八年級上培優(yōu)專題三全等三角形輔助線作法

1、專題三 全等三角形輔助線作法一、“三線合一”法：等腰三角形底邊上的高、中線、頂角的角平分線三線合一. 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題注意：有一個內(nèi)角為60°的三角形一定是等邊三角形二、倍長中線法：遇到三角形的中線，倍長中線，即延長中線使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形。例1、已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.例1圖 例2圖例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.三、角平分線構(gòu)造全等法：

2、即利用角平分線構(gòu)造全等三角形法。遇到角平分線有三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，形成一對全等三角形。所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。（一）角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等1、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD例1 如圖2-1，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：AD

3、C+B=180 分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。（二）：作角平分線的垂線構(gòu)等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊

4、相交）。例1 已知：如圖3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點。求證：DH=（AB-AC）分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。（三）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4

5、-1和圖4-2所示。ABECDBDCA例5 如圖，BC>BA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。例5圖 例6圖例6 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。（四）截取構(gòu)全等可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。例8 已知：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例9 已知：如圖1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD

6、分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？四、截長法與補短法：具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目（一）截長在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；1.已知：如圖，ABC中，AD平分BAC，若C=2B,證明：AB=AC+CD.2.已知：如圖，ABC中，A=60°，B與C的平分線BE

7、,CF交于點I，求證：BC=BF+CE.（二）補短將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段3.已知：如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分CBE交CD于F，求證：BE=CF+AE.4.已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D為ABC外一點，ABD=60°，AB=BD+DC，求證：ACD=60°.5.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，BCD=120°，求證：BC+DC=AC.五、中垂線法：已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。例1、如圖，

8、ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.注意：作平行線、作垂線、作中位線是三角形問題中最常見的輔助線作法（一）作平行線1、如圖，ABCD和CEFG是兩個正方形，AB=a，CE=b，則BDF的面積是 。2、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D點在AB邊上，E在AC邊的延長線上，DE交BC于點F，BD=CE，求證：DF=EF.（二）作垂線3、如圖，已知OP平分AOB，C，D分別在OA、OB上，若PCO+PDO=180°，求證：PC=PD.4、已知：如圖，在ABC中，AB=2AC，

9、1=2，AD=BD，求證：CDAC.5、已知：如圖，ABC中，AB=AC，ABAC，BM是AC邊上的中線，ADBM，分別交BC、BM于D、E，求證：CMD=AMB.（三） 構(gòu)造中位線6.如圖，在ABC中，D是BC上的靠近B點的三等分點，E是AB的中點，直線AC與DE交于點F，求證：EF=3DE.7.在ABC中，B=2C,M為BC的中點，ADBC，求證：DM=1/2AB.8.在正方形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O, CAB的平分線交BD于點F，交BC于點G，求證：CG=2OF.全等三角形輔助線的作法一、 遇三角形中線常見輔助線若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造

10、全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。二、 角平分線常見輔助線1、 角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等：過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題2、 截取構(gòu)全等如圖，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件3、 延長垂線段遇到垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形4、 作平行線、以角平分線上一點做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形、通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形三、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的逆定理 “三

11、線合一”性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理：、如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形?！竞喲灾浚?#160;三角形中任意兩線合一，必能推導出它是一個等腰三角形。四、截長法與補短法遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。、對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用