利用換元法證明不等式

1、利用換元法證明不等式廖東明 合理換元往往能簡化題設(shè)的信息、凸顯隱含條件、溝通量與量之間的聯(lián)系，對發(fā)現(xiàn)解題思路、優(yōu)化解題過程具有重要作用換元法在不等式證明中也具有獨(dú)特的作用一、三角換元在一些代數(shù)不等式證明中，選用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)可以使問題化難為易例已知，求證：分析：條件表示的圖形是一個圓環(huán)，可采用三角換元，分離出參變量和，進(jìn)而利用同向不等式的乘積法則使問題獲解證明：令，則，又，即點(diǎn)評：三角換元法依據(jù)的公式有，等，要求解題者善于類比和聯(lián)想，并且根據(jù)具體問題靈活處理如對條件可作三角換元，二、代數(shù)換元對于那些具有一定結(jié)構(gòu)特色的代數(shù)式，根據(jù)題目的特

2、點(diǎn)，巧設(shè)某些代數(shù)式作換元，往往能收到化繁為簡化難為易的功效局部式子換元例已知，且求證：分析：注意到，作換元（），便可凸顯關(guān)系，簡化書寫，使問題快捷得解證明：令，由可知，即點(diǎn)評：解題過程中要善于聯(lián)想和變用，如由（）可以得到恒等式（也滿足）這樣，可以開啟思路，簡化過程均值增量換元例已知，求證：分析：由于在條件等式和待證不等式中都具有輪換對稱性，易知不等式在時取得等號，在中的平均值就是，故采用均值增量代換法證題證明：根據(jù)，設(shè)，其中，則點(diǎn)評：本例的均值增量代換，首先進(jìn)行一系列的等式轉(zhuǎn)化，最后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)由相等實(shí)現(xiàn)向不等轉(zhuǎn)化，解答自然流暢，且降低了尋找解題突破口的難度簡化分母換元例設(shè)是三角形三邊的長，求證：分析：審視待證不等式，字母具有輪換對稱性，易知在時取得等號，通過對分母換元簡化分母，變成容易利用平均值不等式的形式來使問題獲解證明：令，則均為正數(shù)，且，于是，當(dāng)且僅當(dāng)、即時取得等號故原不等式成立點(diǎn)評：通過對分母換元，簡化分母，“復(fù)雜”分子，為利用平均值不等式創(chuàng)造有利條件，使問題化難為易例若，求證：分析：審視待證不等式，字母具有輪換對稱性，令解得，即在時取得等號，通過對分母換元簡化分母，巧妙利用平均值不等式進(jìn)行證明證明：，設(shè)，、，則原不等式等價于而，即當(dāng)且僅當(dāng)及及，即亦即時取得等號故點(diǎn)評：本例兩次應(yīng)用平均值不等式，在第二次使用時還使用了