空間位置關系的判斷與證明

1、精選文檔空間位置關系的推斷與證明模塊框架高考要求空間中的線面關系要求層次重難點空間線、面的位置關系B 理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理公理1：假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點在此平面內(nèi)公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行定理：空間中假如一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補 以立體幾何的上述定義、公理和定理為動身點，生疏和理解空間中線面平行、垂直的有關性質(zhì)與判定理解以下判定定理

2、假如平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行假如一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直假如一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明假如一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行垂直于同一個平面的兩條直線平行假如兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直 能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡潔命題公理1，

3、公理2，公理3，公理4，定理*A*公理1：假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) 公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行定理：空間中假如兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補學問內(nèi)容1集合的語言：我們把空間看做點的集合，即把點看成空間中的基本元素，將直線與平面看做空間的子集，這樣便可以用集合的語言來描述點、直線和平面之間的關系：點在直線上，記作：；點不在直線上，記作；點在平面內(nèi)，記作：；點不在平面內(nèi)，記作；直線在平面內(nèi)（即直線上每一個點都在

4、平面內(nèi)），記作；直線不在平面內(nèi)（即直線上存在不在平面內(nèi)的點），記作；直線和相交于點，記作，簡記為；平面與平面相交于直線，記作2平面的三個公理： 公理一：假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)圖形語言表述：如右圖：符號語言表述： 公理二：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，也可以簡潔地說成，不共線的三點確定一個平面圖形語言表述：如右圖，符號語言表述：三點不共線有且只有一個平面，使 公理三：假如不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線圖形語言表述：如右圖：符號語言表述：假如兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線

5、叫做兩個平面的交線3平面基本性質(zhì)的推論：推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面4共面：假如空間中幾個點或幾條直線可以在同一平面內(nèi)，那么我們說它們共面<老師備案>1公理反映了直線與平面的位置關系，由此公理我們知道假如一條直線與一個平面有公共點，那公共點要么只有一個，要么直線上全部點都是公共點，即直線在平面內(nèi)2公理可以用來確定平面，只要有不在同一條直線上的三點，便可以得到一個確定的平面，后面的三個推論都是由這個公理得到的要強調(diào)這三點必需不共線，否則有很多多個平面經(jīng)過它們確定一個平面的意思是

6、有且僅有一個平面3公理反應了兩個平面的位置關系，兩個平面（一般都指兩個不重合的平面）只要有公共點，它們的交集就是一條公共直線此公理可以用來證明點共線或點在直線上，可以從后面的例題中看到4平面基本性質(zhì)的三個公理是不需要證明的，后面的三個推論都可以由這三個公理得到推論與直接在直線上取點，利用公理與便可得到結論，推論是由平行的定義得到存在性的，再由公理保證唯一性線線關系與線面平行1平行線：在同一個平面內(nèi)不相交的兩條直線平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行公理（空間平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線相互平行；等角定理：假如一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么

7、這兩個角相等2空間中兩直線的位置關系： 共面直線：平行直線與相交直線； 異面直線：不同在任一平面內(nèi)的兩條直線3空間四邊形：順次連結不共面的四點所構成的圖形這四個點叫做空間四邊形的頂點；所連結的相鄰頂點間的線段叫做空間四邊形的邊；連結不相鄰的頂點的線段叫做空間四邊形的對角線如右圖中的空間四邊形，它有四條邊，兩條對角線其中；是三對異面直線4直線與平面的位置關系：直線在平面內(nèi)：直線上全部的點都在平面內(nèi)，記作，如圖；直線與平面相交：直線與平面有一個公共點；記作，如圖；直線與平面平行：直線與平面沒有公共點，記作，如圖5直線與平面平行的判定定理：假如不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條

8、直線和這個平面平行符號語言表述：圖象語言表述：如右圖：6直線與平面平行的性質(zhì)定理：假如一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和兩平面的交線平行符號語言表述：圖象語言表述：如右圖：<老師備案>1畫線面平行時，經(jīng)常把直線畫成與平面的一條邊平行；2等角定理證明： 已知：如圖所示，和的邊，且射線與同向，射線與同向求證： 證明：對于和在同一平面內(nèi)的情形，在學校幾何中已經(jīng)證明，下面證明兩個角不在同一平面內(nèi)的情形分別在的兩邊和的兩邊上截取線段和，使，由于，所以是平行四邊形所以同理可得，因此所以是平行四邊形因此于是所以3依據(jù)等角定理可以定義異面直線所成的角的概念：過

