hào)。周期信號(hào)與非周期信號(hào)并不存在嚴(yán)格的界限， 可以通過把非周期信號(hào)的周期 看成無窮大而將其近似于周期信號(hào)， 也可以將周期信號(hào)中的一部分區(qū)間中的取出 來構(gòu)成非周期信號(hào)進(jìn)行分析。對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的實(shí)頻域分析， 我們則引入了系統(tǒng)頻率響應(yīng)， 頻率響應(yīng)即 為單位沖激響應(yīng) h(t) 的傅里葉變換：

9、H (w) = -+J ?-?如果知道一個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，便可以對(duì)系統(tǒng)的特性有進(jìn)一步的了解。然后，我們引入復(fù)頻域分析的拉普拉斯變換。 拉普拉斯變換是針對(duì)于不能用 傅里葉形式的函數(shù)即不滿足 Dirichlet 條件的函數(shù)而言的， 通過與一個(gè)衰減因子 ?相? 乘而達(dá)到絕對(duì)可積的條件。對(duì)于拉普拉斯逆變換而言， 它與拉普拉斯變換構(gòu)成了信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域及頻域 分析的重要數(shù)學(xué)工具， 在求解系統(tǒng)各種響應(yīng)， 卷積計(jì)算及系統(tǒng)頻率響應(yīng)過程中都 起到了重要的作用。通過以上分析，我們可以看到復(fù)變函數(shù)在電子領(lǐng)域的重要性， 除了電子領(lǐng)域， 我還查閱了復(fù)變函數(shù)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用。首先我了解到了在繞流問題中的復(fù)變函數(shù)方法， 我們

10、總是使用共形映射的方 法研究一般剖面的繞流問題， 特別是機(jī)翼剖面繞流問題。 我們只要求出平面穩(wěn)定 繞流的復(fù)勢(shì)，便可導(dǎo)出此繞流的速度分布。而要求出一般剖面繞流的復(fù)勢(shì)，通常 先計(jì)算對(duì)圓柱剖面繞流的復(fù)勢(shì)，然后再求一般剖面繞流區(qū)域到圓柱剖面外部區(qū)域 的共形映射，把上述兩個(gè)函數(shù)復(fù)合起來，便可得到對(duì)一般剖面繞流的復(fù)勢(shì)， 這就 是研究任意剖面繞流問題的基本方法。此外，我們還介紹機(jī)翼剖面外部共形映射 到圓柱剖面外部的函數(shù)的近似計(jì)算方法以及具有自由邊界的一般剖面繞流問題 的處理方法。然后我了解到了滲流問題中的復(fù)變函數(shù)方法，所謂滲流就是流體（液體、氣 體、含氣液體）在多孔介質(zhì)里的流動(dòng)。我們主要討論不可壓縮的液體如水與石油 在各向同性勻質(zhì)的土壤”中作平面穩(wěn)定滲流的情形或作軸對(duì)稱穩(wěn)定滲流的情形。 下面先把上述一些滲流問題化為復(fù)變函數(shù)的問題，然后使用共形映射與邊值問題 等方法來處理這些復(fù)變問題。一般彈性理論基本問題在解法上是比較復(fù)雜的， 因此，常常較多地研究一些 特殊的情形，其中最重要的一類就是所謂“平面彈性理論”或叫“彈性理論的平 面問題”。我們將導(dǎo)出平面彈性理論的基本方程及其通解的復(fù)變函數(shù)表示式，然后介紹兩種基本邊值間題及圓內(nèi)邊值問題的幕級(jí)數(shù)解法。使用共形映射的方法， 可以把一般區(qū)域上的基本邊值間題轉(zhuǎn)化到特殊區(qū)域的情況，從而把復(fù)雜間題化為較簡(jiǎn)便的間題來處理。復(fù)變函數(shù)在工