知識(shí)講解 圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度

1、圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，掌握描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)快慢的幾個(gè)物理量：線速度、角速度、周期、轉(zhuǎn)速的定義，理解它們的物理意義并能靈活的運(yùn)用它們解決問(wèn)題。2、理解并掌握描寫圓周運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量之間的關(guān)系。3、理解勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期性的確切含義。4、理解向心加速度產(chǎn)生的原因和計(jì)算方法?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓周運(yùn)動(dòng)的線速度要點(diǎn)詮釋：1、線速度的定義：圓周運(yùn)動(dòng)中，物體通過(guò)的弧長(zhǎng)與所用時(shí)間的比值，稱為圓周運(yùn)動(dòng)的線速度。公式： （比值越大，說(shuō)明線速度越大）方向：沿著圓周上各點(diǎn)的切線方向單位：m/s2、 說(shuō)明1）線速度是指物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬時(shí)速度。2）線速度的方向就是圓周上某點(diǎn)的

2、切線方向線速度的大小是的比值。所以是矢量。3）勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一個(gè)線速度大小不變的圓周運(yùn)動(dòng)。4）線速度的定義式，無(wú)論是對(duì)于變速圓周運(yùn)動(dòng)還是勻速圓周運(yùn)動(dòng)都成立，在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，只要取得足夠小，公式計(jì)算的結(jié)果就是瞬時(shí)線速度注：勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的“勻速”二字的含義：僅指速率不變，但速度的方向（曲線上某點(diǎn)的切線方向）時(shí)刻在變化。要點(diǎn)二、描寫圓周運(yùn)動(dòng)的角速度要點(diǎn)詮釋：1、角速度的定義：圓周運(yùn)動(dòng)物體與圓心的連線掃過(guò)的角度與所用時(shí)間的比值叫做角速度。 公式： 單位：(弧度每秒)2、說(shuō)明：1)這里的必須是弧度制的角。2）對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，這個(gè)比值是恒定的，即勻速圓周運(yùn)動(dòng)是角速度保持不變的圓周運(yùn)動(dòng)。3）角速度

3、的定義式，無(wú)論是對(duì)于變速圓周運(yùn)動(dòng)還是勻速圓周運(yùn)動(dòng)都成立，在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，只要取得足夠小，公式計(jì)算的結(jié)果就是瞬時(shí)角速度。4)關(guān)于的方向：中學(xué)階段不研究。5）同一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的物體上，各點(diǎn)的角速度相等例如：木棒以它上面的一點(diǎn)為軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它上面的各點(diǎn)與圓心的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的角度相等。 即：3、關(guān)于弧度制的介紹(1)角有兩種度量單位：角度制和弧度制(2)角度制：將一個(gè)圓的周長(zhǎng)分為360份，其中的一份對(duì)應(yīng)的圓心角為一度。因此一個(gè)周角是3600，平角和直角分別是1800和900。(3)弧度制：定義半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為一弧度，符號(hào)為rad。一段長(zhǎng)為的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角是 rad, (4)特殊角的弧

4、度值：在此定義下，一個(gè)周角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是：；平角和直角分別是 （rad）。（5）同一個(gè)角的角度和用弧度制度量的之間的關(guān)系是：rad , 要點(diǎn)三、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與轉(zhuǎn)速要點(diǎn)詮釋：1、周期的定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期，單位：。它描寫了圓周運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性。2、周期T的意義：不難看到，周期是圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小和方向完全恢復(fù)初始狀態(tài)所用的最小時(shí)間；周期長(zhǎng)說(shuō)明圓周運(yùn)動(dòng)的物體轉(zhuǎn)動(dòng)得慢，周期短說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)得快。觀察與思考：同學(xué)們看一看你所戴的手表或者墻上鐘表上的時(shí)、分、秒針，它們的周期分別是多少？想一想角速度和周期的關(guān)系如何？（秒針的周期最小，其針尖的最大，也最大。）3、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

5、轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n：指轉(zhuǎn)動(dòng)物體單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。 單位： r/s（轉(zhuǎn)每秒），常用的單位還有(轉(zhuǎn)每分)關(guān)系式：s(n單位為r/s)或s(n單位為r/min)注意：轉(zhuǎn)速與角速度單位的區(qū)別：要點(diǎn)四、描述圓周運(yùn)動(dòng)快慢的幾個(gè)物理量的相互關(guān)系要點(diǎn)詮釋：因?yàn)檫@幾個(gè)都是描述圓周運(yùn)動(dòng)快慢，所以它們之間必然有內(nèi)在聯(lián)系1、線速度、角速度和周期的關(guān)系勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和周期的關(guān)系勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和周期的關(guān)系勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和周期有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系：角速度與周期成反比。2、線速度、角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系：（n的單位是r/s）勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系：（n的單位是r/s）3、線速

