動(dòng)力學(xué)建模方法與解法總結(jié)

1、目錄1 剛體系統(tǒng)12 彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)63 高速旋轉(zhuǎn)體動(dòng)力學(xué)101 剛體系統(tǒng)一般力學(xué)研究的對(duì)象，是由兩個(gè)或兩個(gè)以上剛體通過(guò)鉸鏈等約束聯(lián)系在一起的力學(xué)系統(tǒng)，為一般力學(xué)研究對(duì)象。自行車(chē)、萬(wàn)向支架陀螺儀通?？煽闯啥鄤傮w系統(tǒng)。人體在某種意義上也可簡(jiǎn)化為一個(gè)多剛體系統(tǒng)。現(xiàn)代航天器、機(jī)器人、人體和仿生學(xué)中關(guān)于動(dòng)物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究都提出了多剛體系統(tǒng)的一系列理論模型作為研究對(duì)象。多剛體系統(tǒng)按其內(nèi)部聯(lián)系的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，分為樹(shù)型和非樹(shù)型（包含有閉鏈）；按其同外界的聯(lián)系情況，則有有根和無(wú)根之別。利用圖論的工具可以一般地分析多剛體系統(tǒng)的構(gòu)造，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)方程組。也可從分析力學(xué)中的高斯原理出發(fā)，用求極值的優(yōu)化算法

2、直接求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和鉸鏈反力。依照多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的理論和方法，廣泛采用電子計(jì)算機(jī)對(duì)這些模型進(jìn)行研究，對(duì)于精確地掌握這些對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是很有價(jià)值的。1.1 自由物體的變分運(yùn)動(dòng)方程任意一個(gè)剛體構(gòu)件，質(zhì)量為，對(duì)質(zhì)心的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，設(shè)作用于剛體的所有外力向質(zhì)心簡(jiǎn)化后得到外力矢量和力矩，若定義剛體連體坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于剛體質(zhì)心，則可根據(jù)牛頓定理導(dǎo)出該剛體帶質(zhì)心坐標(biāo)的變分運(yùn)動(dòng)方程： (1-1)其中，為固定于剛體質(zhì)心的連體坐標(biāo)系原點(diǎn)的代數(shù)矢量，為連體坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角，與分別為與的變分。定義廣義坐標(biāo)：(1-2)廣義：(1-3)及質(zhì)量矩陣：(1-4)體坐標(biāo)系原點(diǎn)固定于剛體質(zhì)心時(shí)用廣義力表示的剛體變分

3、運(yùn)動(dòng)方程：(1-5)1.2 束多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程考慮由個(gè)構(gòu)件組成的機(jī)械系統(tǒng)，對(duì)每個(gè)構(gòu)件運(yùn)用式(1-5)，組合后可得到系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程為：(1-6)若組合所有構(gòu)件的廣義坐標(biāo)矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量，構(gòu)造系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量為：(1-7)(1-8)(1-9)系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程則可緊湊地寫(xiě)為：(1-10)對(duì)于單個(gè)構(gòu)件，運(yùn)動(dòng)方程中的廣義力同時(shí)包含作用力和約束力，但在一個(gè)系統(tǒng)中，若只考慮理想運(yùn)動(dòng)副約束，根據(jù)牛頓第三定律，可知作用在系統(tǒng)所有構(gòu)件上的約束力總虛功為零，若將作用于系統(tǒng)的廣義外力表示為：(1-11)其中：，(1-12)則理想約束情況下的系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程為：(1-13)式中

