在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B

1、11-7 在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B = 0.50 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一長(zhǎng)度為l = 1.5 m的導(dǎo)體棒垂直于磁場(chǎng)方向放置，如圖11-11所示。如果讓此導(dǎo)體棒以既垂直于自身的長(zhǎng)度又垂直于磁場(chǎng)的速度v向右運(yùn)動(dòng)，則在導(dǎo)體棒中將產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。若棒的運(yùn)動(dòng)速率v = 4.0 m×s-1 ，試求：(1)導(dǎo)體棒內(nèi)的非靜電性電場(chǎng)K；(2)導(dǎo)體棒內(nèi)的靜電場(chǎng)E；(3)導(dǎo)體棒內(nèi)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)e的大小和方向；圖11-11(4)導(dǎo)體棒兩端的電勢(shì)差。解(1)根據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式,由于()的方向沿棒向上，所以上式的積分可取沿棒向上的方向，也就是dl的方向取沿棒向上的方向。于是可得.另外，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)可以用非靜電性電場(chǎng)表

2、示為.以上兩式聯(lián)立可解得導(dǎo)體棒內(nèi)的非靜電性電場(chǎng)，為,方向沿棒由下向上。(2)在不形成電流的情況下，導(dǎo)體棒內(nèi)的靜電場(chǎng)與非靜電性電場(chǎng)相平衡，即,所以，E的方向沿棒由上向下，大小為.(3)上面已經(jīng)得到,方向沿棒由下向上。(4)上述導(dǎo)體棒就相當(dāng)一個(gè)外電路不通的電源，所以導(dǎo)體棒兩端的電勢(shì)差就等于棒的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，即,棒的上端為正，下端為負(fù)。圖11-1211-8如圖11-12所表示，處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的導(dǎo)體回路ABCD，其邊AB可以滑動(dòng)。若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B = 0.5 T，電阻為R = 0.2 W，AB邊長(zhǎng)為 l = 0.5 m，AB邊向右平移的速率為v = 4 m×s-1 ，求：(1)作用于AB

3、邊上的外力；(2)外力所消耗的功率；(3)感應(yīng)電流消耗在電阻R上的功率。解(1)當(dāng)將AB向右拉動(dòng)時(shí)，AB中會(huì)有電流通過(guò)，流向?yàn)閺腂到A。AB中一旦出現(xiàn)電流，就將受到安培力F的作用，安培力的方向?yàn)橛捎蚁蜃?。所以，要使AB向右移動(dòng)，必須對(duì)AB施加由左向右的力的作用，這就是外力F外 。在被拉動(dòng)時(shí)，AB中產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為,電流為.AB所受安培力的大小為,安培力的方向?yàn)橛捎蚁蜃蟆Ｍ饬Φ拇笮?外力的方向?yàn)橛勺笙蛴摇?2)外力所消耗的功率為.(3)感應(yīng)電流消耗在電阻R上的功率為.可見(jiàn)，外力對(duì)電路消耗的能量全部以熱能的方式釋放出來(lái)。11-9有一半徑為r的金屬圓環(huán)，電阻為R，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。

4、初始時(shí)刻環(huán)面與B垂直，后將圓環(huán)以勻角速度w繞通過(guò)環(huán)心并處于環(huán)面內(nèi)的軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn) p/ 2。求：(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中環(huán)內(nèi)通過(guò)的電量；(2)環(huán)中的電流；(3)外力所作的功。解(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中環(huán)內(nèi)通過(guò)的電量為.(2)根據(jù)題意，環(huán)中的磁通量可以表示為,故感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為.所以，環(huán)中的電流為.(3)外力所作的功，就是外力矩所作的功。在圓環(huán)作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，外力矩的大小與磁力矩的大小相等，故力矩為,式中a是環(huán)的磁矩m與磁場(chǎng)B之間的夾角。在從a = 0的位置轉(zhuǎn)到a = p /2的位置，外力矩克服磁力矩所作的功為.此題也可以用另一種方法求解。外力矩作的功應(yīng)等于圓環(huán)電阻上消耗的能量，故有.與上面的結(jié)果一致。11-10一螺

