概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題詳細解答

1、 習(xí) 題八 8.1某油品公司的桶裝潤滑油標定重量為10千克。商品檢驗部門從市場上隨機抽取10桶，稱得它們的重量(單位：千克)分別是10.2,9.7,10.1,10.3,10.1,9.8,9.9,10.4,10.3,9.8. 假設(shè)每桶油實際重量服從正態(tài)分布.試在顯著性水平下，檢驗該公司的桶裝潤滑油重量是否確為10千克，試給出檢驗的p值的計算公式.解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè) 此處n=10，S=0.246.，于是拒絕域為 而，所以我們接受原假設(shè)，即桶裝潤滑油重量確為10千克?？梢运愕?，該檢驗的P值為 8.2假設(shè)香煙中尼古丁含量服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某牌香煙中隨機抽取20支，其尼古丁含量的平均值毫克，樣本

2、標準差S=2.4毫克，取顯著性水平，我們能否接受“該種香煙的尼古丁含量的均值毫克” 的斷言 ?解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè) 此處n=20，S=2.4.，于是拒絕域為 而，所以我們接受原假設(shè)，即我們接受“該種香煙的尼古丁含量的均值毫克”的斷言.8.3(1)考慮正態(tài)總體和假設(shè)檢驗問題 證明:當已知時，則拒絕域為 的檢驗的顯著性水平為。 若未知 則拒絕域為 的檢驗的顯著性水平為.(2)在習(xí)題8.2中， 對毫克和S=2.4毫克兩種情況，我們能否接受“該牌的香煙尼古丁含量不超過17.5毫克”的斷言? 證明：(1)取顯著水平>0，對于正態(tài)總體和假設(shè)檢驗問題 因中的均值都比中的小，所以從直觀上看，較合理

3、的檢驗法則應(yīng)當是：若觀察值與的差過分大，即>c時，我們拒絕接受.采用與書中類似的討論，可以推出 于是拒絕域為 類似地，當未知 則拒絕域為 .(2) 第1種情況，問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)此處n=20，.，于是拒絕域為 而，所以我們接受原假設(shè)，即我們接受“該種香煙的尼古丁含量的均值毫克”的斷言.第2種情況，S=2.4，問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)此處n=20，S=2.4.，于是拒絕域為 而，所以我們接受原假設(shè)，即我們接受“該種香煙的尼古丁含量的均值毫克”的斷言.8.4 設(shè)某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，規(guī)定標準尺寸為120毫米，現(xiàn)從該廠抽得5件產(chǎn)品 測量其尺寸分別為 119,120,119.2,11

4、9.7,119.6試判斷產(chǎn)品是否符合規(guī)定要求,即檢驗假設(shè)(顯著性水平=0.05).解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)此處n=5，經(jīng)計.查表，于是拒絕域為 而樣本觀察值，所以我們不接受原假設(shè)，即可判斷產(chǎn)品不符合規(guī)定要求. 8.5設(shè)甲、乙兩煤礦所產(chǎn)的煤中含煤粉率分別為和 為檢驗這兩個煤礦的煤含煤粉率有無明顯差異，從兩礦中取樣若干份，測試結(jié)果如下：甲礦 ：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙礦 ：18.2,16.9,20.2,16.7試在顯著性水平=0.05下，檢驗“含煤粉率無差異” 這個假設(shè)。 解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)此處；，查表得，在顯著性水平=0.05下的拒絕域為 經(jīng)計算樣本觀察值

5、，因此我們不接受原假設(shè)，即可判斷這兩個煤礦的煤含煤粉率有明顯差異，甲礦的煤含煤粉率高于乙礦的煤含煤粉率。 8.6比較A、B兩種小麥品種蛋白質(zhì)含量，隨機抽取A種小麥10個樣品，測得，=1.62.隨機抽取B種小麥5個樣品，測得,=0.14,假定這兩種小麥蛋白質(zhì)含量都服從正態(tài)分布，且具有相同方差，試在水平下，檢驗兩種小麥的蛋白質(zhì)含量有無差異。解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)此處已知未知；=1.62，=0.14， 查表得，在顯著性水平=0.01下的拒絕域為 樣本觀察值，因此我們不接受原假設(shè)，即可判斷A種小麥的蛋白質(zhì)含量高于B種小麥的蛋白質(zhì)含量。 8.7由于存在聲音反射的原因，人們在講英語時在輔音識別上會遇到