4、虛位移與作用在系統(tǒng)上的約束是一致的。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和驅(qū)動(dòng)約束的組合如式(1-10)，為：(1-14)對(duì)其微分得到其變分形式為：(1-15)式(1-13)和(1-15)組成受約束的機(jī)械系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程。為導(dǎo)出約束機(jī)械系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程易于應(yīng)用的形式，運(yùn)用拉格朗日乘子定理對(duì)式(1-13)和(1-15)進(jìn)行處理。拉格朗日乘子定理：設(shè)矢量，矢量，矩陣為常數(shù)矩陣，如果有：(1-16)對(duì)于所有滿(mǎn)足式（1-84）的條件都成立。(1-17)則存在滿(mǎn)足式（1-85）的拉格朗日乘子矢量。(1-18)其中為任意的。在式(1-13)和(1-15)中，運(yùn)用拉格朗日乘子定理于式(1-13)和(1-15)，則存在拉格朗日乘

5、子矢量，對(duì)于任意的應(yīng)滿(mǎn)足：(1-19)由此得到運(yùn)動(dòng)方程的拉格朗日乘子形式：(1-20)式(1-20)還必須滿(mǎn)足式(1-10)、(1-12)和(1-14)表示的位置約束方程、速度約束方程及加速度約束方程，如下：(1-21)， (1-22)， (1-23)以上三式其維數(shù)同式(1-14)。式(1-20)、(1-21)、(1-22)和(1-23)組成約束機(jī)械系統(tǒng)的完整的運(yùn)動(dòng)方程。將式(1-20)與(1-23)聯(lián)立表示為矩陣形式：(1-24)式(1-24)即為多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中最重要的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，式(1-24)還必須滿(mǎn)足式(1-22)和(1-23)。它是一個(gè)微分代數(shù)方程組，不同于單純的常微分方程組問(wèn)題

6、，其求解關(guān)鍵在于避免積分過(guò)程中的違約現(xiàn)象，此外，還要注意DAE問(wèn)題的剛性問(wèn)題。如果系統(tǒng)質(zhì)量矩陣是正定的，并且約束獨(dú)立，那么運(yùn)動(dòng)方程就有唯一解。實(shí)際中的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣通常是正定的，只要保證約束是獨(dú)立的，運(yùn)動(dòng)方程就會(huì)有解。在實(shí)際數(shù)值迭代求解過(guò)程中，需要給定初始條件，包括位置初始條件和速度初始條件。此時(shí)，如果要使運(yùn)動(dòng)方程有解，還需要滿(mǎn)足初值相容條件，也就是要使位置初始條件滿(mǎn)足位置約束方程，速度初始條件滿(mǎn)足速度約束方程。對(duì)于由式(1-24)及(1-21)、(1-22)確定的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，初值相容條件為：(1-25) (1-26)1.3 正向動(dòng)力學(xué)分析、逆向動(dòng)力學(xué)分析與靜平衡分析對(duì)于一個(gè)確定的約束多體系

7、統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)分析不同于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并不需要系統(tǒng)約束方程的維數(shù)等于系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)，。在給定外力的作用下，從初始的位置和速度，求解滿(mǎn)足位置約束式(1-22)及速度約束式(1-23)的運(yùn)動(dòng)方程式(1-24)，就可得到系統(tǒng)的加速度和相應(yīng)的速度、位置響應(yīng)，以及代表約束反力的拉格朗日乘子，這種已知外力求運(yùn)動(dòng)及約束反力的動(dòng)力學(xué)分析，稱(chēng)為正向動(dòng)力學(xué)分析。如果約束多體系統(tǒng)約束方程的維數(shù)與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)相等，也就是對(duì)系統(tǒng)施加與系統(tǒng)自由度相等的驅(qū)動(dòng)約束，那么該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上就被完全確定，由節(jié)的約束方程、速度方程和加速度方程可求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。在此情況下，雅可比矩陣是非奇異方陣，即： (1-27)展開(kāi)式(1-24