6、度和角速度的關(guān)系：(1)線速度和角速度關(guān)系的推導(dǎo)：特例推導(dǎo)：設(shè)物體沿半徑為的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在一個(gè)時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)及角度，則：一般意義上的推導(dǎo)：由線速度的定義： 而，所以又因?yàn)?，所?2) 線速度和角速度的關(guān)系： 可知：，。同理： 一定時(shí)，一定時(shí)。(3)對(duì)于線速度與角速度關(guān)系的理解：是一種瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即某一時(shí)刻的線速度與這一時(shí)刻的角速度的關(guān)系，適應(yīng)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)?！靖咔逭n程：圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度 向心加速度】要點(diǎn)五、圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度要點(diǎn)詮釋：1、向心加速度產(chǎn)生的原因：向心加速度由物體所受到的向心力產(chǎn)生,根據(jù)牛頓第二定律知道，其大小由向心力的大小和物體的質(zhì)量決定。2、向心

7、加速度大小的計(jì)算方法：（1）由牛頓第二定律計(jì)算： ；（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式計(jì)算： 如果是勻速圓周運(yùn)動(dòng)則有：3、向心加速度的方向：沿著半徑指向圓心，時(shí)刻在發(fā)生變化，是一個(gè)變量。4、向心加速度的意義：在一個(gè)半徑一定的圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度描述的是線速度方向改變的快慢。5、關(guān)于向心加速度的說(shuō)明（1）從運(yùn)動(dòng)學(xué)上看：速度方向時(shí)刻在發(fā)生變化，總是有必然有向心加速度；（2）從動(dòng)力學(xué)上看：沿著半徑方向上指向圓心的的合外力必然產(chǎn)生指向圓心的向心加速度。加速度是個(gè)矢量，既有大小又有方向，勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度大小不變，而方向卻不斷變化。因此，勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)?！镜湫屠}】類型一、描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量例

8、1、一個(gè)直徑為1.4m的圓盤以中心為軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為2轉(zhuǎn)/秒，求圓盤邊緣一點(diǎn)的線速度、角速度、周期和向心加速度?！舅悸伏c(diǎn)撥】熟練的運(yùn)用描寫圓周運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量之間的關(guān)系，可順利的解題【解析】由題意可知，再根據(jù)公式，可得：。【總結(jié)升華】熟練的運(yùn)用描寫圓周運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量之間的關(guān)系，可順利的解題。例2 、機(jī)械手表(如圖所示)的分針與秒針從第一次重合至第二次重合，中間經(jīng)歷的時(shí)間為( ) Amin B1min Cmin Dmin【思路點(diǎn)撥】在相等的時(shí)間內(nèi)秒針比分針多轉(zhuǎn)一圈【解析】先求出分針與秒針的角速度：設(shè)兩次重合的時(shí)間間隔為t，則有 即， 故C正確【答案】C【總結(jié)升華】本題實(shí)質(zhì)上考查了圓周運(yùn)動(dòng)的追

9、及問(wèn)題，思路是在相等的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)快的比轉(zhuǎn)動(dòng)慢的多轉(zhuǎn)一圈舉一反三【變式】電風(fēng)扇葉片邊緣一點(diǎn)的線速度為56.7m/s，若它轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為18cm，求電扇轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和周期。【解析】根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系得類型二、向心加速度的計(jì)算例3、在長(zhǎng)20cm的細(xì)繩的一端系一個(gè)小球，繩的另一端固定在水平桌面上，使小球以5m/s的速度在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。【思路點(diǎn)撥】小球在水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可根據(jù)向心加速度公式和線速度與角速度的關(guān)系求解?！窘馕觥坑深}意可知根據(jù)向心加速度的計(jì)算公式例4、如圖所示，定滑輪的半徑，繞在滑輪上的細(xì)線懸掛著一個(gè)重物，由靜止開(kāi)始釋放，測(cè)得重物以加

10、速度2m/s做勻加速運(yùn)動(dòng)。在重物由靜止下落距離為1m的瞬間，滑輪邊緣上的點(diǎn)的角速度多大？向心加速度多大？【思路點(diǎn)撥】這是一個(gè)關(guān)于變速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度計(jì)算的問(wèn)題。物體的速度時(shí)刻等于輪緣上一點(diǎn)的線速度，求出物體下落1m時(shí)的瞬時(shí)速度，然后利用角速度、向心加速度和線速度的關(guān)系可以求解。【解析】 (1)重物下落1m時(shí)，瞬時(shí)速度為 顯然，滑輪邊緣上每一點(diǎn)的線速度也都是2m/s，故滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，即滑輪邊緣上每一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為： (2)向心加速度為：【總結(jié)升華】此題討論的是變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，重物落下的過(guò)程中滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，輪上各點(diǎn)的線速度都在不斷增加，但在任何時(shí)刻角速度與線速度的關(guān)系，向心加速度與角速度

