北師大版腰三角形直角三角形

1、九年級(jí)上數(shù)學(xué)北師大版（2）等腰三角形、直角三角形一、同步輔導(dǎo)：等腰三角形、直角三角形1、等腰三角形是一種特殊的三角形,等邊三角形又是特殊的等腰三角形.它們除其有一般三角形的邊、內(nèi)角、外角的性質(zhì)之外,還有許多特殊性. 2、等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定。 性質(zhì)判定等腰三角形1.由定義可得：等腰三角形兩個(gè)腰相等。 2.定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。(同一三角形中,等邊對(duì)等角) 3.定理推論：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線,底邊上的高線互相重合。 4.對(duì)稱性，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸。（底邊的中垂線） 1.用定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。 2.定理：如果一個(gè)三角形有

2、兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。即同一三角形中，等角對(duì)等邊。 等邊三角形1.由定義可得：三邊相等。 2.定理推論,等邊三角形的各角都相等且每個(gè)角都等于60°。 3.對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸，即三條邊的垂直平分線。 4.具有等腰三角形的所有性質(zhì)。 1.由定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形。 2.定理推論：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。3.定理推論：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 直角三角形1.直角三角形中兩個(gè)銳角互余。 2.在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 3.勾股定理：直角三

3、角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2 4.直角三角形全等的判定方法除了常用的以外,還有HL. 1.由定義：有一個(gè)角為直角的三角形叫做直角三角形。 2.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有下面關(guān)系：a2+b2=c2 那么這個(gè)三角形是直角三角形。 二、例題精講： 說(shuō)明:等腰三角形具有兩條腰相等以及兩個(gè)底角相等的性質(zhì),這些性質(zhì)不僅可以用于證明,而且也常常用于計(jì)算線段或角的大小. 例1.等腰三角形頂角的外角與一個(gè)底角的外角和等于245°,求它的頂角的度數(shù). 分析: 這是關(guān)于等腰三角形角的計(jì)算.可考慮應(yīng)用設(shè)未知數(shù)列方程的方法計(jì)算. 解: (一)設(shè)這個(gè)等腰三角

4、形的頂角為x°,根據(jù)"同一三角形中等邊對(duì)等角",則它的一個(gè)底角為，這個(gè)頂角的外角為，底角的外角為180-. 由題意可得: (180-x)+180-(180-x)=245 180-x+180-90+x=245 -x=245-270 x=50答:這個(gè)三角形頂角為50°. 解: (二)設(shè)頂角為x°,底角為y°,頂角外角為(180-x)°,底角外角為(180-y)°. 由三角形內(nèi)角和定理可得:x+2y=180 由題意可得: (180-x)+(180-y)=245, x+y=115, 解方程組得 答:這個(gè)三角形頂角為50&#

5、176;. 例2.等腰三角形中的一個(gè)內(nèi)角為50°,求另外兩個(gè)角的度數(shù). 分析:等腰三角形的頂角可以是銳角,也可以是直角或鈍角,等腰三角形的底角必為銳角.因此這個(gè)50°的角既可以是頂角又可以是底角,所以要分類進(jìn)行討論. 解:若頂角為50°時(shí), 由等腰三角形的兩個(gè)底角相等和三角形內(nèi)角和定理可得一底角為:=65°. 三角形另外兩個(gè)角都為65°, 若底角為50°, 則另一底角也為50°,由內(nèi)角和又可求另一角為 180°-(2×50°)=80°。 三角形另外兩個(gè)角一個(gè)為50°,另一個(gè)為