9、空間一點作兩異面直線的平行線，得到兩條相交直線，這兩條相交直線成的直角或銳角叫做兩異面直線成的角 異面直線所成角的范圍是4線面平行判定定理（），即線線平面，則線面平行要證明這個定理可以考慮用反證法，由于線線平行（），所以它們可以確定一個平面，與已知平面的交線恰為，若線面不平行，則線面相交于一點，此點必在兩個平面的交線上，從而得到與相交，與已知沖突5線面平行性質(zhì)定理，即線面平行，則線線平行，這平行的定義馬上可得（共面且無交點）面面平行的判定與性質(zhì)1兩個平面的位置關系兩個平面平行：沒有公共點，記為；畫兩個平行平面時，一般把表示平面的平行四邊形畫成對應邊平行，如右圖：兩個平面相交，有一條交線，2兩個

10、平面平行的判定定理：假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面， 那么這兩個平面平行符號語言表述：推論：假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個平面平行3兩個平面平行的性質(zhì)定理：假如兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行符號語言表述：圖象語言表述：如右圖：<老師備案>1畫兩個平面相交時，可以先畫出交線，再補充其它，平面被遮住的部分畫成虛線或不畫如右圖所示： 2面面平行的判定定理可以由線面平行的性質(zhì)直接得到，假如滿足定理條件的兩個平面相交，則這兩條相交直線都平行于平面的交線，與過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行的公理沖突故這兩個平面

11、不相交，是平行平面3面面平行的性質(zhì)定理可以直接由兩條交線無交點且共面得到4在證明線面平行，線線平行和面面平行的題時，經(jīng)常遇到平行關系的轉(zhuǎn)化，要機敏運用兩共性質(zhì)定理與兩個判定定理，證明要求的結論由于空間中平行關系與垂直關系是高考的核心內(nèi)容，因此在出題時經(jīng)常會有所結合，本板塊特地就平行學問的題目類型歸納，更綜合的題目會在第十一講中具體講解由于線面與面面問題之間都是相互轉(zhuǎn)化的，因此本板塊中的面面平行題目較少，多數(shù)都為線面平行問題本板塊題目多接受兩種方法，事實上就是兩種思路證明線面平行，一種方法線線平行線面平行，另一種方法是面面平行線面平行 線面垂直1線線垂直：假如兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于

12、一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線相互垂直由定義知，垂直有相交垂直和異面垂直2直線與平面垂直：概念：假如一條直線和一個平面相交于點，并且和這個平面內(nèi)過交點的任何直線都垂直，則稱這條直線與這個平面相互垂直這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面，交點叫垂足垂線上任意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段垂線段的長度叫做這個點到平面的距離假如一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如右圖直線與平面相互垂直，記作線面垂直的判定定理：假如一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直推

13、論：假如在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面線面垂直的性質(zhì)定理：假如兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行<老師備案>1假如定義了異面直線所成角，則異面垂直即異面直線所成角為2線面垂直的判定定理把定義中的與任意一條直線垂直這個很強的命題，轉(zhuǎn)化為只需證明與兩條相交直線垂直這個問題，從而大大簡化了線面垂直的推斷要證明判定定理，只能用定義，若，要證，在平面內(nèi)任選一條直線，去證，結合右圖，通過全等三角形的證明可得到，從而得到判定定理，具體的證法略3線面垂直的性質(zhì)定理，可以用同一法證明，如圖：直線，若直線不平行，則過直線與平面的交點作直線，從而有又相交直線

14、可以確定一個平面，記，則由于都垂直于平面，故都垂直于交線這與在一個平面內(nèi)，過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直相沖突故重合，性質(zhì)定理得證由同一法還可以證明：過一點與已知平面垂直的直線只有一條點面距離與線面角（一）主要方法：本板塊所學內(nèi)容為點面距離與線面角，求點面距離有兩種方法，首先可以通過直接法作面的垂線，其次可以通過體積法轉(zhuǎn)化，或者將問題轉(zhuǎn)化為與面平行的直線上的點到面的距離；線面角問題屬于線面關系的一種，是線面垂直與面面垂直定理的應用 點、斜線、斜線段及射影點在直線上的射影自點向直線引垂線，垂足叫做點在直線上的射影點到垂足的距離叫點到直線的距離點在平面內(nèi)的射影自點向平面引垂線，垂足叫做

15、點在平面內(nèi)的射影，這點和垂足間的線段叫做這點到平面的垂線段垂線段的長度叫做這點到這個平面的距離斜線在平面內(nèi)的射影一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足，斜線上一點和斜足間的線段，叫做這點到平面的斜線段過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這平面內(nèi)的射影，垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面內(nèi)的射影2直線和平面所成的角直線和平面所成的角，應分三種狀況：直線和平面斜交時，線面所成的角是這條直線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角；直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為；直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所