11、、線速度的關(guān)系仍然成立。類型三、皮帶傳動(dòng)問(wèn)題例5、如圖，主動(dòng)輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)皮帶不打滑地帶動(dòng)從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，已知分別為上的中點(diǎn)，輪邊緣上一點(diǎn)，輪邊緣上一點(diǎn)，為皮帶上一點(diǎn)。試比較：（1）A、B、C點(diǎn)線速度的大?。浚?）A、B、E、F各點(diǎn)角速度的大小？（3）E、F點(diǎn)線速度的大??？【思路點(diǎn)撥】分析比較各個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況的異同，建立相互關(guān)系是解題的切入點(diǎn)?！窘馕觥浚?）因?yàn)槠鲃?dòng)過(guò)程與輪子不打滑，所以A、B、C三個(gè)點(diǎn)可以看成是皮帶上的三個(gè)點(diǎn)，相同時(shí)間必定通過(guò)相同的路程，因此，A、B、C點(diǎn)的線速度相等，這也是兩個(gè)輪子的聯(lián)系。即 （2）比較各點(diǎn)角速度： 比較應(yīng)通過(guò)入手分析因?yàn)锳、F是同一物體上的點(diǎn)，角速度必然相

12、等即，同理 所以 （3）由【總結(jié)升華】（1）同一轉(zhuǎn)動(dòng)物體上的各點(diǎn)，角速度必然相等；（2）皮帶傳動(dòng)時(shí)，與皮帶接觸的點(diǎn)線速度相等。例6、如圖所示為錄音機(jī)在工作時(shí)的示意圖，輪子1是主動(dòng)輪，輪子2為從動(dòng)輪，輪1和輪2就是磁帶盒內(nèi)的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，空帶一邊半徑為r10.5cm，滿帶一邊半徑為r23cm，已知主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速不變，恒為n136 r/min，試求： (1)從動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)速變化范圍； (2)磁帶運(yùn)動(dòng)的速度變化范圍【解析】本題應(yīng)抓住主動(dòng)輪(r1)的角速度恒定不變這一特征，再根據(jù)同一時(shí)刻兩輪磁帶走動(dòng)的線速度相等，從磁帶轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)半徑的變化來(lái)求解 (1)因?yàn)?，且兩輪邊緣上各點(diǎn)的線速度相等，所以，即 當(dāng)r23cm時(shí)，從

13、動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)速最小，當(dāng)磁帶走完，即r20.5cm，r13cm時(shí)，從動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)速最大，為，故從動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)速變化范圍是6 r/min216 r/min(2)由得知：cm時(shí)，cm時(shí)，故磁帶的速度變化范圍是0.019 m/s0.113 m/s【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是掌握磁帶傳動(dòng)裝置中主動(dòng)輪、從動(dòng)輪上各點(diǎn)線速度、角速度之間的關(guān)系，并且注意從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速的變化及磁帶速度的變化是由于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的變化引起的舉一反三【高清課程：圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度 例題】【變式】圖中所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2rb點(diǎn)在小輪上，到小輪中心的距離為rc點(diǎn)和d點(diǎn)

14、分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑則a、b、c、d的線速度之比 ；角速度之比 ；向心加速度之比 ?！敬鸢浮?:1:2:4 2:1:1:1 4:1:2:4類型四、平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)綜合題例7、如圖所示，在半徑為的水平放置的圓板中心軸上距圓板高為的A處以沿水平拋出一個(gè)小球，此時(shí)正在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓板上的半徑恰好轉(zhuǎn)動(dòng)到與平行的位置，要使小球與圓板只碰一次且落點(diǎn)為B。求：（1）小球拋出的速度；（2）圓板轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度?！舅悸伏c(diǎn)撥】思維的切入點(diǎn)是分析小球落在B 點(diǎn)的條件,即：小球平拋落地時(shí)的水平位移是R,且圓盤在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)了整數(shù)圈。【解析】小球落在B 點(diǎn)的條件即：小球平拋落地時(shí)的水平位移是R 且圓盤在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)了整數(shù)圈。（1）“只碰一次”：若較小，小球有可能在圓板上彈跳幾次后落在B點(diǎn)。 所以此小球第一次落至圓板上時(shí)的。由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得（2）因?yàn)閳A板運(yùn)動(dòng)具有周期性，所以小球可在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t內(nèi)，圓盤可能轉(zhuǎn)動(dòng)了整數(shù)圈，設(shè)圓板周期為，則0，1，2，3）。所以圓盤的角速度1，2，3）【總結(jié)升華】解決圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題要充分注意到其周期性的特點(diǎn);解決綜合性的問(wèn)題要重視分析物理現(xiàn)象發(fā)生的條件。舉一反三【變式】雨傘邊緣的半徑為r，且高出地面為h，現(xiàn)將雨傘以角速度旋轉(zhuǎn)