8、)的運(yùn)動(dòng)方程，為：(1-28)(1-29)由式(1-29)可解得，再由式(1-28)可求得，拉格朗日乘子就唯一地確定了作用在系統(tǒng)上的約束力和力矩（主要存在于運(yùn)動(dòng)副中）。這種由確定的運(yùn)動(dòng)求系統(tǒng)約束反力的動(dòng)力學(xué)分析就是逆向動(dòng)力學(xué)分析。如果一個(gè)系統(tǒng)在外力作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)，也就是說(shuō)，如果：(1-30)那么，就說(shuō)該系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。將式(1-30)代入運(yùn)動(dòng)方程式(1-20)，得到平衡方程：(1-31)由平衡方程式(1-21)及約束方程式(1-13)可求出狀態(tài)和拉格朗日乘子。這種求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)及在平衡狀態(tài)下的約束反力的動(dòng)力學(xué)分析稱(chēng)為（靜）平衡分析。1.4 約束反力對(duì)于約束機(jī)械系統(tǒng)中的構(gòu)件，設(shè)其與系統(tǒng)中

9、某構(gòu)件存在運(yùn)動(dòng)學(xué)約束或驅(qū)動(dòng)約束，約束編號(hào)為。除連體坐標(biāo)系外，再在構(gòu)件上以某點(diǎn)為原點(diǎn)建立一個(gè)新的固定于構(gòu)件上的坐標(biāo)系，稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)系，設(shè)從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換矩陣為，從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換矩陣為，則可導(dǎo)出由約束產(chǎn)生的反作用力和力矩分別為：(1-32)(1-33)以上兩式中，為約束對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子，反作用力和力矩均為運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)系中的量。2 彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)由于工業(yè)機(jī)器人、機(jī)械手、彈性聯(lián)動(dòng)裝置、帶柔性附件人造衛(wèi)星、直升飛機(jī)的旋翼等工程結(jié)構(gòu)發(fā)展的需求，使運(yùn)動(dòng)中的彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析得到了很大的進(jìn)展。運(yùn)動(dòng)彈性體的動(dòng)力學(xué)分析屬于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的范疇。而導(dǎo)出其有限元格式的動(dòng)力學(xué)方程并研究其數(shù)值解法則是計(jì)算

10、多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的任務(wù)。由于彈性變形與剛體運(yùn)動(dòng)的耦合導(dǎo)致了運(yùn)動(dòng)彈性體的動(dòng)力學(xué)方程為時(shí)變的或非線(xiàn)性的，因此運(yùn)動(dòng)中的彈性體會(huì)出現(xiàn)諸多非線(xiàn)性效應(yīng)。運(yùn)動(dòng)中彈性體的動(dòng)力分析問(wèn)題可分為兩類(lèi), 其一是具有給定剛體運(yùn)動(dòng)的彈性體的動(dòng)力分析，這類(lèi)問(wèn)題僅討論彈性體的剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)其彈性變形的影響，比如機(jī)械手的彈性終端桿的振動(dòng)分析一般可歸于此類(lèi)。第二類(lèi)問(wèn)題是多體系統(tǒng)中之剛體運(yùn)動(dòng)與其中的彈性體的彈性變形的相互耦合的動(dòng)力分析, 在這類(lèi)問(wèn)題中, 彈性體的變形會(huì)受到系統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)的影響，反之彈性體的變形也會(huì)影響系統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)。下面采用運(yùn)動(dòng)參考系方法并用Jourdain 動(dòng)力學(xué)普遍方程導(dǎo)出了具有空間一般運(yùn)動(dòng)的彈性體之通用的有限元?jiǎng)恿W(xué)

11、方程，其最大的優(yōu)點(diǎn)在于推導(dǎo)簡(jiǎn)單并適用于各類(lèi)結(jié)構(gòu)及各種單元形式。對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值求解, 一般可以采用直接積分法。下面給出了對(duì)時(shí)變的運(yùn)動(dòng)彈性的動(dòng)力學(xué)方程的Neumann 級(jí)數(shù)2直接積分解法, 該方法可以在保證計(jì)算精度的前提下很大程度地節(jié)省機(jī)時(shí)。圖2-1圖2-1 所示為一運(yùn)動(dòng)的彈性體，選用兩個(gè)坐標(biāo)系來(lái)定義彈性體的剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形:靜系，簡(jiǎn)記系; 原點(diǎn)在上的點(diǎn), 固連于上的動(dòng)系，簡(jiǎn)記為系。的剛體移動(dòng)由點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)的矢量，定義的空間轉(zhuǎn)動(dòng)則用系對(duì)系的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)定義, 而內(nèi)任意點(diǎn)的彈性變形則用在系內(nèi)的彈性變形位移矢量來(lái)表示。由圖可見(jiàn)發(fā)生彈性變形后, 其上任意一點(diǎn)對(duì)系的位置矢量可以表示為:（2-1）而（2-

