四年級下數(shù)學思維訓練教程

1、四年級下期第一講加減混合運算的簡算例 1 計算：(1) 320587496749(2) 914362875287解：(1) 觀察發(fā)現(xiàn), 加數(shù) 8749 與減數(shù) 6749 的末三位數(shù)字相同, 如果讓這兩個數(shù)先抵消一下, 計算就會簡便。因為加數(shù)大減數(shù)小, 抵消后的數(shù)還是加數(shù), 所以 320587496749 3205(87496749) 32052000 5205(2) 觀察發(fā)現(xiàn), 減數(shù) 6287 與加數(shù) 5287 的末三位數(shù)字相同, 如果讓這兩個數(shù)先抵消一下, 計算就會簡便。因為減數(shù)大加數(shù)小, 抵消后的數(shù)還是減數(shù), 所以 914362875287 9143(62875287) 61431000從

2、上面兩題可以發(fā)現(xiàn)：加減混合運算, 為了使計算簡便而需要添上括號時, 如果在加號后面添上括號, 括號里面的數(shù)不必改變運算符號；如果在減號后面添上括號, 括號里面的數(shù)必須改變運算符號, 由加變成減, 由減變成加。簡單地說就是, 在添上括號時：加號后面添括號, 原來加減不變號； 減號后面添括號, 原來加減要變號。有時, 為了使計算簡便, 需要去掉括號, 這條規(guī)則可以反過來用。簡單地說就是, 在去掉括號時：括號前面是加號, 原來加減不變號；括號前面是減號, 原來加減要變號。例 2 計算：(1) 1524(34761584) (2) 7369(43691055) 解：(1) 1524(34761583)

3、 152434761583 50001583 3417(2) 7369(43691055) 736943691055 30001055 4055上面的例題，再一次印證了認真觀察、善于思考的重要性，希望同學們能有意識、有目的地養(yǎng)成這種好習慣。練習一1. 在里填運算符號, 在橫線上填數(shù)。 (1) 564496196564( ) (2) 397748548397( ) (3) 843567967843( ) (4) 638293593638( )2. 用簡便方法計算下面各題。 (1) 904356781678(2) 586744923492 (3) 613854768476 (4) 32642259

4、42593. 在里填運算符號, 在橫線上填數(shù)。 (1) 374(526312)374 (2) 824(324158)824 (3) 579(279108)579 (4) 384(495216)384 (5) 607(514293)607 4. 用簡便方法計算下面各題。 (1) 9473(64732815) (2) 3642(53071642) (3) 6382(41432618) (4) 4068(29321657)(5) 9364(53642989) (6) 1625(42682375)第二講乘除混合運算的簡算例 1計算：(1) 312567 (2)9600254解：(1) 算式的意義是把

5、312 先擴大 56 倍再縮小 7 倍。如果把擴大和縮小的倍數(shù)抵消一下, 就相當于把 312 直接擴大 5678 倍。 312567312(567)31282496(2)算式的意義是把 9600 先縮小 25 倍, 再縮小 4 倍。如果把縮小的過程合并成一次, 相當于縮小 254 倍, 因為 254100, 一個數(shù)縮小 100 倍, 只需從末尾去掉兩個 0, 計算就非常簡便。 96002549600(254)960010096從上面兩題可以發(fā)現(xiàn), 乘除混合運算, 為了使計算簡便而需要添上括號時, 如果在乘號后面添上括號, 括號里面的數(shù)不必改變運算符號；如果在除號后面添上括號, 括號里面的數(shù)必須

6、改變運算符號, 由乘變除, 由除變乘。簡單地說就是, 在添上括號時：乘號后面添括號, 原來乘除不變號；除號后面添括號, 原來乘除要變號。有時, 為了使計算簡便, 需要去掉括號, 這條規(guī)則可以反過來用。簡單地說就是, 在去掉括號時：括號前面是乘號, 原來乘除不變號；括號前面是除號, 原來乘除要變號。例 2 計算。(1) 25(12075) (2) 512(3215) 解：(1) 25(12075) 251207530007540 (2) 512(3215)51232151615240同學們一定會發(fā)現(xiàn), 乘除混合運算添上或去掉括號的規(guī)則, 與加減混合運算的情況非常相似。只要稍作改變就可以一起記住。

