變限積分的性質(zhì)

1、變限積分的性質(zhì)摘 要變限積分是微積分學(xué)基本定理之一，是一類很重要的函數(shù)，是產(chǎn)生新函數(shù)的重要工具，同時它也是連接不定積分和定積分的橋梁，可見它在微積分學(xué)中的重要地位。本文通過對變限積分的定義進(jìn)行簡介，對變限積分的性質(zhì)進(jìn)行介紹及舉例，包括變限積分的連續(xù)性、可微性、奇偶性、單調(diào)性和周期性，還介紹了變限積分的一些應(yīng)用。通過這些介紹及得到的有關(guān)結(jié)論，希望可以讓我們更加理解變限積分的作用、地位和價值，在以后研究學(xué)習(xí)中有所幫助。關(guān)鍵詞：變限積分；連續(xù)性；可微性；奇偶性；單調(diào)性；周期性；應(yīng)用 引言隨著時代的要求和科技的進(jìn)步，由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，一門新的數(shù)學(xué)分支微積分學(xué)產(chǎn)生了，而極限的思想是微積分的

2、基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動的思想看待問題，微積分是與實(shí)際聯(lián)系著發(fā)展起來的在許多科學(xué)領(lǐng)域中，有越來越廣泛地應(yīng)用，可見微積分在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。積分學(xué)是微積分中重要的一部分內(nèi)容，積分學(xué)可分為不定積分和定積分，而變限積分就是一種特殊的定積分，它具有許多特殊的性質(zhì)，比如連續(xù)性、可微性、奇偶性等，它是我們學(xué)習(xí)積分學(xué)經(jīng)?？疾斓囊粋€知識點(diǎn)，研究它的性質(zhì)對我們學(xué)習(xí)微積分有重要的意義。下面我們將介紹變限積分的概念、性質(zhì)和應(yīng)用。1. 變限積分的概念與理解1.1變限積分的定義設(shè)在上可積，根據(jù)定積分的性質(zhì)，對任何，在也可積，于是，由 （1）定義了一個以積分上限為自變量的函數(shù)

3、，稱為變上限的定積分或積分上限函數(shù).類似地，又可定義變下限的定積分： （2）與統(tǒng)稱為變限積分; 變量復(fù)合函數(shù)定義為： 其中、是定義在上的函數(shù)且，. 注：在變限積分（1）與（2）中，不可再把積分變量寫成（例如），以免與積分上、下限的混淆。 1.2對變限積分基本概念的理解 例題 ，計算（1）（2）（3）并由此說明不定積分、定積分、變上限積分三者之間的聯(lián)系。 解：（1）=（2）（3） 不定積分表示的含有任意常數(shù)的原函數(shù)；積分是上限變量的函數(shù)，也是的一個原函數(shù)；而定積分表示一個數(shù)，它是的任意一個原函數(shù)在與兩點(diǎn)處函數(shù)值之差。籠統(tǒng)地說，定積分是數(shù)，變上限積分是一個函數(shù)，而不定積分是一族函數(shù)。即為；此處取可

4、得，;取時，三者既有聯(lián)系又有區(qū)別。2. 變限積分的性質(zhì)2.1連續(xù)性： 若在上可積，則 在都連續(xù).2.2可微性（原函數(shù)存在定理） 若在上連續(xù)，則2.1中的在上可導(dǎo)且. 這就是說：函數(shù)是在上的一個原函數(shù);函數(shù)是在上的一個原函數(shù)。 注:2.2建立了導(dǎo)數(shù)、積分這兩個看起來似乎毫不相關(guān)的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，它證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”的基本結(jié)論，而且說明了是的一個原函數(shù)。此2.2的這個結(jié)論在微積分學(xué)中具有十分重要的地位，被稱為“微積分基本定理”.推論若在連續(xù)，在上可導(dǎo)且，則在上可導(dǎo)，且.推論若在連續(xù)，、在上可導(dǎo)且，、，則在上可導(dǎo)，且牛頓-萊布尼茨公式由微積分基本定理，我們還能得出一個重要的公式，即牛頓

