導數研究函數零點問題

1、 利用導數研究方程的根函數與x軸即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式（組）即可；1、已知函數. () 求f(x)的反函數的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程; () 證明: 曲線y = f (x) 與曲線有唯一公共點.答案解:() f (x)的反函數,則y=g(x)過點(1,0)的切線斜率k=.過點(1,0)的切線方程為:y = x+ 1() 證明曲線y=f(x)與曲線有唯一公共點

2、,過程如下.因此,所以,曲線y=f(x)與曲線只有唯一公共點(0,1).(證畢)2、已知函數(,為自然對數的底數).(1)求函數的極值;(2)當的值時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.(1), 當時,為上的增函數,所以函數無極值. 當時,令,得,. ,;,. 所以在上單調遞減,在上單調遞增, 故在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上,當時,函數無極小值; 當,在處取得極小值,無極大值. (2)當時,. 直線:與曲線沒有公共點, 等價于關于的方程在上沒有實數解,即關于的方程: (*) 在上沒有實數解. 當時,方程(*)可化為,在上沒有實數解. 當時,方程(*)化為. 令,則有. 令,得

3、, 當變化時,的變化情況如下表:當時,同時當趨于時,趨于, 從而的取值圍為.所以當時,方程(*)無實數解, 解得的取值圍是. 綜上,得的最大值為.3、已知函數，且在區(qū)間上為增函數（1） 數的取值圍；（2） 若函數與的圖象有三個不同的交點，數的取值圍解：（1）由題意在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上恒成立即恒成立，又，故的取值圍為（2）設，令得或由（1）知，當時，在R上遞增，顯然不合題意當時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即，解得綜上，所求的取值圍為4、已知函數是實數集R上的奇函數，函數是區(qū)間一1，1上的減函數 (I)求a的值； (II

4、) 若在x一1，1上恒成立，求t的取值圍 ()討論關于x的方程的根的個數。解：（I）是奇函數，則恒成立.（II）又在1，1上單調遞減，令則. （III）由（I）知令，當上為增函數；上為減函數，當時，而，、在同一坐標系的大致圖象如圖所示，當時，方程無解. 當時，方程有一個根.當時，方程有兩個根.5、.已知函數且在上的最大值為，（1）求函數f(x)的解析式；(2)判斷函數f(x)在（0，）的零點個數，并加以證明。（I）在上恒成立，且能取到等號在上恒成立，且能取到等號在上單調遞增（II）當時，在上單調遞增在上有唯一零點當時，當上單調遞減存在唯一使 得：在上單調遞增，上單調遞減 得：時，時，在上有唯一零點 由得：函數在有兩個零點。6、已知函數在點處取得極小值4，使其導數的的取值圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，數的取值圍解：（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：，（2）設切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所數的圍為：7、已知（為常數）在時取得一個極值， （1）確定實數的取值圍，使函數在區(qū)間上是單調函數； （2）若經過點A（2，c）（）可作曲線的三條切線，求的取值圍解：（1）函數在時取得一個極值，且，或時，或時，時，在上都是增函數，在上是減函數使在區(qū)間上是單調函數的的取值圍是（2）由（1）知設切點為，則切線的斜率，