高等動力學第二章2.3

1、2.3 2.3 阿佩爾方程和凱恩方程阿佩爾方程和凱恩方程2.3 阿佩爾方程 阿佩爾方程是處理非完整系統(tǒng)的經(jīng)典方法之一，其阿佩爾方程是處理非完整系統(tǒng)的經(jīng)典方法之一，其理論基礎是以準速度作為系統(tǒng)的獨立變量，代替?zhèn)鹘y(tǒng)使理論基礎是以準速度作為系統(tǒng)的獨立變量，代替?zhèn)鹘y(tǒng)使用的廣義坐標。用的廣義坐標。準速度和準坐標準速度和準坐標阿佩爾方程阿佩爾方程剛體的加速度能量剛體的加速度能量1.準速度和準坐標 設質(zhì)點系由設質(zhì)點系由N N個質(zhì)點個質(zhì)點P Pi i（i=1,2i=1,2，N N）組成，且）組成，且存在存在r r個完整約束和個完整約束和s s個線性非完整約束。選擇個線性非完整約束。選擇l=3N-rl=3N-r

2、個廣義坐標個廣義坐標q qj j（j=1,2, j=1,2, ，l l）描述系統(tǒng)的位形。）描述系統(tǒng)的位形。）（），）所示：（的非完整約束方程如式限制廣義速度1 . 3 . 2, 2 , 1(013. 1 . 101skBqBqkjljkjj式中系數(shù)式中系數(shù)B Bkjkj，B Bk0k0的定義見式的定義見式P7P7（1.1.141.1.14）。）。 在普遍情況下，可構造出在普遍情況下，可構造出f f個相互獨立的廣義速度的個相互獨立的廣義速度的線性組合作為獨立變量，記作線性組合作為獨立變量，記作u uv v（v=1,2, v=1,2, ，f f）（，2 . 3 . 2)21(10ljvjvjvfv

3、fqfu式中系數(shù)式中系數(shù)f fvjvj，f fv0v0均為均為q qj j和和t t的函數(shù)。的函數(shù)。準速度：準速度：具有速度量綱的變量具有速度量綱的變量u uv v?？稍谛问缴蠈懽??？稍谛问缴蠈懽?此方程通常不可積。此方程通常不可積。) 3 . 3 . 2()21(fvuvv，變量變量v v（v=1,2v=1,2，f f）通常只具有坐標形式而）通常只具有坐標形式而無物理意義，稱為無物理意義，稱為準坐標準坐標。 只有在準速度等于廣義速度的特殊情形時，只有在準速度等于廣義速度的特殊情形時，準坐標才等于廣義坐標。準坐標才等于廣義坐標。一般情況下，不可能用一般情況下，不可能用準坐標表示系統(tǒng)的位形。準坐

4、標表示系統(tǒng)的位形。 由于（由于（2.3.12.3.1）和（）和（2.3.22.3.2）各式均相互獨立，構）各式均相互獨立，構成成l l個線性無關的代數(shù)方程組。個線性無關的代數(shù)方程組。，得到從中解出jq ）（，4 . 3 . 2)21(10ljhuhqfvjvjvj注意注意將上式對將上式對t t再微分一次，得到再微分一次，得到）（），（無關項與5 . 3 . 221)(1ljuuhqfvvvjvj 式中參數(shù)式中參數(shù)h hjvjv應滿足應滿足）（，；，6 . 3 . 2)2121(fvljuquqhvjvjjv 2.阿佩爾方程 列出虛功率形式的動力學普遍方程列出虛功率形式的動力學普遍方程P15P1