7、例 3用簡便方法計算下面各題。(1) 6826917 (3) 125168解：(1) 算式的意義可以理解為,把 68 先擴大 269 倍再縮小 17 倍。經(jīng)驗告訴我們: 把一個數(shù)先擴大再縮小或者先縮小再擴大,結(jié)果是一樣的。但是,一般地說,把一個數(shù)先縮小再擴大要比先擴大再縮小好算一些。于是 6826917681726942691076 (2) 這道題雖然是把 125 先縮小再擴大, 符合計算方便的要求, 但是 12516 有余數(shù), 往下無法進行。所以只好先擴大再縮小。于是 125168012580161000016625 于是, 我們得到一個非常有用的結(jié)論：乘、除連在一起, 乘數(shù)和除數(shù)可以帶著運

8、算符號交換位置。練習二帶“*”的是選作題。1. 在里填運算符號, 在橫線上填數(shù)。 (1) 564369564( ) (2) 427637427( ) (3) 32084320( ) (4) 24863248( )2. 用簡便方法計算下面各題。 (1) 423186 (2) 301549 (3) 840212 (4) 6564183. 在里填運算符號, 在橫線上填數(shù)。 (1) 16(254)16 (2) 96(162)96 (3) 79(798)79 (4) 25(437)25 4. 用簡便方法計算下面各題。 (1) 256(6415)(2) 125(3225) (3) 780(2618)(4)

9、 375(4075) (5) 936(3613)(6) 625(1687)5. 用簡便方法計算下面各題。5139917 27002527 28567900364 9108613 7800922696002524 2255675 8007290111002537 8007290 111002537* 6. 計算 1(23)(34)(45)(56)(67)(78)。第三講 求等差數(shù)的和例 1 計算123234345456567678。解：觀察發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個加數(shù)的差相等, 都是 111。這就啟發(fā)我們，如果根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律, 先求出第一個加數(shù)與倒數(shù)第一個加數(shù)的和, 第二個加數(shù)與倒數(shù)第二個加數(shù)

10、的和, 第三個加數(shù)與倒數(shù)第三個加數(shù)的和, 那么 3 個和都相等。這樣一來, 就可以用乘法代替加法, 使計算簡便。 123234345456567678 (123678)(234567)(345456) 8013 2403 例 2 計算 1045105010551060106510701075。解：觀察發(fā)現(xiàn), 相鄰兩個加數(shù)的差相等, 都是 5, 一共有 7 個加數(shù)。中間的第四個加數(shù) 1060, 不僅是第三個加數(shù)與第五個加數(shù)的平均數(shù), 也是第二個加數(shù)與第六個加數(shù)的平均數(shù), 也是第一個加數(shù)與第七個加數(shù)的平均數(shù)。換句話說, 所有 7 個加數(shù)的和等于第四個加數(shù)的 7 倍。于是, 可以用乘法代替加法, 使

11、計算簡便。 1045105010551060106510701075 10607 7420總結(jié)以上兩種情況, 幾個數(shù)相加, 當相鄰兩個加數(shù)的差相等時, 就可以用乘法代替加法, 使計算簡便： (1) 如果加數(shù)的個數(shù)是雙數(shù), 可以用首尾兩個加數(shù)相加的和乘以加數(shù)個數(shù)的一半； (2) 如果加數(shù)的個數(shù)是單數(shù), 可以用中間那個加數(shù)乘以加數(shù)的個數(shù)。試試看：(1) 1471013161922?(2) 310320330340350360370380390?練習三1.用簡便方法計算下面各題。(1) 1357911131517(2) 992993994995996997998999(3) 196019701980

