全等三角形輔助線方法

1、全等三角形輔助線常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；（遇垂線及角平分線時延長垂線段，構(gòu)造等腰三角形）5) 截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取

2、一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等

3、腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由二、截長補(bǔ)短2：如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點(diǎn)E，求證;ABAC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 5:如圖在ABC中

4、，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC中考應(yīng)用：（08海淀一模）三.借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD2：（06鄭州市中考題）如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.中考應(yīng)用:（06北京中考）如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60

5、76;，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。四、平移變換1.AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點(diǎn)，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.2：如圖，在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.五、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EA

6、F的度數(shù). 2：D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長為 ；中考應(yīng)用：（07佳木斯）已知四邊形中，：，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）（

7、09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）六、構(gòu)造全等例1： 已知：如圖4，在RtABC中，ACB=90º，

8、AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，CEAD于E，交AB于F，連接DF求證：ADC=BDF2用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖9所示，先在AOB的兩邊上取OP=OQ，再取PM=QN，連接PN、QM，得交點(diǎn)C，則射線OC平分AOB你能說明道理嗎？ 圖93如圖10，ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作GEBC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長線分別交GE于點(diǎn)E、G試在圖10中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明 圖104已知ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長線上的點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于G求證：EG=GF 圖155 已知：ABC中，BD=CD，12求證：A

9、D平分BAC說明：遇到有關(guān)角平分線的問題時，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等（2）利用角的平分線構(gòu)造全等三角形：過角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段練習(xí)：如圖22，ABCD，E為AD上一點(diǎn)，且BE、CE分別平分ABC、BCD求證：AE=ED以角的平分線為對稱軸構(gòu)造對稱圖形例6： 如圖23，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求證：AB=AC+CD分析：由于角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連接DE，我們就能構(gòu)造出一對全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只需證明BE=CD就可以了延長角

10、平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例7： 如圖24，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求證：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延長CE交AB于點(diǎn)F，即可構(gòu)造全等三角形（3）利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖25，在ABC中，AD平分BAC，過點(diǎn)D作DEAB，DE交AC于點(diǎn)E易證AED是等腰三角形因此，我們可以過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形 圖25例11 如圖26，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于點(diǎn)E求證：CD=BE練習(xí)：1如圖27，在ABC中，B=90º，AD為BAC的平分線，DFAC于F，DE=

11、DC求證：BE=CF 2已知：如圖28，AD是ABC的中線，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF求證：（1）AD是BAC的平分線；（2）AB=AC 圖283在ABC中，BAC=60º，C=40º，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求證：AB+BP=BQ+AQ 圖294如圖30，在ABC中，AD平分BAC，AB=AC+CD求證：C=2B 圖305如圖31，E為ABC的A的平分線AD上一點(diǎn)，ABAC求證：AB-ACEB-EC 圖316如圖32，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC 求證：A+C=180º7如圖33所示，已知ADB

12、C，1=2，3=4，直線DC過點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)C求證：AD+BC=AB 8已知，如圖34，ABC中，ABC=90º，AB=BC，AE是A的平分線，CDAE于D求證：CD=AE 9ABC中，AB=AC，A=100º，BD是B的平分線求證：AD+BD=BC 10如圖36，B和C的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DEBC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD+CE=9，則線段DE的長為（）A9 B8 C7 D6 圖3611如圖37，ABC中，AD平分BAC，AD交BC于點(diǎn)D，且D是BC的中點(diǎn)求證：AB=AC 圖3712已知：如圖38，ABC中，AD是BAC的平分線，E是BC的

13、中點(diǎn)，EFAD，交AB于M，交CA的延長線于F求證：BM=CF 1.（2010年河南中考模擬題3）如圖，在RtABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且DAE=450，將ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)900后，得到AFB，連接，下列結(jié)論：（）；（）；（）；（）其中正確的是（）A（2）（4） B（1）(4) C(2) (3) D(1) (3)8（2010年廣州中考數(shù)學(xué)模擬試題(四)）如圖，在矩形ABCD中，AE平分DAB交DC于點(diǎn)E，連接BE，過E作EFBE交AD于E.(1)DEF和CBE相等嗎？請說明理由；(2)請找出圖中與EB相等的線段(不另添加輔助線和字母)，并說明理由.9.（2010年河南中考模擬題2）將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張紙片，再將這兩張三角形紙片擺放成如圖所示的形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上。