5、繞環(huán)的平均半徑為r = 10 cm，截面積為S = 5.0 cm2 ，環(huán)上均勻地繞有兩個(gè)線(xiàn)圈，它們的總匝數(shù)分別為N1 = 1000匝和N2 = 500 匝。求兩個(gè)線(xiàn)圈的互感。解在第一個(gè)線(xiàn)圈N1中通以電流I1，在環(huán)中產(chǎn)生的磁場(chǎng)為.該磁場(chǎng)在第二個(gè)線(xiàn)圈N2中產(chǎn)生的磁通量為.所以?xún)蓚€(gè)線(xiàn)圈的互感為.11-11在長(zhǎng)為60 cm、半徑為2.0 cm的圓紙筒上繞多少匝線(xiàn)圈才能得到自感為6.0´10-3 H的線(xiàn)圈？解 設(shè)所繞線(xiàn)圈的匝數(shù)為N，若在線(xiàn)圈中通以電流I，則圓筒內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為.由此在線(xiàn)圈自身引起的磁通量為,所以線(xiàn)圈的自感為,由此解的線(xiàn)圈的匝數(shù)為.11-12一螺繞環(huán)的平均半徑為r = 1.2&#

6、180;10-2 m，截面積為S = 5.6´10-4 m2 ，線(xiàn)圈匝數(shù)為N = 1500 匝，求螺繞環(huán)的自感。解 此螺繞環(huán)的示意圖表示于圖11-13中。在線(xiàn)圈中通以電流I，環(huán)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為圖11-13,該磁場(chǎng)引起線(xiàn)圈的磁通量為.所以螺繞環(huán)的自感為  .11-13若兩組線(xiàn)圈繞在同一圓柱上，其中任一線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁感應(yīng)線(xiàn)全部并均等地通過(guò)另一線(xiàn)圈的每一匝。兩線(xiàn)圈的自感分別為L(zhǎng)1 和L2 ，證明兩線(xiàn)圈的互感可以表示為 .解 題意所表示的情形，是一種無(wú)漏磁的理想耦合的情形。在這種情形下，可以得到兩個(gè)線(xiàn)圈的自感分別為, .用類(lèi)似的方法可以得到它們的互感為.比較以上三

7、式，可以得出.11-14一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)，其圓形橫截面上電流密度均勻。若通過(guò)的電流為I，導(dǎo)線(xiàn)材料的磁導(dǎo)率為m，證明每單位長(zhǎng)度導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)所儲(chǔ)存的磁能為 .解 因?yàn)殡娏髟趯?dǎo)線(xiàn)橫截面上分布均勻，所以可以把電流密度的大小表示為.在導(dǎo)線(xiàn)的橫截面上任取一半徑為r(<R)的同心圓形環(huán)路，并運(yùn)用安培環(huán)路定理，得,即圖11-14,.導(dǎo)體內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 .H和B的方向可根據(jù)電流的流向用右手定則確定。導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)的磁場(chǎng)能量密度為.在導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)取一長(zhǎng)度為1、半徑為r、厚度為dr的同心圓筒，圖11-14是其橫截面的示意圖。圓筒薄層內(nèi)的磁場(chǎng)能量為,導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度的磁場(chǎng)能量為.證畢。11-15一銅片放于磁場(chǎng)中，若將銅片從磁

8、場(chǎng)中拉出或?qū)~片向磁場(chǎng)中推進(jìn)，銅片將受到一種阻力的作用。試解釋這種阻力的來(lái)源。解 這種阻力來(lái)自磁場(chǎng)對(duì)銅片內(nèi)產(chǎn)生的渦流的作用。圖11-1511-16有一長(zhǎng)為l = 2.6´10-2m的直導(dǎo)線(xiàn)，通有I = 15 A的電流，此直導(dǎo)線(xiàn)被放置在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B = 2.0 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，與磁場(chǎng)方向成a = 30°角。求導(dǎo)線(xiàn)所受的磁場(chǎng)力。解 導(dǎo)線(xiàn)和磁場(chǎng)方向的相對(duì)狀況如圖11-15所示。根據(jù)安培定律,導(dǎo)線(xiàn)所受磁場(chǎng)力的大小為,力的方向垂直于紙面向里。11-17有一長(zhǎng)度為1.20 m的金屬棒，質(zhì)量為0.100 kg，用兩根細(xì)線(xiàn)縛其兩端并懸掛于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為1.00 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)