12、199020002010(4) 111222333444555666777888999(5) 987876765654543432321 2. 下面是一個“乘法三角形”, 第一行表示: 一一得一；第二行表示: 一二得二,二二得四； 認真觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律, 把每一橫行、從右上方到左下方每一斜行各數(shù)的和, 填在相應的括號里。 1 ( ) 2 4 ( ) 369 ( ) 4 8 12 16 ( ) 5 10 15 20 25 ( ) 6 12 18 24 30 36 ( ) 7 14 21 28 35 42 48 ( ) 8 16 24 32 40 48 56 64 ( ) 9 18 27 36 45

13、54 63 72 81 ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 3. 游樂園有一座 13 層寶塔, 每層檐角上都掛了一些風鈴。從上到下分別是 6 只、12 只、18 只、72 只、78 只。這座寶塔一共有多少只風鈴?4. 小華看一本故事書。第一天看了 10 頁, 從第二天起越看越快，每天都比前一天多看 2 頁, 結(jié)果, 只用 5 天就把這本書看完了。這本故事書有多少頁?* 5. 小明放學路過一條小巷, 走著走著，他想檢驗一下自己的口算能力, 于是，把一連 10 家的門牌號碼(從小到大)加了起來, 得 105。你知道他是從幾號開始加起的嗎?第四講解決問題(一)例 1光華紡

14、織廠, 女職工的人數(shù)比男職工的 3 倍多 102 人, 比男職工的 4 倍少 75 人, 這個廠有男女職工各多少人?解：這里是把男職工的人數(shù)當作一倍量, 畫出線段圖 男職工人數(shù) 102人 75人 女職工人數(shù) 男職工的3倍 男職工的4倍 可以看出 10275177(人)就是男職工人數(shù)，女職工有 1773102633 (人)，或，177475633(人)。例 2 一個養(yǎng)羊?qū)I(yè)戶, 飼養(yǎng)山羊 65 只, 養(yǎng)的綿羊比山羊多 130 只, 綿羊的只數(shù)是山羊的多少倍?解法一：先求出綿羊的只數(shù), 再與山羊的只數(shù)比較。把山羊的只數(shù)作為一倍, 綿羊的只數(shù)里包含多少個山羊的只數(shù), 綿羊就是山羊的多少倍。 (651

15、30)65195653解法二：先求出綿羊比山羊多的那一部分是山羊的多少倍, 再加上與山羊同樣多的那一倍, 就是綿羊的只數(shù)是山羊的多少倍。 130651213練習四1. 選擇算式填在括號里。(1) 業(yè)余體校有籃球 23 個, 排球比籃球的 2 倍多 5 個, 排球比籃球多多少個?( )(2) 業(yè)余體校有籃球 23 個, 排球比籃球的 3 倍多 5 個, 再買多少個排球, 排球就是籃球的 4 倍? ( )(3) 業(yè)余體校有籃球 23 個, 排球比籃球的 3 倍少 5 個, 排球比籃球的 2 倍多多少個? ( )(4) 業(yè)余體校有籃球 23 個, 排球比籃球的 3 倍少 2 個, 又買來 5 個排球

16、, 排球比籃球的 3 倍多多少個? ( ) ( 235 235 53 53 52 52 )2. 同學們到游泳館學游泳。已知游泳池里男同學的人數(shù)比女同學的 3 倍多 24 人, 比女同學的 4 倍少 8 人。游泳池里有男、女同學各多少人? 3. 一艘木船 4 小時航行 76 千米, 一艘氣墊船 2 小時航行 114 千米, 氣墊船的速度是木船的幾倍?4. 時鮮果品店運來一批水果, 其中, 香蕉 120 千克, 橘子的重量是香蕉的 3 倍。香蕉賣出了一些以后, 橘子的重量變成了香蕉的 5 倍。賣出香蕉多少千克? 5. 公園里養(yǎng)了 9 只大猴子, 比小猴子的只數(shù)少 27 只, 小猴子的只數(shù)是大猴子的