12、2）其中是未產(chǎn)生彈性變形時(shí)點(diǎn)在系中的位置矢量，則表示點(diǎn)的彈性變形位移矢量。把(2-2) 式代入(2-1) 式并向系投影, 且采用矩陣形式表示為:（2-3）其中和分別表示和向系的投影列陣；表示系向系轉(zhuǎn)移的方向余弦矩陣。把(3-3) 式中的用有限元的格式，表達(dá)為:（2-4）其中為單元形函數(shù)矩陣，為點(diǎn)所在單元的有限元結(jié)點(diǎn)位移列陣。把(2-4) 式代入(2-3)式, 并利用公式:（2-5）其中是系相對(duì)于系轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在系上投影的斜對(duì)稱(chēng)陣。由(2-3) 式對(duì)時(shí)間分別求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)可得點(diǎn)的速度和加速度，進(jìn)而可得到點(diǎn)的虛速度，于是點(diǎn)鄰域之微元體的Jourdain 動(dòng)力學(xué)普遍方程可以寫(xiě)作:（2-6）其中:

13、 為彈性體在點(diǎn)的質(zhì)量密度；是作用于點(diǎn)微元體上的全部力在系上的投影。對(duì)于可利用常規(guī)有限元的格式將它寫(xiě)作:（2-7）其中: 和分別為單元?jiǎng)偠汝嚭蛦卧枇﹃囋邳c(diǎn)的值; 為作用在點(diǎn)微元體上的外力在系的列陣, 把求得的點(diǎn)的虛速度和加速度以及(2-7) 式代入(2-6) 式, 并考慮到中諸元素之獨(dú)立性, 可得點(diǎn)微元體的動(dòng)力學(xué)方程為：（2-8）將(2-8) 式對(duì)單元積分便可得運(yùn)動(dòng)的彈性體的單元?jiǎng)恿W(xué)方程:（2-9）式中:其中，分別是常規(guī)有限元法中的單元阻力陣、剛度陣和外力向量, 而，則分別是由于剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形的耦合而產(chǎn)生的附加單元?jiǎng)恿ψ枘彡嚒?dòng)力剛度陣和動(dòng)力力向量。而且由于它們的表達(dá)式中含有表示彈性體空

14、間運(yùn)動(dòng)量和，因此,通常這些動(dòng)力附加項(xiàng)是時(shí)變的。當(dāng)彈性體的剛體運(yùn)動(dòng)速度特別是轉(zhuǎn)動(dòng)速度較大時(shí), 彈性體受到較大的慣性力作用, 會(huì)產(chǎn)生變形的耦合效應(yīng)。例如轉(zhuǎn)動(dòng)的梁, 由于離心慣性力產(chǎn)生的軸向拉力會(huì)增大梁的抗彎剛度, 即所謂的“剛化效應(yīng)”。這時(shí)在(2-10) 式中的常規(guī)剛度陣中需計(jì)入結(jié)構(gòu)的幾何剛度陣, 關(guān)于各類(lèi)單元的幾何剛度陣可參閱有關(guān)非線(xiàn)性有限元的書(shū)籍。而結(jié)構(gòu)的幾何剛度陣往往是未知內(nèi)力的函數(shù), 這時(shí)方程(2-9)式就是一個(gè)非線(xiàn)性的動(dòng)力方程。但對(duì)于簡(jiǎn)單的彈性體, 如梁, 由于剛體運(yùn)動(dòng)的慣性力產(chǎn)生的軸力容易求得, 這時(shí)的幾何剛度陣就變?yōu)闀r(shí)變陣。本文只討論幾何剛度陣為時(shí)變陣的情況, 即方程(2-9)式為時(shí)

