基本不等式求最值方法

1、精品資料歡迎下載基本不等式知識(shí)點(diǎn)：2 21. 若a,b R，則a2 b2 _2ab 若a,b R，則abb（當(dāng)且僅當(dāng)_ 2a =b 時(shí)取“=”）2. 若 a,b R*，則_ ab2（2）若 a, b R*，則 a b _ 2 _ ab（當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)取“=”）若a，'R*，則寧2（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）精品資料歡迎下載13.若x 0，則x一_2（當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時(shí)取“=”） x1若x ： 0，則x2 （當(dāng)且僅當(dāng)x = -1時(shí)取“=”）x若X工0，貝y X22即x +丄22或x+丄蘭-2 （當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）xxx4.若 ab:>0 ,則>2b

2、 a（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）若ab 0 ,則a+丿b a眾即一ab肛b或-aa+ b-翼當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”） b a5.若 a, b w2R，則(a+b)2<a +b2 22（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”） 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有 廣泛的應(yīng)用應(yīng)用：求最值解題技巧1(2) y = x + 一x1例：求下列函數(shù)的值域：（1） y = 3x 2 + 22

3、x技巧一：湊項(xiàng)5彳例1已知x，求函數(shù)y=4x 2 1 的最大值。44x5變式：已知x-，求函數(shù)y =2x1的最小值。22x 3技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)時(shí)，求y =x(8_2x)的最大值。、3變式：設(shè)0 ；： x ，求函數(shù)y = 4x(3 - 2x)的最大值。2技巧三：分離換元2x +7x+10例3 :求y(x -1)的值域。x +1變式：當(dāng)x 1時(shí)，求y2x2 -2x 1x -1的最小值.技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)X2 +5調(diào)性。 例：求函數(shù)y = x 5的值域。Jx2 +4f(X)= X +旦的單x技巧六：整體代換(“1 ”的應(yīng)用)19例：已知x 0, y

4、0，且1，求x y的最小值。x y1 1變式：正數(shù)x,y滿足x 2y = 1，求一 一的最小值x y設(shè)a 0,b0.若.、3是3a與3b的等比中項(xiàng)，貝【J 一 -的最小值為a b2技巧七例：已知x, y為正實(shí)數(shù)，且x 2 +專=一求x 1 + y2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)1 + y 2中前面的系數(shù)為O分別看成兩個(gè)因式:3 4 即 x- 1 + y技巧八：已知a, b為正實(shí)數(shù),2b + ab+ a = 30,求函數(shù)y=的最小值.是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑,題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種

5、途徑是可行的；二是直接用基本不等 式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考 慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。技巧九、取平方 例：求函數(shù) 目二.'刁？汀亦2X（2 2數(shù)列檢測(cè)練習(xí)1. 已知等差數(shù)列-*的前n項(xiàng)和為Sn,若 'L'等于（）A. 18 B. 36 C. 54D. 722. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列數(shù)列an , bn=log a an,則數(shù)列bn是（）A、等比數(shù)列B、等差數(shù)列C、既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D、以上都不對(duì)3. 在等差數(shù)列a：中，3 （a + ） +2 （a +a二+a= ） =24，則此數(shù)列的前13 項(xiàng)

6、之和為（）A. 156 B. 13 C. 12D. 26精品資料歡迎下載4. 在等比數(shù)列a.中，已知 謂卯=8，則a?a8等于(A. 16B.C. 125. 一個(gè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為48,前2n項(xiàng)和為60,則前3n項(xiàng)和為()A 63B 、108C 、75D 、83精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載6.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=且 S= 101 - 1,則 n 的值為().n 1、n(A) 98( B) 99(C) 100(D) 1017.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a2i+a22+al= 1 ,貝H &+氏+an 的值為()3(A)2n(B)2n-1(C)2n+1(D)2n+1-28.

7、已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列g(shù)j滿足：a2010 + a2009 A 0 , a2010a2009 £ 0 ,則使其前n項(xiàng)和Sn0成立的最大自然數(shù)門是( ).A.4016 B.40179已知數(shù)列1,C. 4018 D. 4019，則其前n項(xiàng)的和等于精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載10、等差數(shù)列®,bn的前n項(xiàng)和分別為“若著畠，則譽(yù)11.已知等比數(shù)列an滿足an 0, n=1,2,川，且asan*22n( n _ 3)，則當(dāng)n_1時(shí),log 2 a1log 2alog 2 a2n j 二 12.設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，若 寺3,則 I：=13.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn

8、,已知a1 =1, Sn4an 2設(shè)bn =an 1 -2an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列(II)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。114.已知數(shù)列l(wèi)aj的前n項(xiàng)和Sn - -an -()n2 (n為正整數(shù))。2(i)令bn =2nan，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列fan?的通項(xiàng)公式;n +1(U)令 Cn = an，求C1 C2 - Cn 的值精品資料歡迎下載15. 已知數(shù)列務(wù)滿足an =2務(wù)2n -1(N*,n 一 2)，且a81(1) 求數(shù)列的前三項(xiàng)a-i> a2、a3的值；(2) 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列 an n 為等差數(shù)列？若存在，求出2n的值；若不存在，說明理由；求數(shù)列an通項(xiàng)公式。(3) 求數(shù)列an的前n項(xiàng)的和11116. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且有Sn二n2n，數(shù)列bn滿足22bn 2 -2bnbn =0(n N*)，