6、80°. 例3.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為25cm和13cm.求它的周長(zhǎng). 分析:等腰三角形的邊有兩種:一是等腰三角形的兩條腰相等,另一是等腰三角形的底邊.因此此題的已知條件中兩邊長(zhǎng)為25cm和13cm,有可能腰為25cm或13cm，兩種情況都可以構(gòu)成三角形，因此要分類討論. 解: (1)若腰長(zhǎng)為25cm時(shí),則另一腰也為25cm,底邊長(zhǎng)為13cm. 等腰三角形周長(zhǎng)=25+25+13=63(cm) (2)若底邊長(zhǎng)為25cm時(shí),則腰長(zhǎng)為13cm, 等腰三角形周長(zhǎng)=25+13+13=51(cm) 說(shuō)明:1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等是等腰三角形很重要的一條性質(zhì),由于等腰三角形圖形的特殊性,特別

7、要注意分類討論思想的運(yùn)用,需要看是頂角還是底角,邊是腰還是底邊,只有將這些內(nèi)容考慮周全,才會(huì)使解答更加完整. 2.若等腰三角形兩邊長(zhǎng)為25cm和12cm,求三角形周長(zhǎng)時(shí),腰長(zhǎng)只能為25cm,周長(zhǎng)只能為62cm.若腰長(zhǎng)為12cm,則兩腰長(zhǎng)的和24cm<底邊25cm,不符合三角形兩邊之和大于第三邊的定理. 例4.等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15cm和11cm兩部分,求這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng). 分析:解這類的問(wèn)題為了便于分析和解答先根據(jù)題意畫出圖形,寫出已知和所求再解答. 已知:如圖ABC中,AB=AC,BD為AC中線,且BD將ABC周長(zhǎng)分為15cm和11cm兩部分,求ABC的底邊

8、BC的長(zhǎng). 分析:由圖中可知BD將ABC周長(zhǎng)即AB+AC+BC分成兩部分為:AB+AD和BC+CD,題中的已知條件并沒(méi)有指明哪一部分為15cm和11cm,因此應(yīng)對(duì)這題進(jìn)行分類討論.為便于解題可采用設(shè)元法用方程思想去解決. 解:設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=2x,底邊BC=y, BD為AC中線(已知) AD=CD=x(線段中點(diǎn)定義) AB+AD=2x+x=3x,BC+CD=y+x. 1)當(dāng)AB+AD=15,即3x=15,BC+CD=11,即x+y=11時(shí)， 解方程組得 底邊長(zhǎng)為6cm. 2)當(dāng)AB+AD=11,即3x=11,BC+CD=15,即x+y=15時(shí). 解方程組得底邊長(zhǎng)為cm. 兩種解都能構(gòu)成三角形

9、，且都符合題意 答:這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6cm或cm. 說(shuō)明:在這二種情況中一定要注意求出底邊長(zhǎng)之后應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)的好習(xí)慣,看是否符合題意.由(1)中可知BC=6,則腰長(zhǎng)AB=2x=10, AB+AC>BC符合題意.同理(2)中BC=,AB+AC=4x=>BC,也符合題意.若AB+AC<BC時(shí)應(yīng)將這解舍去. 例5.如圖AB=AC，D是AE上一點(diǎn)，且BD=DC。求證：AEBC。 分析：由AB=AC可知ABC是等腰三角形應(yīng)聯(lián)想它的性質(zhì)，要證明AEBC須證AE平分BAC，根據(jù)已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得ABDACD，得出1=2，再由性質(zhì)證出AEBC。 證明：在ABD

10、和ACD中， ABDACD（SSS） 1=2（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 又AB=AC（已知） AEBC（等腰三角形頂角的平分線是底邊的高線）。 例6.如圖在ABC中，AB=AC，E在BA延長(zhǎng)線上，且AE=AF，求證：EFBC。 分析：要證明EFBC不大好入手，但是否可以找到一條垂直于BC的直線，再證EF與之平行呢？這個(gè)設(shè)想是可以完成的。因?yàn)閳D形有等腰ABC，BC邊的中線、高線與BAC的平分線三線合一。 證明：作A的平分線AD交BC于D，延長(zhǎng)EF交BC于M， ABC中，AB=AC（已知）， ADBC于D （等腰三角形頂角平分線是底邊的高線） BAC是AEF的外角（如圖） BAC=3+4 （三角形

