雙自由度體系的振動

1、第四章 雙自由度體系的振動§4-1 雙自由度體系的一般振動方程如某一體系在任一時刻的位形可用二個獨立坐標來確定，則該體系就叫做雙自由度體系。如圖4-1所示，設體系的兩個獨立坐標分別為和，它們分別表示質(zhì)量和離開各自靜平衡位置的絕對位移。選擇獨立坐標的方法不是唯一的，例如也可以選擇質(zhì)量的絕對位移和質(zhì)量相對于質(zhì)量的相對位移作為二個獨立坐標。圖4-1 雙自由度體系模型由圖4-1（b）所示的動平衡隔離體，立即可寫出對于和的運動方程為： （4-1）整理后，可得 （4-2）引入矩陣記號 （4-3）式中叫做質(zhì)量矩陣，為一對稱陣；叫做阻尼矩陣，為一對稱陣；叫做剛度矩陣，為一對稱正定或半正定對稱矩陣；和

2、分別叫做位移和外力列向量。式（4-2）現(xiàn)可寫成 （4-4）由于、c及k不是對角的就是對稱的，故有、 （4-5）矩陣中的非對角元素起了耦合的作用。如果、c及k均為對角陣時，則方程（4-4）解耦，此時其求解方法與單自由度體系相同。這個結(jié)論對一般多自由度體系也同樣適用。§4-2 雙自由度體系的無阻尼振動4-2-1 無阻尼時的運動方程把式（4-4）中的阻尼項去掉，即令c=0，即可得無阻尼時的運動方程 （4-6）在一般情況下，求解式（4-4）或上式也并不是很容易的，其原因是二個方程不是相互獨立。下面我們僅討論自由振動以及外力為簡諧力的特殊情況。4-2-2 自由振動令式（4-6）的右側(cè)，即得自由

3、振動方程式 （4-7a）上式也可寫成 （4-7b）因為上式為齊次的，所以，如果及為一組解答，則及也是一組解答，這里為一任意常數(shù)。因此，自由振動方程的解只能確定到一個未定的常數(shù)乘子。（1）模態(tài)（振型）及頻率下面我們要找出一組特殊的解及，要求及為相互同步，即要求與時間無關?，F(xiàn)設 并代入式（4-7b），有 （4-8）或 （4-9）從上式可得 （4-10） （4-11）式（4-10）中的常數(shù)不僅為實數(shù)而且為正數(shù)。證明如下：設，并代入式（4-10），則有 （a）故 （b）如果，并代入式（4-10），得，所以為實數(shù)。如果為負數(shù)，則為正實數(shù)，此時式（b）中的第一項當時，將趨于無窮大而第二項則趨于零。由于系統(tǒng)

4、是保守的，運動既不能消失也不能趨于無窮，所以為負值在物理上無意義，因此必須為正實數(shù)。其次再來證明時間函數(shù)f（t）為簡諧函數(shù)：因為正實數(shù)，故可令，式（a）中的s可寫成，于是式（b）可寫成 （c）令 （d）則 （4-12）所以為簡諧函數(shù)，為任意常數(shù)，為圓頻率，為相位角。這三個量對于及都是相同的，即因為自由振動方程的解只能確定到一個未定的常數(shù)乘子，故上式中的可以不加考慮，可直接令 （4-13）最后再來證明并不是任意的，而僅能取特定的值。將代入式（4-11），則有 （4-14a）由于，故上式可簡化成 （4-14b）式（4-14）叫做模態(tài)方程。如欲得非零解，則必須 （4-15）式（4-15）叫做頻率方程

5、。將上式展開，并注意到，則有或 （4-16）因此只有二個模態(tài)（或叫振型），在這二個模態(tài)下體系的運動才是同步簡諧的。與這二個模態(tài)相應的頻率分別為及。現(xiàn)設與相應的模態(tài)用及來表示，與相應的模態(tài)用及來表示。雙腳標中的第一個腳標與質(zhì)量及相對應，第二個腳標表示模態(tài)號碼。由于模態(tài)方程（4-14）是齊次的，所以及只有相對關系。從模態(tài)方程可得 （4-17a，b）于是體系的模態(tài)矢量可表示成 （4-18）雙自由度體系的自由振動可表示成 （4-19a）或 （4-19b）或 （4-19c）式中 （4-20）因故式（4-19a）中僅有四個待定常數(shù)，即、及，它們由初始條件確定。例4-1 試求圖4-2所示雙自由度體系的頻率和

6、模態(tài)。在此，將以上數(shù)據(jù)代入式（4-16）及式（4-17），得從上式可以看出，第一模態(tài)（振型）為兩個質(zhì)量一起振動，無相對位移，中間一個彈簧不起作用，只有第一個第三個彈簧起作用，其結(jié)果等于質(zhì)量為2m，彈簧系數(shù)為2k的單自度體系的振動；而第二模態(tài)為兩個質(zhì)量作相反振動，中間一個彈簧的中點始終不動。這兩個模態(tài)的力學模型如圖4-3所示。圖4-2 雙自由度振動體系示意第一模態(tài)第二模態(tài)圖4-3 雙自由度振動模態(tài)示意（2）模態(tài)（振型）的正交性及其意義從上面的例子中，我們發(fā)現(xiàn)有這樣的關系。這個關系不是個別的，而是一般的，叫做模態(tài)（振型）的正交關系或簡稱正交性。現(xiàn)證明如下：因為由式（4-14a）及（4-20）可得