5、5（1.2.61.2.6），），限制虛速度為無限小量，將變更符號改用變分限制虛速度為無限小量，將變更符號改用變分符號符號代替。得到代替。得到)7 . 3 . 2(0)(1iNiiiirrmF ）（，（，；，完全確定由廣義速度，各質(zhì)點的速度8 . 3 . 221)()21(2121NitqqqqqqrrqNirljiij)9 . 3 . 2()21(1Niqqrrjljjii，利用上式計算各個質(zhì)點在同一時間同一位置的速度變利用上式計算各個質(zhì)點在同一時間同一位置的速度變分，得到分，得到)10. 3 . 2(4 . 3 . 21fvvjvjvjuhquq表示為以準速度變分）可將其中的利用式（）（，（

6、無關項與11. 3 . 221)(1Niqqqrrjjljjii 將式（將式（2.3.82.3.8）對）對t t再微分一次。得到再微分一次。得到利用上式及利用上式及P20P20（1.3.16a1.3.16a）導出）導出）（，；，12. 3 . 2)2121(ljNiqrqrqrjijiji 將式（將式（2.3.92.3.9），（），（2.3.102.3.10）和（）和（2.3.122.3.12）代入動力）代入動力學普遍方程（學普遍方程（2.3.72.3.7），適當改變求和順序，得到），適當改變求和順序，得到)13. 3 . 2(0 )()(11111vfvljNijvljjiiijvNijii

7、uhqrrmhqrF 上式第一項圓括號內(nèi)的求和式即式上式第一項圓括號內(nèi)的求和式即式P18P18（1.3.41.3.4）所）所定義的廣義力定義的廣義力Q Qj j（1,21,2，l l）。）。將式（將式（2.3.62.3.6）代入上式第二項圓括號，化作）代入上式第二項圓括號，化作)14. 3 . 2()2121(11fvNiuruqqrhqrvivjljjijvljji，；， 則式（則式（2.3.132.3.13）化作）化作)15. 3 . 2(0)(111vfvljNiviiijvjuurrmhQ 引入以下物理量：引入以下物理量：）（，16. 3 . 2)21(1ljjvjvfvhQQ)17.

8、 3 . 2(211iiiNirrmG 對應的廣義力稱為與準速度，vvufvQ)21( G G稱為質(zhì)點系的稱為質(zhì)點系的加速度能量加速度能量或或吉布斯吉布斯函數(shù)，是系函數(shù)，是系統(tǒng)的另一類動力學函數(shù)。它與動能的表達式形式上相統(tǒng)的另一類動力學函數(shù)。它與動能的表達式形式上相似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了動能似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了動能中的速度。中的速度。)18. 3 . 2(0)(1vfvvvuuGQ可將利用上述物理量方程（可將利用上述物理量方程（2.3.152.3.15）寫作）寫作由于由于u uv v（v=1,2, v=1,2, ，l-sl-s）為獨立變分，方程）為獨立

9、變分，方程（2.3.182.3.18）成立的充分必要條件為各變分前的系數(shù)為）成立的充分必要條件為各變分前的系數(shù)為零，從而導出零，從而導出f f個獨立的運動微分方程個獨立的運動微分方程)19. 3 . 2()21(fvQuGvv，上式由阿佩爾于上式由阿佩爾于18991899年導出，稱為年導出，稱為阿佩爾方程阿佩爾方程。例例2.5 2.5 滑塊滑塊A A及懸掛在滑塊上的單擺及懸掛在滑塊上的單擺B B組成的系統(tǒng)，擺組成的系統(tǒng)，擺長為長為l l，滑塊和擺的質(zhì)量分別為，滑塊和擺的質(zhì)量分別為m mA A，m mB B，滑塊受彈簧，滑塊受彈簧約束且受粘性摩擦力作用，彈簧剛度系數(shù)為約束且受粘性摩擦力作用，彈簧

10、剛度系數(shù)為k,k,粘性粘性摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為c c。試用阿佩爾方程建立滑塊。試用阿佩爾方程建立滑塊- -單擺系統(tǒng)單擺系統(tǒng)的運動微分方程。的運動微分方程。能量為圖所示。系統(tǒng)的加速度的加速度如和擺，滑塊，取作準速度，令的導數(shù)，解：將廣義坐標BAuxux21)()()sincos(221)(21)sin()cos(212122222222ax llmxmmxlxlmxmGBBABA與加速度無關項 為計算廣義力，先列出全為計算廣義力，先列出全部作用力的虛功率，部作用力的虛功率，)(sin)(bglmxkxxcPB)(sin)(cglmQQkxxcQQBxx，將式（將式（a a）和（）和（c c）代入