17、多少倍? (用兩種方法解)6. 新華小學組織四年級同學，對學校附近居民擁有家電的情況進行了一次調(diào)查, 結(jié)果如下：252 戶有彩電, 36 戶沒有彩電；72 戶沒有洗衣機, 比有洗衣機的少 144 戶。(1) 有彩電的戶數(shù)比沒有彩電的戶數(shù)多多少倍?(2) 有洗衣機的戶數(shù)是沒有洗衣機的戶數(shù)的多少倍?第五講解決問題(二)例 1一臺黑白電視機 468 元, 彩色電視機的價錢比黑白電視機的 5 倍還貴 180 元。買一臺黑白電視機比買彩色電視機便宜多少元?解法一：先求出一臺彩色電視機的價錢，再拿黑白電視機的價錢和彩色電視機相比較。468518046823401804682052(元)解法二：畫出線段圖

18、468元 黑白電視機的價錢 180元 彩色電視機的價錢 從圖上可以看出：彩色電視機的價錢比黑白電視機貴的部分, 相當于黑白電視機價錢的 514 倍多 180 元。因此, 不必求出彩色電視機的價錢, 也能求出黑白電視機比彩色電視便宜多少元。 468(51)18046841802052(元)例 2新華書店四月份售出兒童讀物 12800 本, 比三月份多售出 2200 本。五月份售出的等于三、四兩個月售出總和的一半, 五月份售出多少本?解法一：先求出三月份售出多少本，三、四兩個月一共售出多少本，再求五月份售出多少本。(12800220012800)223400211700(本)解法二：用線段圖表示出

19、三、四月份售書本數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系 12800 本 四月份售書本數(shù) 三月份售書本數(shù) 2200本 從圖上可以看出：三、四月份售出的總數(shù)比四月份的 2 倍少 2200 本。因此, 不必求出三月份售出多少本, 可以先直接求出三、四月份售出的總數(shù), 再求出五月份售出多少本。 (1280022200)223400211700(本)練習五1. 畜牧場養(yǎng)了兩種羊, 黑羊 1048 只, 白羊的只數(shù)比黑羊的 3 倍少 59 只。白羊比黑羊多多少只? (用兩種方法解)2. 服裝廠去年上半年生產(chǎn)童裝 1054 箱, 下半年生產(chǎn)的童裝比上半年的 2 倍還多 98 箱, 下半年比上半年多生產(chǎn)多少箱?3. 果園里有桃樹

20、204 棵, 梨樹的棵數(shù)比桃樹的 3 倍少 57 棵, 兩種果數(shù)共有多少棵? 4. 學校圖書室有科技書 430 本, 故事書的本數(shù)是科技書的 3 倍, 但是比連環(huán)畫還少 79 本。連環(huán)畫比科技書多多少本?5. 水果店上午賣出桔子 15 筐, 下午賣出的比上午的 2 倍少 4 筐。每筐桔子 25 千克, 每千克售價 2 元, 一共賣了多少錢?6. 和平路小學有學生 1250 人, 幸福路小學的學生人數(shù)比和平路小學多 548 人, 健康路小學的學生人數(shù)等于這兩所小學總?cè)藬?shù)的一半, 健康路小學有學生多少人? (用兩種方法解)第六講 雞免同籠問題例 1 籠子里關(guān)著雞和兔子一共 36 只, 一共 100

21、 只腳, 雞和兔子各多少只?解：這就是有名的“雞兔同籠問題”, 解答這類問題，通常采用“假設法”。解法一：假設全都是雞, 應該有23672(只)腳, 比實際少了1007228(只)腳。用一只兔子換一只雞, 可以增加422(只)腳。增加28只腳，需要換28214(只)兔子，也就是說實際有12只兔子, 其余的361422(只)是雞。解法二：假設全都是兔子, 應該有436144(只)腳, 比實際多了14410044(只)腳。用一只雞換一只兔子, 可以減少422(只)腳。減少44只腳，需要換44222(只)雞，也就是說實際有22只雞, 其余的362214(只)是兔子。 在我國古代，解這類雞兔同籠問題，