11、外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和） AE=AF（已知） 3=4（同一三角形中等邊對(duì)等角） BAC=24（等式性質(zhì)）4=BAC， 又2=1（作圖），2=BAC（角平分線定義） 2=4（等量代換） AD/EF（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行） EMB=ADB（兩直線平行同位角相等） ADBC（已證） ADB=90°（垂直定義） EMB=90°（等量代換） EFBC（垂直定義）。 說(shuō)明：如果補(bǔ)充定理：若a/b,且ac, 則bc，則可不作EF延長(zhǎng)線，證出AD/EF后，再由ADBC，直接可證出EFBC。 例7.如圖ABC是等邊三角形, ADE是以AD,AE為腰的等腰三角形,DAE=80°

12、;,BAD=15°,求CAE和EDC的度數(shù). 分析:題中除有兩個(gè)角的具體度數(shù)外,還隱含了等邊三角形每個(gè)角都是60°的條件.這樣可以從DAC=BAC-BAD求得DAC度數(shù),也就求得了CAE的度數(shù).又可由ADE為等腰三角形,則ADE=(180°-DAE),以及ADC是ABD的外角,也可求得EDC的度數(shù). 解:ABC為等邊三角形(已知) B=BAC=60°(等邊三角形的每一個(gè)角為60°) 2=BAC-1(全量等于部分之和) 1=15°(已知)2=60°-15°=45°(等式性質(zhì)) 又3=DAE-2(全量等于部分

13、之和) DAE=80°(已知) 2=45°(已求) 3=80°-45°=35°(等式性質(zhì)),即CAE=35° 在ADE中,AD=AE(已知) ADE=AED(同一三角形中,等邊對(duì)等角) 又ADE+AED+DAE=180°(三角形內(nèi)角和定理) ADE=(180°-DAE)=(180°-80°)=50°(等式性質(zhì)) ADC是ABD外角, 1=15°B=60°(已求) ADC=1+B(三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和), =15°+60°=75&#

14、176;(等式性質(zhì)) EDC=ADC-ADE(全量等于部分之和) =75°-50°(等量代換) =25° 答: CAE為35°, EDC為25°. 例8.如圖,在直角ABC中, BAC=90°,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC,求DAE的度數(shù). 分析: 如圖（1）先觀察DAE在圖形中的位置,首先, DAE是ADE的內(nèi)角,則DAE=180°-(1+2),而1,2又分別是等腰ABE和等腰ADC的底角,又可從中找到1,2與B,C的關(guān)系,又B+C=90°,這樣理清這樣一串角之間的關(guān)系,就可以從中求得DAE. 解:

15、(一) BE=AB(已知) 1=BAE(同一三角形中,等邊對(duì)等角) 1+BAE+B=180°(三角形內(nèi)角和定理) 1=(180°-B) (等式性質(zhì)) 同理可求2=(180°-C) 在ADE中,DAE=180°-(1+2)(三角形內(nèi)角和定理) DAE=180°-(180°-B)+(180°-C)(等量代換) =180°-(180°-B-C) =(B+C) 又BAC=90°(已知) BAC+B+C=180°(三角形內(nèi)角和定理) B+C=180°-90°=90°

16、(等式性質(zhì)) DAE=(B+C)(已證) =×90°(等量代換) =45°答: DAE的度數(shù)為45°. 解法二： 分析： 如圖（2） 由上可知DAE與1、2是AED的三個(gè)內(nèi)角，同時(shí)DAE與3和4又能組成直角，且2=DAC，1=BAE，都與EAD有關(guān)，因此可設(shè)元找它們之間的關(guān)系，用方程思想去解決。 解：設(shè)EAD=x°, 3=y°, 4=z°, CA=CD（已知） CAD=2（同一三角形中等邊對(duì)等角） CAD=2=x+y, 又AB=BE（已知）， 1=EAB（同一三角形中，等邊對(duì)等角） EAB=1=x+z, EAD+1+2=18

