各種插值法的對比研究

1、各種插值法的對比研究 目錄1.引言12.插值法的歷史背景13.五種插值法的基本思想23.1拉格朗日插值23.2牛頓插值33.3埃爾米特插值33.4分段線性插值43.5三次樣條插值54.五種插值法的對比研究54.1拉格朗日插值與牛頓插值的比較54.2多項(xiàng)式插值法與埃爾米特插值的比較64.3多項(xiàng)式插值法與分段線性插值的比較64.4 分段線性插值與樣條插值的比較65.插值法在實(shí)際生活中的應(yīng)用66.結(jié)束語6致謝7參考文獻(xiàn)7各種插值法的對比研究摘要：插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法,也是數(shù)值計(jì)算中的一個算法.插值法不僅是微分方程、數(shù)值積分、數(shù)值微分等計(jì)算方法的基礎(chǔ),而且在醫(yī)學(xué)、通訊、精密機(jī)械加工等領(lǐng)域都涉及到

2、了它.本文首先介紹了插值的背景以及常用的五種插值法的基本思想,然后通過拉格朗日插值與牛頓插值、多項(xiàng)式插值與埃爾米特插值、多項(xiàng)式插值與分段線性插值、分段線性插值和樣條函數(shù)插值給出相應(yīng)的算法與MATLAB程序,根據(jù)已學(xué)的知識對五種插值方法與被插函數(shù)的逼近程度進(jìn)行對比研究,找出不同方法間的聯(lián)系與區(qū)別,分析出它們的優(yōu)缺點(diǎn),最后在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究插值法的實(shí)際應(yīng)用,以提高插值法的實(shí)用性,從而能讓我們在以后的應(yīng)用中看到一個問題,就知道哪種方法更適合于它,然后大大地快速的提高效率.關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式插值;樣條函數(shù)插值;MATLAB程序;應(yīng)用1.引言在很多解題以及應(yīng)用生活中,常常需要用數(shù)量關(guān)系來反映問題,但是有時

3、沒有辦法通過數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地表達(dá)出來.已知有些變量之間存在一種函數(shù)關(guān)系,但沒法用函數(shù)的表達(dá)式表示出來.比如,在某個區(qū)間上是存在某種數(shù)量關(guān)系的,但是根據(jù)觀察和測量或者實(shí)驗(yàn)只能得到有限個函數(shù)值,我們可以利用這幾點(diǎn)來確定函數(shù)表達(dá)式.或者有一些函數(shù)表達(dá)式是已經(jīng)知道的,但是它們的計(jì)算是十分繁瑣復(fù)雜的,不容易發(fā)現(xiàn)它的本質(zhì),而且它的使用方法也比較局限.函數(shù)是表達(dá)數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系,為了能很好地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出函數(shù)的關(guān)系,一般通過給定的數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù),這樣既能反映函數(shù)的特點(diǎn),又方便計(jì)算,用 近似.通常選一個簡單的函數(shù),而且成立,這個時候的,從要表達(dá)的函數(shù)規(guī)律來看,就是我們需要的插值函數(shù)1.所用方法就是插值法,由

4、于所選用的的多樣化,得到不同的插值法.2.插值法的歷史背景插值法的歷史源遠(yuǎn)流長,在很早的時候就涉及到了它.它是數(shù)值計(jì)算中一個古老的分支,它來源于生產(chǎn)實(shí)踐.因?yàn)榕ｎD力學(xué)的物理理論知識在一千年前沒有出現(xiàn),所以我們的祖先沒有辦法用很準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解析式來表達(dá)日月五星的運(yùn)行規(guī)律.后來,古代的人們有著聰慧的頭腦,想出了插值方法,然后發(fā)現(xiàn)了日月五星的運(yùn)行規(guī)律.例如唐朝數(shù)學(xué)家張遂提出了插值法的概念以及不等距節(jié)點(diǎn)的插值,并將其應(yīng)用在天文歷法觀測中.現(xiàn)代工業(yè)革命以后歐洲著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日給出了拉格朗日插值法的概念以及應(yīng)用.微積分產(chǎn)生后,插值法的基本理論和結(jié)果進(jìn)一步得到改善.3.五種插值法的基本思想如果一個函數(shù)在區(qū)