22、采用一種非常特殊的方法，它的特別之處在于，腳不用“只”而用“雙”做單位。古人是這樣想的：免子有2雙腳, 雞有1雙腳，1只兔子比1只雞多1雙腳?，F(xiàn)在共有50雙腳, 比頭數(shù)多14, 說明有14只兔子, 其余的361422(只)自然是雞。這種方法真是妙不可言。瞧，咱們的老祖宗有多聰明！例 2一次考試共有10道題, 評分標準是：答對一題得3分；答錯一題扣2分；不能不答。小明得了15分, 他一共答對了幾道題?解：可以這樣想：假設10道題全都答對了, 應該得31030(分), 答錯一題不僅不能得分還要扣分, 等于少得325(分),小明少得了301515(分), 說明答錯了1553(道), 答對了 1037

23、(道)。練 習 六1籠子里共有雞和兔子51只，共有腳172只，雞和兔子各多少只？2. 廣場上停了 16 輛自行車和三輪車, 兩種車共有 38 個輪子, 有幾輛自行車, 幾兩三輪車?3. 張老師帶同學們到游樂場去玩, 買了20張門票，一共用了76元。門票有兩種,甲種票每張5元, 乙種票每張3元, 兩種票各買了多少張?4. 搬運站給客戶運250箱玻璃, 商定每箱運費20元, 如果損壞一箱, 不僅不付運費, 還要賠償100元。結(jié)果共得運費4400元, 損壞了幾箱? 5. 一次知識競賽, 共20題, 答對一題得10分, 答錯一題扣5分, 不答不得分也不扣分。小英得了155分, 她答對了幾題? 答錯了幾

24、題?* 6. 松鼠媽媽采松子, 晴天每天采20個, 雨天每天采12個, 它一共采了112個松子, 平均每天采14個, 這些天當中有幾天下雨?第七講 找規(guī)律例 1 先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。(1) 2，5, 11, 23, 47，( )，（ ）；(2) 13，16, 18, 31, 23, 46，( )，( )；(3) 8, 15，11, 13，15, 10，20，6，( )，( )；(4) 8, 3，9, 4，10, 5，( )，( )。解：(1) 觀察發(fā)現(xiàn)：后項前項21。應該填 472195，9521191。(2) 觀察發(fā)現(xiàn)：單數(shù)項依次加 5，應該填 23528；雙數(shù)項依次加 1

25、5，461561。(3) 觀察發(fā)現(xiàn)：單數(shù)項依次加 3、4、5，應該填 20626；雙數(shù)項依次減 2、3、4，應該填651。(4) 觀察發(fā)現(xiàn)：逐項依次減 5，加 6，應該填 5611, 1156，例 2 下面的數(shù)是由自然數(shù) 1、2、3、排列而成的，第 10 行最左邊的數(shù)是多少？最右邊的數(shù)是多少？ 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 解：這道題實際上是求數(shù)列 1,2，5,10,17，和數(shù)列 1,4，9,16,25，的第 10 個數(shù)分別是多少。 在數(shù)列 1,2，5,10,17，中，相鄰兩個數(shù)的差依次為 1,

26、3，5,7，第 10 個數(shù)是 113579111315171(117)9282。 在數(shù)列 1,4,9,16,25，中，第幾個數(shù)等于幾自乘的積，第 10 個數(shù)是 1010100。練 習 七帶“”的是往屆全國小學數(shù)學奧林匹克競賽題。1找出下面各數(shù)列的規(guī)律，并按所找到的規(guī)律在括號里填上合適的數(shù)。 (1) 25, 3，22, 3，19, 3，( )，( )； (2) 8, 1，10, 2，12, 3，( )，( )； (3) 12, 14, 17, 21, 26，( )，( )； (4) 1, 3，9, 27, 81，( )，( )； (5) 1, 2，5, 4，9, 6，13, 8，( )，( )；