15、變動(dòng)力學(xué)方程時(shí)的數(shù)值解法。顯然, 若彈性體沒(méi)有剛體運(yùn)動(dòng), 則方程(2-9)式退化為常規(guī)的有限單元?jiǎng)恿W(xué)方程。把(2-9)式按常規(guī)有限元的組集方法進(jìn)行組集, 便可得到對(duì)于運(yùn)動(dòng)彈性體的具有時(shí)變特性的、通用的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程:（2-10）3 高速旋轉(zhuǎn)體動(dòng)力學(xué)高速旋轉(zhuǎn)體通常是由是由三個(gè)剛體外環(huán)、內(nèi)環(huán)、轉(zhuǎn)子互相約束在一起而成，可使陀螺儀轉(zhuǎn)子具有空間轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)自由度。過(guò)去曾長(zhǎng)期認(rèn)為，高速自轉(zhuǎn)的平衡對(duì)稱(chēng)卡登陀螺儀和單剛體陀螺儀的理論模型沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，具有所謂“定軸性。但實(shí)際上,理論研究和精密的實(shí)驗(yàn)研究都已證明這個(gè)想法是錯(cuò)誤的。平衡對(duì)稱(chēng)卡登陀螺儀的空間定向大都具有里雅普諾夫意義下的不穩(wěn)定性（見(jiàn)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性）?？?/p>

16、登陀螺儀和單剛體陀螺儀模型有本質(zhì)區(qū)別，只有通過(guò)多剛體系統(tǒng)模型的研究才能正確解釋卡登陀螺儀的動(dòng)力學(xué)特征。圖3-1如圖3-1所示，對(duì)于外徑與長(zhǎng)度的比值的轉(zhuǎn)子，如多缸內(nèi)燃機(jī)的曲軸、機(jī)床主軸等，這些轉(zhuǎn)子的不平衡質(zhì)點(diǎn)不是集中在同一平面內(nèi)，而是分布在垂直于軸線(xiàn)的各個(gè)平面內(nèi)。對(duì)于這種轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡問(wèn)題, 一般都采用矢量法來(lái)求校正質(zhì)量、的重徑積和。但是這種方法所帶來(lái)問(wèn)題是力多邊形不易求解以及圖解法不夠精確。假如采用平面解法，不僅簡(jiǎn)單正確，而且對(duì)于沒(méi)有動(dòng)平衡機(jī)的工廠(chǎng)無(wú)疑有一定的實(shí)用價(jià)值。上述轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布簡(jiǎn)圖如圖3-2所示，不平衡質(zhì)量、分別分布在與回轉(zhuǎn)軸線(xiàn)垂直的三個(gè)平面1、2、3內(nèi), 各質(zhì)點(diǎn)距回轉(zhuǎn)軸線(xiàn)的矢徑分別為、。當(dāng)轉(zhuǎn)子以等角速度。回轉(zhuǎn)時(shí), 各質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的離心慣性力分別為（3-1）（3-2）（3-3）圖3-2方向如圖所示。若選擇轉(zhuǎn)子左、右二端面（過(guò)點(diǎn)A與軸線(xiàn)垂直的平面）、（過(guò)點(diǎn)B與軸線(xiàn)垂直的平面）作為校正平面，在、平面內(nèi)分別加上校正質(zhì)量、，矢徑為、，則校正質(zhì)量所產(chǎn)生的離心慣性力為和，、和組成了空間力系。選取三坐標(biāo)軸、軸如圖所示，并將作用在轉(zhuǎn)子上的所有力向平面和平面投影，如圖3-3所示。圖3-3在圖3-3中, 所有的力組成了平面平行力系, 列平衡方程：，（3-4），（3-5）解得：（3