17、0°(三角形內(nèi)角和定理)， x+(x+z)+(x+y)=180°, 即3x+y+z=180°, 又3+EAD+4=CAB（全量等于部分之和）， 即y+x+z=90°, 由（2）-（1） 2x=90°, x=45°, 答：EAD為45°。 例9.如圖在ABC中，A，B的外角平分線分別交對(duì)邊CB、AC的延長(zhǎng)線于D，E且AD=AB=BE，求BAC的度數(shù)。分析：題目的已知條件中，沒(méi)有出現(xiàn)一個(gè)角的具體數(shù)值，卻有著相當(dāng)多的角的關(guān)系：兩個(gè)等腰三角形，兩個(gè)外角平分線。點(diǎn)B的周圍是這些角的匯集處。可以從兩個(gè)方面分析，向點(diǎn)B集中。為了使思維清楚

18、表達(dá)方便，設(shè)BAC=x°，從BAD出發(fā)，通過(guò)AD是ABC外角的平分線以及ABD是等腰三角形，可用x表示ABD。而另一個(gè)方向是從BAC出發(fā)，通過(guò)ABE是等腰三角形，BE是ABC外角平分線，用x表示CBF，最終通過(guò)對(duì)頂角ABD=CBF關(guān)系，列出關(guān)于x的方程，解得x，即求出BAC。 解：設(shè)BAC=x, BAG是ABC外角，BAG=180°- x（平角定義）， AD是BAG平分線（已知）， DAB=BAG（角平分線定義）， DAB=(180°-x)=90°-x（等式性質(zhì)） ABD中，AB=AD（已知） ABD=D（同一三角形中等邊對(duì)等角） 又D+ABD+DAB=

19、180°（三角形內(nèi)角和定理）， ABD=D=(180°-DAB)（等式性質(zhì)） =180°-(90°-x)（等量代換） =45°+ AB=BE（已知），BAE=E（同一三角形中等邊對(duì)等角）， E=x°（等量代換）， FBE是ABE外角（如圖）， FBE=BAE+E（三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）， =2x（等式性質(zhì)）， BE是CBF的角平分線（已知）， FBC=2FBE（角平分線定義） =2(2x)=4x(等式性質(zhì))， ABD=FBC（對(duì)頂角相等）， 45+=4x(等量代換)， 解方程得x=12°, 答：BAC的度數(shù)為

20、12°。 例10、求證等腰三角形腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。 說(shuō)明：此題是文字題，把文字題“翻譯”成“已知”，“求證”等符號(hào)語(yǔ)言， 是我們這段學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)掌握的。 已知：ABC中，AB=AC，BDAC于D。求證：DBC=BAC。 分析：要證明DBC=BAC，則需找出一個(gè)角使它等于DBC的二倍，再證其與BAC相等。因此以BD為一邊，以B為頂點(diǎn)，在BD另一旁作EBD=CBD，得EBC=2CBD，再證EBC=BAC。 證法（一）：以BD為一邊，以B為頂點(diǎn)，在BD的另一旁作 EBD=CBD，BE交AC于E， EBC=2CBD， BDAC于D（已知）， EDB=90°， BDC

21、=90°（垂直定義）， EDB=BDC（等量代換）， 在BED和BCD中， BEDBCD（ASA） BEC=C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） 在EBC中，EBC=180°-BEC-C（三角形內(nèi)角和定理）， EBC=180°-2C（等式性質(zhì)）， 又AB=AC（已知），ABC=C（同一三角形中等邊對(duì)等角）， A=180°-ABC-C（三角形內(nèi)角和定理）， A=180°-2C（等式性質(zhì)）， EBC=A（等量代換）， EBC=2DBC（已證），A=2DBC（等量代換）， DBC=BAC（等式性質(zhì)）。 方法（二）：分析要證明CBD=BAC，則需找一個(gè)角使它等于