27、(6) 8，15, 29, 57，( )，( )；(7) 2, 3，5, 9，17，( )，( )；(8) 2, 3，8, 8，14, 13, 20，( )，( )。2找出下面數(shù)表的規(guī)律，然后再接下去寫兩行，并把每行各數(shù)的和填在右邊的括號里。 1 ( ) 1 1 ( ) 1 2 1 ( ) 1 3 3 1 ( ) 1 4 6 4 1 ( ) ( ) ( ) 3找出下面算式的規(guī)律，再計算 123199920001999321( ) 1214 123219 123432116 12345432125 4找出下面算式的規(guī)律，再求出 13599( ) 11 134 1359 1357165一只母雞生蛋

28、很有規(guī)律，總是連著兩天每天生一個蛋，然后就要歇一天。已知“五一”節(jié)這天沒有生蛋，那么五月份一共生了( )個蛋。 6. 下面三個方框內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律, 請你找出它們的規(guī)律, 先確定 B、C, 再確定 A, 那么 A 是多少？ 9 1 20 2 A 32 3 3 4 B C第八講 數(shù)正方形例 1 圖中有多少個正方形？ 解：圖中有許多大大小小的正方形。為了在數(shù)的時候做到既不重復又不遺漏，最好先分類，再一類一類地數(shù)。(1)由兩個小三角形組成的最小的正方形有8個；(2)由4個小三角形組成的稍大一些的正方形有4個；(3)由4個小正方形組成的更大一些的正方形有3個；(4)由16個小三角形組成的最大的正方形

29、只有1個。所以，圖中共有843116(個)正方形。例 2圖中有多少個正方形? 解：圖中的小正方形共有4行，每行有4個。這些小正方形可以組成許多更大的正方形，仍然按照從小到大的順序來數(shù)：(1)小正方形有44個；(2)由4個小正方形組成的正方形有33個；(3)由9個小正方形組成的正方形有22個；(4)由16個小正方形組成的正方形有1個。共有1694130(個)。由此猜想：假如中的小正方形共有5行，每行5個，是不是總共有5544332211個正方形呢？小正方形共有6行，每行6個，是不是總共有665544332211個正方形呢？要是7行，每行7個呢？請你驗證一下好嗎？你是否發(fā)現(xiàn)了這樣一個規(guī)律：如果圖中

30、的小正方形共有n行，每行有n個，計算正方形的總數(shù)，可以從nn開始，然后每個因數(shù)都逐次減1，直到11為止，再把這些積相加。例 3圖中有多少個正方形？解：圖中的小正方形共有4行，每行7個。這些正方形可以分為4類：11的、22的、33的、44的。分別有：(1)11的正方形有4728(個)；(2)22的正方形有3618(個)；(3)33的正方形有2510(個)；(4)44的正方形有144(個)。共有47362514281810470(個)。這就再次觸發(fā)我們的猜想：如果圖中的小正方形共有m行，每行n個，計算正方形的總數(shù)，是不是可以從mn開始，然后每個因數(shù)都逐次減1，直到有一個因數(shù)出現(xiàn)1為止，再把這些積相

31、加就行了呢？請你給m、n設一些不同的數(shù)，驗證一下好嗎？練習八1. 下面3個圖形中各有多少個正方形？2左下圖中有多少個正方形？3右上圖中有多少個正方形？4右圖是一個黑白相間的88國際象棋盤，其中有許多正方形，在這些正方形中,黑白格子各占一半的正方形有多少個？第九講乘法分配律的妙用 運用乘法分配律有時會使復雜的計算變得非常簡單。乘法分配律的運用巧妙、靈活, 處處閃耀著智慧的光芒。例 1計算72126？解：我們以前做過 72125 這樣的題目, 是把 72 變成 98, 然后讓 8 和 125 相乘。這就啟發(fā)我們, 可以把 126 先變成 1251。于是 7212672(1251)721257289