5、間上有定義,且已知在點(diǎn)上的值,若存在一簡單函數(shù),使得成立,為插值函數(shù),點(diǎn),稱為插值節(jié)點(diǎn),插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間稱為插值區(qū)間,求插值函數(shù)的方法稱為插值法.若的多項(xiàng)式次數(shù)不超過,即有 3.1拉格朗日插值拉格朗日插值是次多項(xiàng)式插值,它是用構(gòu)造插值基函數(shù)的辦法來解決次多項(xiàng)式插值的問題.拉格朗日插值多項(xiàng)式可以表示為,為插值基函數(shù),表達(dá)式為,截?cái)嗾`差為,也是插值余項(xiàng).關(guān)于插值余項(xiàng),估計(jì)有以下定理2: 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)存在,節(jié)點(diǎn),是滿足條件(1.4)的插值多項(xiàng)式,則對任何,插值余項(xiàng) 余項(xiàng)表達(dá)式的應(yīng)用有它的局限性,一般只適合于高階導(dǎo)數(shù)存在的情況下.若設(shè),則誤差為.3.2牛頓插值牛頓插值的基本思想是對次插值多項(xiàng)式進(jìn)行逐

6、次生成,然后用插值條件求出系數(shù)3.因此,提出了均差（即差商）的概念.設(shè) 稱有函數(shù),是一系列不相等的點(diǎn),則 為函數(shù)關(guān)于點(diǎn),的一階均差; 稱為的二階均差; 為)的階均差.我們先求出1次多項(xiàng)式,2次多項(xiàng)式,然后類推出次多項(xiàng)式,構(gòu)造出次代數(shù)插值多項(xiàng)式的另外一種表達(dá)形式牛頓插值多項(xiàng)式, ,.為牛頓插值多項(xiàng)式,為余項(xiàng).3.3埃爾米特插值有的時候解決函數(shù)的問題,不僅要在某些點(diǎn)上知道函數(shù)值,而且已知在一些點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值.那么這時插值函數(shù),它在某些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值與原表達(dá)式的值相等的.那么我們從幾何這個方面來思考這個問題,求出插值多項(xiàng)式的曲線,不但通過已知點(diǎn)組,而且在這些點(diǎn)處與原曲線相切4.(一)、泰勒插值定

7、義 為一階重節(jié)點(diǎn)均差; 為二階重節(jié)點(diǎn)均差;則階重節(jié)點(diǎn)均差為.當(dāng)時,牛頓插值公式的極限為.稱為泰勒插值多項(xiàng)式.它滿足條件,（二）、兩點(diǎn)三次埃爾米特插值若在,的函數(shù)值為,我們可以構(gòu)造出一個次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式,為插值函數(shù).設(shè),為插值基函數(shù).可得結(jié)果 , ,.3.4分段線性插值分段線性插值:一般描述,如給定個節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值,記,. 構(gòu)造滿足:(1) ;(2) ;(3) 在每個小區(qū)間上是線性函數(shù).由以上條件直接可得在小區(qū)間上的表達(dá)式為, 誤差估計(jì). 當(dāng)時,在上一致收斂到.3.5三次樣條插值三次樣條插值（Spline插值）的具體要求是: 函數(shù),并在每個小區(qū)間上是一個三次多項(xiàng)式,其中是給定節(jié)點(diǎn),如果對

8、給定的節(jié)點(diǎn)函數(shù)值有,并且,成立,這時我們就把稱為三次樣條插值函數(shù).4.五種插值法的對比研究通過討論插值法的相關(guān)內(nèi)容,可以讓我們更好的了解插值法.現(xiàn)在我們先從插值多項(xiàng)式的形式上、用途上、計(jì)算方法上、精確度上等進(jìn)行對比研究,比較各自優(yōu)缺點(diǎn),然后再通過實(shí)例驗(yàn)證之.4.1拉格朗日插值與牛頓插值的比較（一）拉格朗日插值多項(xiàng)式步驟銜接緊密,條理清晰,在理論中十分重要.但是計(jì)算比較復(fù)雜,因?yàn)槊刻砑右粋€點(diǎn),所以的公式都要重新計(jì)算,這樣計(jì)算步驟較多會導(dǎo)致計(jì)算量變大,反而會導(dǎo)致出現(xiàn)誤差與原來的目的背道而馳.（二）牛頓插值多項(xiàng)式的計(jì)算量小,步驟簡潔.當(dāng)添加一個節(jié)點(diǎn)時,它仍然可以使用,即具有“承襲性”也叫“繼承”,所

9、以此類方法應(yīng)用靈活.但是我們根據(jù)正常的想象和觀察插值余項(xiàng),我們一般局部地總是認(rèn)為當(dāng)原函數(shù)給出的點(diǎn)是越來越多時,我們借助的輔助函數(shù)的次數(shù)越高,它就和原函數(shù)越來越近,誤差越來越小.然而事實(shí)并非如此,當(dāng)遇到插值節(jié)點(diǎn)等距分布的情況時,只要求函數(shù)點(diǎn)值相等不能夠充分反映插值函數(shù)的性質(zhì)5.4.2多項(xiàng)式插值法與埃爾米特插值的比較多項(xiàng)式插值要求在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等,計(jì)算簡單,條件不怎么苛刻.但是如果有的時候一方面要在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相等,另一方面要導(dǎo)數(shù)值相等,這時多項(xiàng)式插值否則不滿足此類情況.埃爾米特插值不僅算法簡單而且它具有強(qiáng)烈收斂性.但是它的光滑度不高,而且它的使用條件,也有局限性.在一些特定的限制條件下,有