22、BAC，再證其與DBC相等， 作BAC平分線AF得到2=BAC， 由AB=AC AFBC，由DBC=90°-C，2=90°-C 2=DBC，即DBC=BAC。 方法（三）：分析：直接應(yīng)用定理進(jìn)行計(jì)算出BAC=180°-ABC-C=180°-2C=2(90°-C)，又因?yàn)?DBC=90°-C，可證出DBC=BAC。 方法（四）：類似法（一）如圖作 CBE=DBC，BE交AC延長(zhǎng)線于E， 很容易推出ACB=2+E， ABC=1+3 3=E，由垂直條件 3+A=90°，1+2+E=90°，則1+2=A，DBC=A。 說(shuō)明

23、：證明一個(gè)角等于另一個(gè)角的二倍或一半時(shí)，常用以下幾種方法：（1）先作一個(gè)角等于小角的二倍，再證其與大角相等（如法一，法四） （2）先作一個(gè)角等于大角的一半，再證其與小角相等（如法二） （3）運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算來(lái)推導(dǎo)（如法三） 研究與探討： 如果一個(gè)等腰三角形可以被一條直線分割成兩個(gè)較小的等腰三角形，那么這樣的等腰三角形共有幾個(gè)？這條直線怎樣畫？討論所有可能的情況，并畫出圖形 分析與解：我們常見(jiàn)的此類等腰三角形有頂角為90°的等腰直角三角形，所以第一種如圖（1），但是怎樣能夠把所有的情況都考慮到？需要利用分類討論的思想。設(shè)原等腰三角形中AB=AC。因?yàn)榈妊切伪恢本€分成兩部分仍舊分別是等腰

24、三角形，所以這條直線一定經(jīng)過(guò)三角形的頂點(diǎn)，并和對(duì)邊相交?？梢苑诸愑懻摚?）直線經(jīng)過(guò)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，將底邊分成兩截線段。這時(shí)，新構(gòu)成的等腰三角形有兩種情況，如圖（1）（2）。圖（1）中AD=BD=CD ，圖（2）中 AB=BD  AD=DC2）直線經(jīng)過(guò)等腰三角形的底角頂點(diǎn)，將其中一腰分成兩截線段。新構(gòu)成的等腰三角形有兩種情況，如圖（3）（4）。圖（3）中 AD=CD=BC   圖（4）中 AD=BD  BC=CD研究探討：以上共四種情況，你能不能分別求出原來(lái)等腰三角形的頂角度數(shù)？分別是多少？提示：可以利用等腰三角形中角的關(guān)系，用方程的思想求出頂角度數(shù)

25、。分別為90°、108°、36°、 .練習(xí)：（上海市中考題）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？分析：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于 100m則受影響，大于 100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求

26、拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開(kāi)始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解：作ABMN，垂足為B。   在RtABP中，ABP=90°，APB=30°，    AP=160， AB= AP=80。    （在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）    點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。    如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開(kāi)始受到影響，

27、那么AC=100(m)，由勾股定理得：BC2=1002-802=3600, BC=60.同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開(kāi)始脫離影響，那么，AD=100(m),BD=60(m),CD=120(m). 拖拉機(jī)行駛的速度為: 18km/h=5m/st=120m÷5m/s=24s.答略。小結(jié):勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過(guò)做輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理.三、同步測(cè)試窗體頂端選擇題 1等腰三角形周長(zhǎng)12厘米，其中一邊長(zhǎng)2厘米，其他兩邊分別長(zhǎng)（）。 A、2厘米、5厘米 B、5厘米、5厘米 C、5厘米、5厘米或2厘米、2厘米 D、無(wú)法確定 窗體