32、125729(8125)7291000729000729072。 當然，上面寫的是全部思考過程，其中許多步驟都是可以省略的。例 2計算 9999991999？解：算式中 999999 是求 999 個 999 的和, 觀察發(fā)現(xiàn), 還有 1 個 999 隱藏在后面的加數(shù) 1999 里面。于是 99999919999999999991000999(9991)100099910001000(9991)1000100010001000000。例 3計算49161748？解：運用乘法分配律的條件是：兩個積必須有一個相同的因數(shù)。這里的兩個積中, 49 和 17 不可能成為相同的因數(shù), 只有寄希望于 16

33、和 48。觀察發(fā)現(xiàn), 48163, 其中有一個因數(shù)是16，這正是我們所要找的。于是49161748491617(163)4916(173)16 49165116(4951)16100161600。練習九1. 用乘法分配律使下面的計算變得簡便。 (1)1721081728 7326737573 (2)12588 40425 (3)4825 4826 4824 (4)56125 56126 561242. 用簡便方法計算下面各題。(1) 4(252625174) (2) 264972644(3) 37152145 (4) 94182172(5) 72241528928 (6) 119111111(

34、7) 235278623523513 (8) 9911111119 3. 計算：19961997199719961996199619971997_。第十講除法各部分的關(guān)系在四則運算中，除法的計算最為復雜，并且，除法還與分數(shù)的關(guān)系非常密切，因此，為了給以后學習分數(shù)打好基礎(chǔ)，弄清除法各部分之間的關(guān)系就顯得十分必要。被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之間存在以下關(guān)系：在沒有余數(shù)的除法中，被除數(shù)商除數(shù)。在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)商除數(shù)余數(shù)。例 1兩個數(shù)相除, 商 8 余 16, 被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是 463。被除數(shù)和除數(shù)各是多少?解：先從 463 里面減去商 8 和余數(shù) 16, 得 463816439, 4

35、39 就是被除數(shù)與除數(shù)的和。而“被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)”, 也就是說, 被除數(shù)等于“除數(shù)的 8 倍”與“余數(shù)”的和, 所以, 如果從 439 里面再減去一次余數(shù) 16, 剩下的 43916423 里面就只有“除數(shù)的 8 倍”和“除數(shù)”, 也就是除數(shù)的 819 倍, 于是, 除數(shù)是 423947。被除數(shù)是 84716392。答：被除數(shù)是 392，除數(shù)是 47。例 2 兩個數(shù)相除，商9余4。如果被除數(shù)、除數(shù)都擴大3倍，那么被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之和等于2583。原來的被除數(shù)、除數(shù)各是多少？解：被除數(shù)、除數(shù)都擴大3倍以后，商不變?nèi)匀皇?，而余數(shù)相應地也擴大了3倍，變成4312，所以，擴大后的被除數(shù)、除數(shù)之

36、和是25839122562，于是，原來的被除數(shù)、除數(shù)之和是25623854。因為原來的商是9，余數(shù)是4，說明原來的被除數(shù)比除數(shù)的9倍多4，所以，原來的除數(shù)是(8544)(91)85，被除數(shù)是85485769。答：被除數(shù)是 796，除數(shù)是 85。因為除法和乘法是互逆關(guān)系，所以，有些由乘法產(chǎn)生的問題也要用除法來解決。例 3 小馬在計算兩個整數(shù)相乘時，錯把一個因數(shù)個位上的 5 看成了8，算出的積是 5632；小虎錯把同一個因數(shù)十位上的 8 看成了 6，算出的積是 4160。這道題正確的積應該是多少？解：對于同一個因數(shù)，小虎比小馬少算了(8060)(85)23，因此積少算了 563241601472，