10、時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值在這點(diǎn)是完全沒有必要知道的.因此,知道節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的插值函數(shù)成為能否運(yùn)用Hermite插值的一個重要因素6.4.3多項(xiàng)式插值法與分段線性插值的比較多項(xiàng)式插計(jì)算簡單,比較方便,但是節(jié)點(diǎn)增加的同時就會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象,圖形波動較大7.分段線性插值能夠克服龍格現(xiàn)象,有收斂性,但是在區(qū)間內(nèi)有轉(zhuǎn)折點(diǎn),光滑性不好.4.4 分段線性插值與樣條插值的比較樣條插值的插值函數(shù)算法穩(wěn)定,而且插值函數(shù)光滑,收斂性強(qiáng),誤差小.但是它不能局部確定,常常需要解線性方程組.5.插值法在實(shí)際生活中的應(yīng)用插值法是數(shù)值逼近中一個非常重要的部分,其次它在實(shí)際生活中起著不容小覷的作用,比如天文學(xué)以及數(shù)學(xué).6.結(jié)束語插值法在解

11、決實(shí)際問題中有很大的應(yīng)用.插值方法是各種各樣的,它包含拉格朗日插值法、牛頓插值法、Hermite插值法、分段線性插值法以及三次樣條插值法等.我們不論使用哪個插值法,它的原理都是一樣的.本課題首先介紹了插值的背景以及各類方法的基本思想;然后通過解題、畫圖、一道題用幾種不同方法來解答,讓我們哪種方法適合解答哪種類型的題,再然后進(jìn)行對比,探討出它們的優(yōu)缺點(diǎn),最后文章舉個例子來說明插值法有很大的作用,它和我們是相連的,同時利用MATLAB給出了模擬圖,通過這種數(shù)與形的結(jié)合,更好地了解各類插值法的應(yīng)用于特征.致謝本論文在蘇曉琴老師的悉心指導(dǎo)下完成的，同樣也是我第一次寫這樣的文章。蘇曉琴老師以其廣博的知識

12、、豐富的經(jīng)驗(yàn)和清晰的思路，自始至終給我以耐心的指導(dǎo)，使我能夠順利的完成論文寫作；她嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和精益求精的工作方式給我留下深刻的印象，令我受益匪淺；故借此論文完成之際，對蘇曉琴老師表示深深的感謝。參考文獻(xiàn)1李慶揚(yáng),王能超. 數(shù)值分析第5版M.北京:清華大學(xué)出版社,2008.2246.2王仁宏.數(shù)值逼近M.北京:北京高等出版社,1999.3吳才斌.插值法及其應(yīng)用J.湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào),1999,(05):7780.4彭湘暉.幾種常用插值方法比較分析J.黑龍江水利科技,2008,(01):6263.5朱正佑,李根國,程昌鈞.分?jǐn)?shù)積分的一種數(shù)值計(jì)算方法及其應(yīng)用J. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,

13、(04):331341.6姜琴,周天宏.常見的插值法及其應(yīng)用J.鄖陽師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2006,(03):7780.7趙景軍,吳勃英.關(guān)于數(shù)值分析教學(xué)的幾點(diǎn)探討J.大學(xué)數(shù)學(xué),2005,(03):2830.Comparative Study of Various Kinds of Interpolation MethodAbstract: Interpolation is a kind of ancient mathematics method, at the same time, an old branch is in numerical calculation. Not only is

14、it based of numerical integration, numerical differentiation, numerical solution and differential equations, but also applies to medical science, communication, precision machining and so on. This article first introduces the background of the interpolation and the basic idea of the five sectors of

15、the method of interpolation, then we combine the Lagrange interpolation with Newton interpolation, Polynomial interpolation and Hermite interpolation, Polynomial interpolation and Piecewise linear interpolation, Piecewise linear interpolation and Spline function interpolation, are given by the corre

16、sponding algorithm with the MATLAB program, then is given by comparing the five interpolation methods and the degree of approximation of the inserted function according to the learned knowledge, and the relation and difference between the different methods are found out. And the end on this basis to further study the practical application of the interpolation method to improve the practicality of the interpolati