28、底端窗體頂端2等腰三角形一腰上的高與底邊夾角是60°，則頂角的度數(shù)為（） A、60° B、120° C、90° D、30° 窗體底端窗體頂端3等腰三角形ABC中，A=90°，在底邊BC上截取BD=AB，過(guò)D作DEBC交AC于E，連AD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)應(yīng)是 （） A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè) 窗體底端窗體頂端4下列說(shuō)法中，正確的是（ ） A、一個(gè)鈍角三角形一定不是等腰三角形 B、一個(gè)等腰三角形一定是銳角三角形 C、一個(gè)直角三角形一定不是等腰三角形 D、一個(gè)等邊三角形一定不是鈍角三角形 窗體底端窗體頂端5下列命題中錯(cuò)誤的

29、是（） A、直角三角形中，任一直角邊的中線小于斜邊 B、等腰直角三角形斜邊上的高線等于斜邊的一半 C、到直角三角形三頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在斜邊的中點(diǎn)上 D、有兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 窗體底端窗體頂端6如圖已知：ABC中，ACB=90°，且BC=BD，AC=AE，則DCE的度數(shù)為（）。 A、45°B、60°C、50°D、30° 窗體底端窗體頂端7過(guò)直線l外一點(diǎn)A，作l的垂線，下列作法中正確的是（）。 A、過(guò)A作ABl于B，則線段AB即為所求 B、過(guò)A作l的垂線，垂足是B，則射線AB即為所求 C、過(guò)A作l的垂線，垂足是B，則直線AB即

30、為所求 D、以上作法都不正確 窗體底端窗體頂端8如圖，在ABC中，ABC=ACB，ABC與ACB的平分線相交于O，過(guò)O作EFBC交AB于E，交AC于F，那么圖中所有的等腰三角形有幾個(gè)（） A、6B、4 C、3 D、5 窗體底端窗體頂端9等腰三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的四倍，則這個(gè)三角形的頂角的度數(shù)為（ ） A、20°B、30°C、20°或120°D、120°答案與解析 答案：1. B 2. B 3. D 4. D 5. D 6. A 7. C 8. D 9. C解析：3、提示：等腰三角形有：ABC、ABD、AED、 DEC。 6、如圖， BC=

31、BD 1+2=5 5=3+A 1+2=3+A.(1) AC=AE 1+3=4 4=2+B 1+3=2+B.(2) (1)+(2)得：21+2+3=3+A+2+B 21=A+B ACB=90° A+B=90° 21=90° 1=45°， 選擇A。 8、提示：有ABC、AEF、BOC、EOB、FOC 9、提示：利用方程來(lái)解，設(shè)頂角為x°，但是要注意，在表示底角時(shí)有兩種：4x°或者°所以可列方程：8x+x=180或者+x=180；分別解出20°或120°四、中考解析等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì) 考點(diǎn)掃描 掌握等

32、腰三角形的性質(zhì)和推論以及應(yīng)用. 名師精講 1. 等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成等邊對(duì)等角) 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊； 推論2：等邊三角形各角都相等，并且每個(gè)角都等于60°. 2. 等腰三角形三線合一性 等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合. 在等腰三角形中，平分頂角、平分底邊、垂直于底邊、三個(gè)條件中有一個(gè)成立，另兩個(gè)一定成立. 注意：“等邊對(duì)等角”定理是證明兩角相等的重要依據(jù). “三線合一”的定理是證明兩角相等，兩線段相等或兩直線互相垂直的重要依據(jù). 因此本節(jié)的性質(zhì)定理及推論是本節(jié)的重點(diǎn). 3. 本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)