11、阿佩爾方程（）代入阿佩爾方程（2.3.192.3.19），得到），得到與例與例1.101.10相同的運動微分方程。相同的運動微分方程。對于準速度即廣義速度的特殊情形，準速度對應的對于準速度即廣義速度的特殊情形，準速度對應的廣義力與廣義坐標對應的廣義力完全相同。由上式廣義力與廣義坐標對應的廣義力完全相同。由上式導出導出3.剛體的加速度能量iciiprrm 速度和由轉(zhuǎn)動引起的相對加質(zhì)心加速度可分解為的質(zhì)點的加速度剛體內(nèi)質(zhì)量為)20. 3 . 2(iciprr 對于剛體作平面運動的特殊情形，剛體的角速度對于剛體作平面運動的特殊情形，剛體的角速度垂直此平面，質(zhì)點的相對加速度可分解為切向和垂直此平面，質(zhì)

12、點的相對加速度可分解為切向和徑向分量。設徑向分量。設v vc c為剛體的質(zhì)心速度，則有為剛體的質(zhì)心速度，則有)22. 3 . 2(02ciiiiiiiiJmmmm，式中式中e et t，e er r為質(zhì)點相對質(zhì)心為質(zhì)點相對質(zhì)心O Oc c的切向和徑向基矢量。的切向和徑向基矢量。將式（將式（2.3.212.3.21）代入式（）代入式（2.3.202.3.20）和（）和（2.3.172.3.17），展），展開后考慮開后考慮e er r，e et t正交，設剛體質(zhì)量為正交，設剛體質(zhì)量為m m，相對質(zhì)心的，相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為J Jc c，令，令)21. 3 . 2(2ritiiccewew

13、pvr 因此作因此作平面運動平面運動剛體的剛體的加速度能量加速度能量等于等于質(zhì)心運動質(zhì)心運動與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的加速度能量與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的加速度能量之和，與計算剛體動能之和，與計算剛體動能的柯尼希定理相似。的柯尼希定理相似。對于作對于作任意運動任意運動的剛體，其加速度能量的計算公的剛體，其加速度能量的計算公式將在第四章式將在第四章4.34.3中導出。中導出。)23. 3 . 2()()(2122與加速度無關項wJvmGcc導出加速度能量的計算公式導出加速度能量的計算公式出的約束方程解出給，從例，3 . 121uxuc)(tanaxycc 例例2.6 2.6 在傾角為在傾角為的冰面上運動的冰刀，簡化為長

14、度的冰面上運動的冰刀，簡化為長度為為l l的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿ABAB，其質(zhì)心，其質(zhì)心0c0c的速度方向保持與刀刃的速度方向保持與刀刃ABAB一一致。試利用阿佩爾方程建立冰刀的運動微分方程。致。試利用阿佩爾方程建立冰刀的運動微分方程。解：將廣義坐標中的解：將廣義坐標中的x xc c，?的的導數(shù)取作準速度，令導數(shù)取作準速度，令）（，bQmgQQ0sin-0321與廣義坐標與廣義坐標x xc c，y yc c，?對應的廣義力依次為對應的廣義力依次為代入式（代入式（2.3.162.3.16），令），令h h1111=1=1，h h1212=tan=tan?，h h3232=1=1，其余，其余h hjvjv為零，為零，導出導出) c (0tansin21QmgQ，)(sectan2dxxyccc 將約束方程（將約束方程（a a）對）對t t微分一次，化作微分一次，化作利用式（利用式（2.3.232.3.23）計算冰刀的加速度能量）計算冰刀的加速度能量