9、的方向與棒垂直，如圖11-16所示。若金屬棒通以電流時(shí)正好抵消了細(xì)線(xiàn)原先所受的張力，求電流的大小和流向。圖11-16解 設(shè)金屬棒所通電流為I。根據(jù)題意，載流金屬棒在磁場(chǎng)中所受安培力與其重力相平衡，即,所以.電流的流向?yàn)樽杂蚁蜃蟆?1-18在同一平面內(nèi)有一長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)和一矩形單匝線(xiàn)圈，矩形線(xiàn)圈的長(zhǎng)邊與長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)平行，如圖11-17所示。若直導(dǎo)線(xiàn)中的電流為I1 = 20 A，矩形線(xiàn)圈中的電流為I2= 10 A，求矩形線(xiàn)圈所受的磁場(chǎng)力。圖11-18圖11-17解 根據(jù)題意，矩形線(xiàn)圈的短邊bc和da(見(jiàn)圖11-18)所受磁場(chǎng)力的大小相等、方向相反，互相抵消。所以矩形線(xiàn)圈所受磁場(chǎng)力就是其長(zhǎng)邊ab和cd所受磁場(chǎng)

10、力的合力。ab邊所受磁場(chǎng)力的大小為,方向向左。cd邊所受磁場(chǎng)力的大小為,方向向右。矩形線(xiàn)圈所受磁場(chǎng)力的合力的大小為,方向沿水平向左，與圖11-18中F1的方向相同。11-19在半徑為R的圓形單匝線(xiàn)圈中通以電流I1 ，另在一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)中通以電流I2，此無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)通過(guò)圓線(xiàn)圈的中心并與圓線(xiàn)圈處于同一平面內(nèi)，如圖11-19所示。求圓線(xiàn)圈所受的磁場(chǎng)力。圖11-19解 建立如圖所示的坐標(biāo)系。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，整個(gè)圓線(xiàn)圈所受磁場(chǎng)力的y分量為零，只考慮其x分量就夠了。在圓線(xiàn)圈上取電流元I1 dl，它所處位置的方位與x軸的夾角為q，如圖所示。電流元離開(kāi)y軸的距離為x，長(zhǎng)直電流在此處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為.電流元所受的磁場(chǎng)力

11、的大小為.這個(gè)力的方向沿徑向并指向圓心(坐標(biāo)原點(diǎn))。將 、 代入上式，得.其x分量為,整個(gè)圓線(xiàn)圈所受磁場(chǎng)力的大小為,負(fù)號(hào)表示Fx沿x軸的負(fù)方向。11-20有一10匝的矩形線(xiàn)圈，長(zhǎng)為0.20 m，寬為0.15 m，放置在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為1.5´10-3 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。若線(xiàn)圈中每匝的電流為10 A，求它所受的最大力矩。解 該矩形線(xiàn)圈的磁矩的大小為,磁矩的方向由電流的流向根據(jù)右手定則確定。當(dāng)線(xiàn)圈平面與磁場(chǎng)方向平行，也就是線(xiàn)圈平面的法向與磁場(chǎng)方向相垂直時(shí)，線(xiàn)圈所受力矩為最大，即.11-21當(dāng)一直徑為0.020 m的10匝圓形線(xiàn)圈通以0.15 A電流時(shí)，其磁矩為多大？若將這個(gè)線(xiàn)圈放于磁感應(yīng)強(qiáng)

12、度大小為1.5 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，所受到的最大力矩為多大？解 線(xiàn)圈磁矩的大小為.所受最大力矩為.11-22由細(xì)導(dǎo)線(xiàn)繞制成的邊長(zhǎng)為a的n匝正方形線(xiàn)圈，可繞通過(guò)其相對(duì)兩邊中點(diǎn)的鉛直軸旋轉(zhuǎn)，在線(xiàn)圈中通以電流I，并將線(xiàn)圈放于水平取向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。求當(dāng)線(xiàn)圈在其平衡位置附近作微小振動(dòng)時(shí)的周期T。設(shè)線(xiàn)圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，并忽略電磁感應(yīng)的影響。解 設(shè)線(xiàn)圈平面法線(xiàn)與磁感應(yīng)強(qiáng)度B成一微小夾角a，線(xiàn)圈所受力矩為. (1)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理，有,式中負(fù)號(hào)表示L的方向與角加速度的方向相反。將式(1)代入上式，得,或?qū)憺?  (2)令,(3)將式(3)代入式(2)，得(4)因?yàn)閣是常量，所以上式是標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)

