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文檔簡介

1、數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)M M 單元單元推理與證明推理與證明M1合情推理與演繹推理16 ,2014福建卷 已知集合a,b,c0,1,2,且下列三個(gè)關(guān)系:a2;b2;c0 有且只有一個(gè)正確,則 100a10bc 等于_16201解析 (i)若正確,則不正確,由不正確得 c0,由正確得 a1,所以 b2,與不正確矛盾,故不正確(ii)若正確,則不正確,由不正確得 a2,與正確矛盾,故不正確(iii)若正確, 則不正確, 由不正確得 a2, 由不正確及正確得 b0, c1,故正確則 100a10bc10021001201.142014全國新課標(biāo)卷 甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過 A,B,C 三個(gè)城市時(shí),甲說:我去

2、過的城市比乙多,但沒去過 B 城市乙說:我沒去過 C 城市丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市由此可判斷乙去過的城市為_14A解析 由甲沒去過 B 城市,乙沒去過 C 城市,而三人去過同一城市,可知三人去過城市 A,又由甲最多去過兩個(gè)城市,且去過的城市比乙多,故乙只去過 A 城市142014陜西卷 已知 f(x)x1x,x0,若 f1(x)f(x),fn1(x)f(fn(x),nN,則f2014(x)的表達(dá)式為_14.x12014x解析 由題意,得 f1(x)f(x)x1x,f2(x)x1x1x1xx12x,f3(x)x13x,由此歸納推理可得 f2014(x)x12014x.M2直接證明與間接證明21

3、 、2014湖南卷 已知函數(shù) f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)記 xi為 f(x)的從小到大的第 i(iN*)個(gè)零點(diǎn), 證明: 對一切 nN*, 有1x211x221x2n23.21解: (1)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令 f(x)0,得 xk(kN*)當(dāng) x(2k,(2k1)(kN)時(shí),sin x0,此時(shí) f(x)0;當(dāng) x(2k1),(2k2)(kN)時(shí),sin x0.故 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2k,(2k1)(kN),單調(diào)遞增區(qū)間為(2k1),(2k2)(kN)(2)由(1)知,f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減又

4、 f2 0,故 x12.當(dāng) nN*時(shí),因?yàn)閒(n)f(n1)(1)nn1(1)n1(n1)10,且函數(shù) f(x)的圖像是連續(xù)不斷的, 所以 f(x)在區(qū)間(n, (n1)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn) 又f(x)在區(qū)間(n,(n1)上是單調(diào)的,故nxn1(n1).因此,當(dāng) n1 時(shí),1x214223;當(dāng) n2 時(shí),1x211x2212(41)23;當(dāng) n3 時(shí),1x211x221x2n0),設(shè) fn(x)為 fn1(x)的導(dǎo)數(shù),nN*.(1)求 2f12 2f22 的值;(2)證明:對任意的 nN*,等式|nfn14 4fn4|22都成立23解: (1)由已知,得 f1(x)f0(x)sin xxcos

5、xxsin xx2,于是 f2(x)f1(x)cos xxsin xx2sin xx2cos xx22sin xx3,所以 f12 42,f22 2163.故 2f12 2f22 1.(2)證明:由已知得,xf0(x)sin x,等式兩邊分別對 x 求導(dǎo),得 f0(x)xf0(x)cos x,即 f0(x)xf1(x)cos xsinx2 .類似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x),3f2(x)xf3(x)cos xsinx32,4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2對所有的 nN*都成立(i)當(dāng) n1 時(shí)

6、,由上可知等式成立(ii)假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)等式成立,即 kfk1(x)xfk(x)sinxk2.因?yàn)閗fk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x),sinxk2cosxk2xk2sinx(k1)2,所以(k1)fk(x)xfk1(x)sinx(k1)2,因此當(dāng) nk1 時(shí),等式也成立綜合(i)(ii)可知,等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2對所有的 nN*都成立令 x4,可得 nfn14 4fn4 sin4n2(nN*),所以|nfn14 4fn4|(nN*)M4單元綜合52014湖南長郡中學(xué)月考 記 Sk1k2k3knk,當(dāng) k1,2

7、,3,時(shí),觀察下列等式:S112n212n,S213n312n216n,S314n412n314n2,S415n512n413n3130n,S516n612n5512n4An2,由此可以推測 A_5 112解析 根據(jù)所給等式可知, 各等式右邊的各項(xiàng)系數(shù)之和為 1, 所以1612512A1,解得 A112.6 2014日照一中月考 二維空間中圓的一維測度(周長)l2r, 二維測度(面積)Sr2,觀察發(fā)現(xiàn) Sl;三維空間中球的二維測度(表面積)S4r2,三維測度(體積)V43r3,觀察發(fā)現(xiàn) VS.已知四維空間中“超球”的三維測度 V8r3,猜想其四維測度 W_.62r4解析 因?yàn)?W8r3,所以

8、W2r4.72014甘肅天水一中期末 觀察下列等式:(11)21;(21)(22)2213;(31)(32)(33)23135.照此規(guī)律,第n個(gè)等式為_7(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)解析 觀察等式規(guī)律可知第 n 個(gè)等式為(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)82014南昌調(diào)研 已知整數(shù)對的序列為(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),則第 57 個(gè)數(shù)對是_8(2,10)解析 由題意,發(fā)現(xiàn)所給序數(shù)列有如下規(guī)律:(1,1)的和為 2,共 1 個(gè);(1,2),

9、(2,1)的和為 3,共 2 個(gè);(1,3),(2,2),(3,1)的和為 4,共 3 個(gè);(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)的和為 5,共 4 個(gè);(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)的和為 6,共 5 個(gè)由此可知,當(dāng)數(shù)對中兩個(gè)數(shù)字之和為 n 時(shí),有 n1 個(gè)數(shù)對易知第 57 個(gè)數(shù)對中兩數(shù)之和為 12,且是兩數(shù)之和為 12 的數(shù)對中的第 2 個(gè)數(shù)對,故為(2,10)92014福州模擬 已知點(diǎn) A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函數(shù) yax(a1)的圖像上任意不同的兩點(diǎn),依據(jù)圖像可知,線段 AB 總是位于 A,B 兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方,因此有結(jié)論ax1ax22ax1x22成立運(yùn)用類比的思想方法可知,若點(diǎn) A(x1,sin x1),B(x2

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