5、-萊布尼茨公式：若函數(shù)在上連續(xù)，且是在上的一個原函數(shù)，則 例1 下列計算是否正確？若有錯，請訂正. （1）； （2）； （3） 解 （1）正確.因被積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，變上限定積分 對上限變量求導(dǎo)數(shù)，就等于被積函數(shù)在上限變量x處的值，即 （2）錯誤.因?yàn)樯舷奘堑暮瘮?shù)，需要利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式， （3）錯誤.因?yàn)橄孪奘堑暮瘮?shù)，需轉(zhuǎn)化為變上限函數(shù)積分求導(dǎo)問題 例2 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，試求 分析 由于的變上限積分表示式的被積函數(shù)中出現(xiàn)了積分上限變量，故不能直接利用公式來求導(dǎo)數(shù).需先將改寫成積分的被積表達(dá)式中只含積分變元t的形式，在對其求導(dǎo). 解 = - = 如果忽略了被積函數(shù)中含有積分上限變量這一事實(shí)，

6、而硬套變上限積分求導(dǎo)公式，就會釀成錯誤結(jié)果： 例3 設(shè)連續(xù)， 故 從而 =- = 例4 設(shè),求. 解：· =· 所以 （C為常數(shù)） 而 所以 2.3奇偶性 若在上可積且為偶（奇）函數(shù)，則是上奇（偶）函數(shù). 證明：設(shè)，其中函數(shù)在區(qū)間上可積.若函數(shù)為 上的奇函數(shù)，由變量替換有：,即為偶函數(shù)；若函數(shù)為上的偶函數(shù)，由變量替換有：，即為奇函數(shù)。 例 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，且 證明（1）若，則； （2）若非增（即：<時，），則非減. 證明：（1） = （2） = （）當(dāng)>0時，由非增可知：， 因此； （）當(dāng)x<0時，有,因此 綜上所述，對任意的再利用拉格朗日中值定理，當(dāng)<

7、;時，有 則非減. 2.4單調(diào)性 若在上可積且>0，則在上是單調(diào)遞增函數(shù). 若在上可積且<0,則在上是單調(diào)遞減函數(shù). 證明：積分第二中值定理 由變限積分的可微性及單調(diào)性我們又可得到積分第二中值定理 設(shè)函數(shù)在上可積，則 （1）若函數(shù)在上單調(diào)減少，且，則存在，使得； （2）若函數(shù)在上單調(diào)增加，且，則存在，使得.1推論 設(shè)函數(shù)在上可積，若為單調(diào)函數(shù)，則存在，使得 2.5周期性以為周期的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)以為周期的充分必要條件是例設(shè)是在內(nèi)以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則 也以T為周期。 證明：由周期函數(shù)積分性質(zhì)得： 因不一定為零，所以與不一定以T為周期，而， 所以以T為周期.3、變限積分的應(yīng)用學(xué)習(xí)數(shù)

8、學(xué)最重要的就是對數(shù)學(xué)思想的不斷積累并逐漸內(nèi)化，將數(shù)學(xué)的精華轉(zhuǎn)化為自己的各種能力。積分變限函數(shù)這類重要的函數(shù)，除了能拓展我們對函數(shù)概念的理解外，它又是連接積分學(xué)和微分學(xué)的重要工具，它在許多場合都有重要的應(yīng)用。3.1變限積分在求函數(shù)極限時的應(yīng)用 例1求下列極限 （1） （2）； （3）（其中為連續(xù)函數(shù)）（4） 解：（1）=（2）= = （3）方法一= 方法二 由積分中值定理可知 于是 =·（4）=（這里用到了等價無窮小代換：當(dāng)時，）3.2變限積分在研究函數(shù)性態(tài)中的應(yīng)用 例1 設(shè)是上的連續(xù)凸函數(shù)，證明： 也是內(nèi)的凸函數(shù). 證明：由于是上的連續(xù)凸函數(shù)，所以有恒有， 于是 = = = =，所以