6、麻煩。有人隨機選取了10個以英語為母語的人(記為A組)和10個以英語為外國語的人(記為B組)，進行了試驗，下面記錄了他們正確反應(yīng)的比例(%).A組：93,85,89,81,88,88,89,85,85,87, B組：76,84,78,73,78,76,70,82,79,77.假定這些數(shù)據(jù)都來自正態(tài)總體，且具有公共方差，試在=0.05下，檢驗這兩組的反應(yīng)是否有顯著差異？解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)此處已知未知；經(jīng)計算， 查表得，在顯著性水平=0.05下的拒絕域為 經(jīng)計算樣本觀察值，因此我們不接受原假設(shè)，即可判斷A組的反應(yīng)高于B的反應(yīng)。 8.8某廠生產(chǎn)的瓶裝純凈水要求標準差升，現(xiàn)在從超級市場上隨機抽

7、取20瓶這樣的純凈水，發(fā)現(xiàn)它們所裝水量的樣本標準差S=0.03升.假定瓶裝純凈水裝水量服從正態(tài)分布，試問在顯著性水平=0.05下，我們能否認為它們達到了標準差升的要求？ 解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)這里n=20,，。又已知S=0.03，因為 所以我們不接受原假設(shè)，即可判斷該廠生產(chǎn)的瓶裝純凈水不符合標準差升的要求。 8.9試寫出檢驗(8.36)的推導(dǎo)過程. 見教材P.183。略8.10試對習(xí)題8.7的數(shù)據(jù)，檢驗假設(shè) 解：因為m=n=10,在顯著性水平=0.05下的拒絕域為 而 ，所以兩組的方差無差異。8.11某種導(dǎo)線要求電阻標準差不超過0.005歐姆，今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中隨機抽取9根 測量后算得S

8、=0.07歐姆.設(shè)電阻測量值服從正態(tài)分布，問在=0.05下，能否認為這批導(dǎo)線的電阻值滿足原來的要求？解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)這里n=9,。又已知S=0.07，因為 所以我們不接受原假設(shè)，即認為這批導(dǎo)線的電阻值不滿足原來的要求。8.12孟德爾豌豆試驗中 有一次觀測到黃色和綠色豆子的數(shù)目分別為70和27，試在顯著性水平=0.05下， 檢驗“黃色和綠色豆子的數(shù)目為3：1”的理論。 解：定義隨機變量 記，我們要檢驗假設(shè) (1)將分成兩個區(qū)間，(2)計算每個區(qū)間上的理論頻數(shù)，這里n=70+27=97，(3)實際頻數(shù)，(4)查表得，所以我們接受原假設(shè)，即認為黃色和綠色豆子的數(shù)目為3：1。 8.13在一個

9、復(fù)雜試驗中，孟德爾同時考慮豌豆的顏色和形狀，一共有四種組合：(黃,圓)，(黃,非圓)，(綠,圓)，(綠,非圓)，按孟德爾理論這四類應(yīng)有9:3:3:1的比例 在一次觀察中，他發(fā)現(xiàn)這四類觀測到的數(shù)目分別為315,101,108和32，試在=0.05下，檢驗“9:3:3:1” 這個理論。解：定義隨機變量隨機事件(黃,圓)(黃,非圓)(綠,圓)(綠,非圓)隨機變量X1234記，我們要檢驗假設(shè) (1)將分成四個區(qū)間，(2)計算每個區(qū)間上的理論頻數(shù)，這里n=315+101+108+32=556 (3)實際頻數(shù)，(4) 查表得，所以我們接受原假設(shè)，即接受“9:3:3:1” 這個理論。 8.14某汽車修理公司

10、想知道每天送來修理的車數(shù)是否服從泊松分布 下表給出了該公司250天的送修車數(shù)：送修車數(shù)012345678910送這么多車的天數(shù)2821314448392217135試在=0.05下，檢驗原假設(shè) ：一天內(nèi)送修車數(shù)服從泊松分布。解：定義隨機變量X為一天送修車數(shù)，X的取值有：0,1,2,10.(1)將分成十一個區(qū)間記，我們要檢驗假設(shè)總體X服從泊松分布 由于在中參數(shù)未具體給出，故先估計.由最大似然估計法得。 (2)查泊松分布得隨機變量X理論取得的概率送修車數(shù)X理論概率0.00670.03370.08420.14040.17550.17550.14620.10440.06530.03630.0318從而

11、得到在每一個區(qū)間上的理論頻數(shù) 送修車數(shù)X012345678910送這么多車的理論天數(shù)1.6758.42521.0535.143.87543.87536.5526.116.3259.0757.95(3)列表計算統(tǒng)計量X0123456789101.6758.42521.0535.143.87543.87536.5526.116.3259.0757.9528213144483922171350.06300.02140.00010.4790.00040.38780.16420.6440.02791.6981.095由表得 4.496 (4)查分位表得，因為統(tǒng)計量4.496<18.31，所以我們接受原假設(shè)，可以認為一天內(nèi)送修車數(shù)服從泊松分布。8.15為檢驗一顆骰子的均勻性，對這顆骰子投擲60次，觀察到出現(xiàn)1,2,6點的次數(shù)分別為7,6,12,14,5