數(shù)值分析試卷及其答案

1、1. 已知都有6位有效數(shù)字，求絕對誤差限。（4分）解： 由已知可知,n=6 2分 2分2. 已知 求 （6分）解： 1分 1分 1分 = 2分 1分3. 設(shè) （6分） 寫出f(x)=0解的Newton迭代格式 當(dāng)a為何值時， （k=0,1）產(chǎn)生的序列收斂于解：Newton迭代格式為： 3分 3分4. 給定線性方程組Ax=b，其中： ，用迭代公式（k=0,1）求解Ax=b，問取什么實數(shù)，可使迭代收斂 （8分）解：所給迭代公式的迭代矩陣為 2分其特征方程為 2分即，解得 2分要使其滿足題意，須使，當(dāng)且僅當(dāng) 2分5. 設(shè)方程Ax=b，其中 ，試討論解此方程的Jacobi迭代法的收斂性，并建立Gaus

2、s-Seidel迭代格式 （9分）解： 3分 2分即，由此可知Jacobi迭代收斂 1分Gauss-Seidel迭代格式： （k=0,1,2,3） 3分6. 用Doolittle分解計算下列3個線性代數(shù)方程組：（i=1,2,3）其中 ， （12分）解： A= =LU 3分 由Ly=b1，即 y= 得y= 1分 由Ux1=y，即 x1= 得x1= 2分 x2= 由Ly=b2=x1，即 y= 得y= 1分 由Ux2=y，即 x2= 得x2= 2分 x3= 由Ly=b3=x2，即 y= 得y= 1分 由Ux3=y，即 x3= 得x3= 2分7. 已知函數(shù)y=f(x)有關(guān)數(shù)據(jù)如下：要求一次數(shù)不超過3的

3、H插值多項式，使 （6分）解：作重點的差分表，如下： 3分 =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1) = 3分8. 有如下函數(shù)表：試計算此列表函數(shù)的差分表，并利用Newton前插公式給出它的插值多項式 （7分）解： 由已知條件可作差分表， 3分 （i=0,1,2,3）為等距插值節(jié)點，則Newton向前插值公式為： =4+5x+x(x-1) = 4分9. 求f(x)=x在-1,1上的二次最佳平方逼近多項式，并求出平方誤差 （8分）解： 令 2分取m=1, n=x, k=,計算得： (m,m)=0 (m,n)= =1 (m,k)= =0 (n,k)= =0.5 (k,k)= =0 (m

4、,y)= =1 (n,y)= =0 (k,y)= =0.5 得方程組： 3分 解之得 （c為任意實數(shù)，且不為零） 即二次最佳平方逼近多項式 1分 平方誤差： 2分10. 已知如下數(shù)據(jù)：用復(fù)合梯形公式，復(fù)合Simpson公式計算的近似值（保留小數(shù)點后三位） （8分）解： 用復(fù)合梯形公式： =3.139 4分 用復(fù)合Simpson公式： =3.142 4分11. 計算積分，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過，問區(qū)間要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分為多少等分? （10分）解： 由Simpson公式余項及得 2分即，取n=6 2分即區(qū)間分為12等分可使誤差不超過 1分對梯形公式同樣，由余項公式得 2分即 2分即區(qū)間分為510等分可使誤差不超過 1分12. 用改進Euler格式求解初值問題：要求取步長h為0.1，計算y（1.1）的近似值 （保留小數(shù)點后三位）提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89 （6分）解：改進Euler格式為： 2分于是有 （n=0,1,2） 2分由y(1)=1，計算得 2分即y(1.1)的近似值為0.83813. （4分）證明： 4分14. 證明：設(shè)，為任意矩陣范數(shù)，則 （6分）證明： 設(shè)為A的按模最大特征值，x為相對