33、文字命題的證明，要注意對(duì)定理證明的分析，開(kāi)拓證明思路，探求證明方法. 同時(shí)注意證明題中引輔助線的研究，明確引輔助線的目的是把已知條件集中或挖掘隱含的已知條件. 要逐步學(xué)會(huì)根據(jù)題中已知條件和證題需要恰當(dāng)?shù)匾o助線. 中考典例 1.(益陽(yáng)市)在ABC中AB=AC，B=50°則A= . 考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì) 評(píng)析：因?yàn)锳B=AC，B=C=50°，再由內(nèi)角和定理可知A=80° 2.( 福建省龍巖市) 如圖所示已知ABC中D、E為BC邊上的點(diǎn)，且BD=EC，AD=AE，求證AB=AC. 考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形判定. 評(píng)析：該題考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的

34、判定及性質(zhì)，由AD=AE可知ADE =AED又BD=CE，所以BE=DC，ABEACD故AB=AC. 也可以證明ABDACE 證明過(guò)程如下： 方法1：證明：AD=AEADE=AED又BD=CEBD+DE=CE+DE即 BE=CE 在ABE和ACD中 ABEACDAB=AC 方法2：AD=AE ADE=AEDADB=AEC 在ABD和ACE中 ABDAECAB=AC. 3. (北京崇文區(qū)) 已知：如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且EDFD. 求證：S四邊形EDFC=SABC. 考點(diǎn)：全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì). 評(píng)析：

35、因?yàn)镽tABC是等腰三角形，D是AB中點(diǎn)，所以連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，則有CDAB、AD=BD=CD. 又EDFD，再根據(jù)“同角的余角相等”則 1=2、A=3，由此AEDCFD，同理BFDCED. 故S四邊形EDFC=SABC得證. 證明過(guò)程如下： 證明：連結(jié)CD，RtABC是等腰直角三角形，又AD=BD，CDAB A=B=3=45° AD=BD=CD，又EDFD1=2 在ADE和CDF中 ADECDF. 同理可證BDFCDE S四邊形EDFC=SABC 注：此題中連結(jié)CD，目的是應(yīng)用等腰直角三角形性質(zhì)，并且構(gòu)造兩對(duì)全等的三角形. 真題專練 1.(寧波市)如圖D、E分別是A

36、BC的邊BC，AC上的點(diǎn)，若AB=AC，AD=AE則( ) A、當(dāng)B為定值時(shí)CDE為定值 B、當(dāng)為定值時(shí)CDE為定值 C、當(dāng)為定值時(shí)CDE為定值 D、當(dāng)為定值時(shí)CDE為定值 2.( 北京崇文區(qū))如圖，在ABC中，AB=AC，BD是ABC的平分線，若ADB=93°，則A=( ) A、31°B、46. 5°C、56°D、62° 3.(山西省) 如果兩個(gè)等腰三角形 _，那么這兩個(gè)等腰三角形全等(只填一種能使結(jié)論成立的條件即可). 4.(廣西省) 已知如圖，點(diǎn)D、E在ABC的邊上BC上，且BD=CE，AB=AC，求證：AD=AE。  

37、60; 答案：1、B2、C(提示：由三角形外角及等腰三角形的性質(zhì)可知ADB=3DBC) 3、一腰與底邊對(duì)應(yīng)相等，或底邊和底邊上的高對(duì)應(yīng)相等，或一腰與頂角對(duì)應(yīng)相等，或底邊與頂角對(duì)應(yīng)相等. 4、證明：AB=ACB=C又BD=CEABDACEAD=AE. 2、等腰三角形的判定 考點(diǎn)掃描 掌握等腰三角形的判定定理和推論及其應(yīng)用. 名師精講 等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等. 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是正三角形. 推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形. 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°. 那么它所對(duì)的直角邊等