9、F是內(nèi)的凸函數(shù).例2 設(shè)是內(nèi)的連續(xù)奇函數(shù)，且單調(diào)增加，證明：（1）F是奇函數(shù)； （2）F是內(nèi)的單調(diào)減函數(shù).證（1） =， 所以F為奇函數(shù).（2），故 （介于零與之間）=，所以F為內(nèi)的單調(diào)減函數(shù).（這里用到了積分第一中值定理.）例3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，若，證明：（1）F為上的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)； （2）方程在內(nèi)有且只有一個根.證 （1）因?yàn)椋?所以F在上嚴(yán)格單調(diào)增加. （2）因?yàn)?， 所以由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理可知，方程在 內(nèi)至少存在一個根，又由于F在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以方程在內(nèi)只能由一個根. 例4 證明：連續(xù)奇函數(shù)的一切原函數(shù)均為偶函數(shù)，連續(xù)偶函數(shù)的原函數(shù)中只有一個為奇函數(shù). 證 設(shè)

10、為連續(xù)的奇函數(shù)，則的一切原函數(shù)可以表示為 由于 =， 所以的一切原函數(shù)均為偶函數(shù). 設(shè)為連續(xù)的偶函數(shù)，的一切原函數(shù)可以表示為 由于 = 要使，必須=0，即C=0.所以的一切原函數(shù)中只有是奇函數(shù).例5 設(shè)為定義在R上的一個連續(xù)周期函數(shù)，周期為T，證明： 解 于是 由于 所以 （）， 從而有 3.3變限積分在證明定積分不等式中的應(yīng)用 例1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)增加，證明： 證 令 ， 則有 由于 = （） =， 所以F在上單調(diào)增加.于是有，從而 例2 設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，證明： 證 由于連續(xù)且，于是有. 由施瓦茲不等式可得 = 對上述不等式從積分可得3.4變限積分在證明的存在性中的應(yīng)用 例1 設(shè)

11、函數(shù)上連續(xù)，證明：存在，使得 證 設(shè) . 由題設(shè)知，在上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此存在，使得，即有 例2 設(shè)函數(shù)均在上連續(xù)，且，證明：存在使得 證 方法一 設(shè)，則有由羅爾定理可知，存在，使得，即有 方法二 設(shè) 在上利用柯西中值定理，有， 即有 于是 4.結(jié)語 本文主要介紹了變限積分的概念，舉例來理解變限積分的概念。即變限積分是通過定積分定義上限x在區(qū)間a,b上任意變動的函數(shù)，它與我們接觸的其他函數(shù)不一樣，它的特殊結(jié)構(gòu)決定了它有許多特殊的性質(zhì)。通過借助于對定積分的認(rèn)識，研究了變限積分的連續(xù)性、可微性、奇偶性、單調(diào)性和周期性，并通過舉例，更加深刻的理解這些。最后我們研究了變限積分在求函數(shù)極限

12、中、在研究函數(shù)性態(tài)中、在證明定積分不等式中和證明存在性問題中的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)1華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解 高等數(shù)學(xué)出版社，2004 2朱正佑、秦成林 編 數(shù)學(xué)分析（上冊） 上海大學(xué)出版社，2006.13周誓達(dá) 編著 微積分（經(jīng)濟(jì)類與管理類） 中國人名大學(xué)出版社 20054韓玉良 隋亞莉 李宏艷 王雅芝 編 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo) 清華大學(xué)出版社 2006.95齊民友 主編 楊麗華 孟新煥 編 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo) 武漢大學(xué)出版社 2008.5謝辭 時間總是在不知不覺中流逝，轉(zhuǎn)眼間，我的大學(xué)生活即將結(jié)束，論文的完成也將給我的大學(xué)生活的畫上一個完美的句號。本論文是在我的論文指導(dǎo)老師李琨的悉心指導(dǎo)下完成的，在本論文的寫作過程中，李琨老師對我的幫助特別大。李琨老師優(yōu)秀的科學(xué)修養(yǎng)，深厚的數(shù)理功底，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度都給我留下了深刻的印象，也成了我努力奮斗的榜樣。在我思考并列提綱的過程中，經(jīng)歷了苦惱和彷徨，而李琨老師對我的疑問一一作出了解答，而且對我的提綱做出了悉心的指導(dǎo)，嚴(yán)格的把關(guān)，循循善誘，讓我對我的論文重拾了信心。從論文的開題報告、搜集材料、列提綱，李老師給了我很多