7、（a） （b）將式（a）轉(zhuǎn)置得 （c）將式（b）左乘，得 （d）將式（c）右乘，得 （e）因為再比較式（d）和（e），得因為，故有 （4-21a）將上式展開，由式（d）或式（e）均可得 （4-22a）式（4-21）及式（4-22）分別表示二個不同振型以質(zhì)量（或剛度）為權(quán)的正交性（帶權(quán)正交性）。同時，有 （）（4-21b） （）（4-22b）式中為正常數(shù)，為相應于主坐標的廣義質(zhì)量；為相應的廣義剛度矩陣。振動方程式（4-7a）可以變換成如下形式 （）上式表明，整個系統(tǒng)的無阻尼自由振動可以用2個獨立的無阻尼二階微分方程組來描述，每一個方程對應一個振型，每個振型的固有頻率由下式給出 （）振型正交性有二

8、個方面的意義，即幾何的及物理的。設，則由式（4-21）可得上式表示二個向量的內(nèi)積為零，即二個振型向量正交，這是幾何方面的意義?，F(xiàn)在再來看看物理方面的意義:設將振型正交式分別乘以及，得亦即 （a） （b）式（a）表示以第一振型在作自由振動時的慣性力不在第二振型上作功，式（b）表示以第二振型在作自由振動時的慣性力不在第一振型上作功，換言之，第一振型的能量不會轉(zhuǎn)移到第二振型上，反之亦然，即一振型的的振動不會激起別的振型的振動。上面所說的關于振型的正交性及其意義對于一般多自由度體系也同樣如此。（3）模態(tài)（振型）的規(guī)格化對于第一或第二振型，有由于一個振型的各幅值之間可相差一個常數(shù)比例因子，也就是說和仍然

9、是第振型的幅值，這時有上述過程叫做振型規(guī)格化，和叫做規(guī)格化了的振型。為了簡便起見，一般假設振型都是經(jīng)過規(guī)格化了的，并仍用、記之。于是有 （4-23）對于一般多自由度體系，也具有同樣的形式： （4-24a）如用矩陣形式表達，則有 （4-24b）所以，對于規(guī)格化了的振型來說，有 （4-25）（4）四個待定常數(shù)的確定直接代入法當雙自由度體系在自由振動時，二個振型同時出現(xiàn)，其運動方程已示于式（4-19a）。由于與，與之間有一定的比例關系，故實際上僅有四個未定常數(shù)要由四個初始條件確定。由 （4-17a，b）代入式（4-19b、c），則有 （4-26）把，代入上式，有 （a） （b） （c） （d）(b)

10、（a） （e）(a) （f）(d)(c) （g）(c) -(d) （h） （i） （4-27）如將式（4-26）展開，則有 （4-28）式中、及表示相應式中的右邊項。方法二：振型正交疊加法由式（4-19）的矩陣形式，并引入式（4-17a，b），即 （4-19）式中 , , ，。把，、，并代入式（4-26），有（i）（j）根據(jù)振型加權(quán)正交性，式（ai）、（bj）兩邊同左乘，則有（k）（l）整理得（m） （n）（o）（p）4-2-3 在簡諧力作用下的強迫振動先假設在上作用一個諧振力，而在上沒有外力，則運動方程為（4-29a）或 （4-29b）現(xiàn)在先來求設體系穩(wěn)態(tài)解，即特解。為令 （4-30）將式（

11、4-30）代入式（4-29a），得解上式，有， （4-32）其中 （4-33a）將上式與頻率方程式（4-15）相比，可得 （4-33b）所以，有， （4-34）在上式中先不考慮因子，并令 （a）上式中的、及可用如下辦法求得：由式（a）的第一式可得令，則有 （b）用同樣的辦法，可得 （c） （d） （e）由式（4-17）并考慮到，得 （4-35）將上式代入式（a）并考慮式（4-34），最后可得 （4-36）從，又因振型中的幅值僅有相對意義，故可令，則有。于是， （4-37a）或 （4-37b）從上式可以看出，純強迫振動可用體系的振型、頻率以及共振因子來表達。有了特解以后，再加上齊次解，即得全解 （4-38）再從初始條件，當， ，確定四個常數(shù) 。在這里應該指出，順便提一句，振型中有一個振幅取值為1時，叫做振型規(guī)一化。一般取絕對值最大的幅值為1，其余幅值都是小于1的數(shù)。應注意與規(guī)格化是兩個不同的概念。上面所說討論的是，僅在上作用著外力，而在上沒有外力作用的情況，并記特解為（即式4-37b）