38、于斜邊的一半. 注意：等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理是一對(duì)互逆的定理. 但在敘述判定定理時(shí)，不要說(shuō)成“如果三角形的兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等. ”因?yàn)樵跊](méi)有判定它是等腰三角形以前是無(wú)所謂“腰”和“底”的，只有等腰三角形，才有腰和底的名稱. 推論1，實(shí)質(zhì)上也是等角對(duì)等邊的問(wèn)題，只是三個(gè)角都相等，所以所對(duì)的三條邊也都相等. 它是等邊三角形的一個(gè)判定定理. 推論2告訴我們，在等腰三角形中，只要有一個(gè)角等于60°，就可以判定它是等邊三角形，不論這個(gè)角是頂角還是底角. 這是判定等邊三角形的又一種方法. 推論三是由等邊三角形的性質(zhì)推出的關(guān)于直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，它反映了直角三角形的邊角之間

39、的關(guān)系. 中考典例 1.( 天津市) 如圖，ABC中，B=C，F(xiàn)DBC，DEAB，AFD=158°，則EDF等于_度. 考點(diǎn)：等腰三角形的判定 評(píng)析：由條件可知ABC是等腰三角形，由AFD=158°，可得DFC =22°，又B =C，所以BDE =22°，再根據(jù)互余關(guān)系，易求得EDF=68° 2.( 杭州市) 如圖，AOP=BOP=15°，PCOA，PDOA，若PC=4，則PD等于( ) A、4B、3C、2D、1 考點(diǎn)：角平分線、直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定. 評(píng)析：因AOP=BOP=15°，所以AOB=30°

40、;. 又PCOA，所以CPO=BOP=15°則CP=CO=4，過(guò)C點(diǎn)作CEOA于E，根據(jù)直角三角形中“30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”可得CE=2，再根據(jù)“平行線間的距離相等”，得PD=CE=2故應(yīng)選C. 說(shuō)明：此題中，輔助線CEOA的作用是，把已知條件OC=4，COD=30°及要求的線段PD集中到RtCOE中，便于計(jì)算. 3.(浙江紹興市) 如圖在ABC中，D，E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD、CE交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件，EBO=DCO，BEO=CDO，BE=CD，OB=OC. <1>上述四個(gè)條件中哪兩個(gè)條件可以判定ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫

41、出所有情況) <2>選擇其中一種情況證明ABC是等腰三角形. 考點(diǎn)：等腰三角形的判定 評(píng)析：該題考查學(xué)生在運(yùn)用全等三角形判定的基礎(chǔ)上判定三角形ABC是否是等腰三角形，一定要注意隱含條件EOB=DOC根據(jù)等腰三角形的判定定理，只要能證明ABC=ACB即可，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一般的三角形全等的判定中去. 所以由、均可達(dá)到目的，找到了方法，第二問(wèn)的證明，先證EOBDOC，于是OB=OC，再證ABC=ACB，可得：AB=AC. 解答過(guò)程如下： 解：(1)、；(2)選擇EBO=DCO OB=OC 求證：ABC是等腰三角形； 證明：OB=OCOBC=OCB又EBO=DCO ABC=ACBAB=AC

42、ABC是等腰三角形. 說(shuō)明：該題在考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題能力的同時(shí)，還考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想. 4. (河南省)如圖，在等腰RtABC中，C=900，D是斜邊AB上任一點(diǎn)，AECD于E，BFCD交CD的延長(zhǎng)線于F，CHAB于H，交AE于G，求證：BD=CG。 考點(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)。等腰三角形的性質(zhì)。 評(píng)析：本題證線段相等的方法是證明含兩條線段的兩個(gè)三角形全等，在這兩個(gè)三角形中只有角相等，所以需要證另外的對(duì)應(yīng)邊也相等，把它們歸結(jié)到另外的兩個(gè)三角形中，證其全等即可達(dá)到解題的目的。 證明：在RtAEC和RtCFB中， AC=CB，AECD于E，BFCD交CD的延長(zhǎng)線于F， AEC=CFB=90°. 又ACB=90°，CAE=90°-ACE=BCF. RtAECRtCFB. CE=BF. 在RtBFD和RtCEG中，F(xiàn)=GEC=90°，CE=BF. 由FBD=90°-FDB=90°-CDH=ECG， RtBFDRtCEG. BD=CG. 5.