13、諧振動(dòng)方程，立即可以得到線(xiàn)圈的振動(dòng)周期，為.圖11-2011-23假如把電子從圖11-20中的O點(diǎn)沿y方向以1.0´107 m×s-1 的速率射出，使它沿圖中的半圓周由點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)A，求所施加的外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向，以及電子到達(dá)點(diǎn)A的時(shí)間。解 要使電子沿圖中所示的軌道運(yùn)動(dòng)，施加的外磁場(chǎng)的方向必須垂直于紙面向里。磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可如下求得,. 電子到達(dá)點(diǎn)A的時(shí)間為 .11-24電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén) = 1.0´10-8 s。(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。?2)如果電子在進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所具有的能量為3.0´103 eV，求圓

14、周的半徑。解(1)洛倫茲力為電子作圓周運(yùn)動(dòng)提供了向心力，故有,由此解出B，得.(2)電子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑可以表示為,將 代入上式，得.11-25電子在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B = 2.0´10-3 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，沿半徑為R = 2.0 cm的螺旋線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，螺距為h = 5.0 cm。求電子的運(yùn)動(dòng)速率。解 電子速度垂直于磁場(chǎng)的分量 可如下求得,所以.電子速度平行于磁場(chǎng)的分量v/ 可根據(jù)螺距的公式求得 ,所以.于是，電子的運(yùn)動(dòng)速率為.圖11-2111-26在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中疊加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，讓兩者互相垂直。假如磁感應(yīng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度的大小分別為B = 1.0´10-2 T

15、和E = 3.0´104 V×m-1 ，問(wèn)垂直于磁場(chǎng)和電場(chǎng)射入的電子要具有多大的速率才能沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)？解 根據(jù)題意，電場(chǎng)、磁場(chǎng)和電子的運(yùn)動(dòng)速度v三者的相對(duì)取向如圖11-21所示。要使電子沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度v的大小應(yīng)滿(mǎn)足,所以速度的大小應(yīng)為.11-29證明平行板電容器中的位移電流可以表示為,圖11-22式中C是電容器的電容，V是兩極板間的電勢(shì)差。如果不是平行板電容器，而是其他形狀的電容器，上式適用否？解 電容器中的位移電流，顯然是在電容器被充電或放電時(shí)才存在的。設(shè)電容器在被充電或放電時(shí)，極板上的自由電荷為q，極板間的電位移矢量為D，則根據(jù)定義，位移電流可以表示為 ,或者

16、.根據(jù)電容器形狀的對(duì)稱(chēng)性，作高斯面剛好將電容器的正極板包圍在其內(nèi)部，并且高斯面的一部分處于電容器極板之間，如圖11-22所示。這樣，上式可化為.證畢。在上面的證明中，雖然圖11-22是對(duì)平行板電容器畫(huà)的，但是證明過(guò)程并未涉及電容器的具體形狀，并且對(duì)所作高斯面的要求，對(duì)于其他形狀的電容器都是可以辦到的。所以，上面的結(jié)果對(duì)于其他形狀的電容器也是適用的。11-30由兩個(gè)半徑為R的圓形金屬板組成的真空電容器，正以電流I充電，充電導(dǎo)線(xiàn)是長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)。求：(1)電容器中的位移電流；(2)極板間磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。解(1)設(shè)極板上的電荷為q，則充電電流為.極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為.位移電流密度為,位移電流為.這表示位移電流與充電電流相等。(2)在極板間、與板面平行的平面上作半徑為r的圓形環(huán)路L，其圓心處于兩金屬板中心連線(xiàn)上，并運(yùn)用安培環(huán)路定理，得.因?yàn)榇艌?chǎng)以金屬圓板中心連線(xiàn)為軸對(duì)稱(chēng)，所以上式可以化為.由上式解得.當(dāng) 時(shí)，即在極板間、板的邊緣附近，有.11-31現(xiàn)有一功率為200 W的點(diǎn)光源，在真空中向各方向均勻地輻射電磁波，試求：(1)在離該點(diǎn)光源25 m處電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的峰值；(2)對(duì)離該點(diǎn)光源25 m處與波線(xiàn)相垂直的理想反射面的光壓。解 (1)盡管由點(diǎn)光源