37、說明那個正確的因數(shù)是 14722364。所以小馬把另一個因數(shù)錯當成 56326488，可見，另一個因數(shù)是 85，這道題正確的積應該是 64855440。答：這道題正確的積應該是 5440。練習十1一個數(shù)除以最大的三位數(shù), 商比除數(shù)多 1, 余數(shù)比除數(shù)少 1，這個數(shù)是多少？2一個整數(shù)除法算式的商是 236, 余數(shù)是 47, 被除數(shù)最小是多少?3. 兩個數(shù)相除, 商 9 余 24, 被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是 787。被除數(shù)是多少?4. 一個數(shù)除以 10，商比被除數(shù)小 567 沒有余數(shù)。這個數(shù)是多少？* 5. 小明在計算一道加法式題時, 沒有認真審題，把加號當成除號了, 結(jié)果，除得的商和余數(shù)都是

38、 18。如果這道題的正確得數(shù)是 531, 那么這兩個加數(shù)各是多少? 6. 兩數(shù)相除，商 4 余 8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)等于 415，則被除數(shù)是多少？第十一講三角形與角(一)例1我們偉大祖國的國旗是五星紅旗。在中國少年先鋒隊隊旗上也有一顆耀眼的五角星。如果不用量角器，你能算出五角星的一個角是多少度嗎？解：觀察發(fā)現(xiàn)，五角星的中心是一個正五邊形。我們知道，一個n邊形可以分成n2個三角形，而無論什么樣的三角形，內(nèi)角和都是180，所以，n邊形的內(nèi)角和等于180(n2)度。通常，把邊和角分別相等的多邊形叫做正多邊形。因為正n邊形的內(nèi)角和等于180(n2)度，所以，它的一個內(nèi)角等于180(n2)n

39、度。五角星的中心是一個正五邊形，于是它的一個內(nèi)角是180(52)5108度。五角星的每個角都是一個等腰三角形的頂角，而這個等腰三角形的一個底角是18010872，所以五角星的一個角是18072236。例2 如圖，12，34，ACD120，AEB()。解：通常，把ACD這樣的角稱為三角形的外角。因為ACD與ACB的和等于180，而三角形ABC的三個內(nèi)角的和也等于180，所以ACDBACABC，也就是是說，三角形的一個外角，等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和。這是三角形中一個非常重要的數(shù)量關(guān)系。因此，BACABCACD120。又因為已知12，34，所以，1324，即，1與3的和等于BAC與ABC的和的一半，

40、是120260。在三角形AEB中，AEB13180，所以，AEB180(13)18060120。練習十一1菱形(圖1)的內(nèi)角和是多少度？常見的六角形螺絲帽(圖2)的一個角是多少度？正十邊形的一個角是多少度？ (圖1) (圖2) 2. 左下圖中1、2、3 一共是多少度? 1 2 5 2 1 3 4 33右上圖中1、2、3、4、5一共是多少度?4如圖，BAC20, BDE60, DEC25, 求ACE。 A B C D E5. 圖中ADE90,A45, C25, AFB？ A D E B F C6如圖，如果12，34，5100，那么A？第十二講 三角形與角(二) 例 1 下圖是一個五角星形。連接

41、A、B、C、D、E, 得到一個正五邊形,這個正五邊形中，一共有多少個三角形? 其中銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形各有多少個? 解：(1)與ABE 相同的有 5 個； (2)與ABG 相同的有 5 個； (3)與AGF 相同的有 5 個； (4)與ABF 相同的有 5 個； (5)與AGE 相同的有 5 個； (6)與ACD 相同的有 5 個； (7)與BIE 相同的有 5 個。總共有 5735(個)三角形。其中：(1)與ABE、ABG、BIE 相同的 15 個是鈍角三角形；(2)與AGF、ABF、AGE、ACD 相同的 20 個是銳角三角形。在這 35 個三角形中, 除了與 ABF、AGE 相同的 10 個不是等腰三角形以外, 其余 25 個都是等腰三角形。答：圖中一共有 35 個三角形，其中有 20 個銳角三角形，15 個鈍角三角形，25 個等腰三角形?例 2圖中ABCD是正方形，EBC是正三角形，EAD？A D E B C解：因為EBC是正三角形，所以EBC60，ABE90D6030。因為ABBE，ABE是等腰三角形，所以BEA(18030)