排列組合專題復(fù)習(xí)及經(jīng)典例題詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上排列組合專題復(fù)習(xí)及經(jīng)典例題詳解1. 學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握排列、組合問(wèn)題的解題策略2.重點(diǎn)（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略：（2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；（4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；（5）相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；（6）不相鄰問(wèn)題插空處理的策略3.難點(diǎn)綜合運(yùn)用解題策略解決問(wèn)題4.學(xué)習(xí)過(guò)程:(1)知識(shí)梳理1分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有幾類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法在第n類型辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法2分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有

2、種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法特別提醒：分類計(jì)數(shù)原理與“分類”有關(guān)，要注意“類”與“類”之間所具有的獨(dú)立性和并列性；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，要注意“步”與“步”之間具有的相依性和連續(xù)性，應(yīng)用這兩個(gè)原理進(jìn)行正確地分類、分步，做到不重復(fù)、不遺漏3排列：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，時(shí)叫做選排列，時(shí)叫做全排列.4排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中，取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.5排列數(shù)公式：排列數(shù)具有的性質(zhì)

3、：特別提醒：規(guī)定0!=16組合：從n個(gè)不同的元素中，任取m(mn)個(gè)不同元素，組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取m個(gè)不同元素的一個(gè)組合. 7組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取m(mn)個(gè)不同元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示. 8組合數(shù)公式：組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)： ； 特別提醒：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無(wú)順序關(guān)系. (2)典型例題考點(diǎn)一:排列問(wèn)題例1.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（

4、4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：(1)方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：方法二：由于甲不站兩端，這兩個(gè)位置只能從其余5個(gè)人中選2個(gè)人站，有種站法，然后中間4人有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：方法三：若對(duì)甲沒(méi)有限制條件共有種站法，甲在兩端共有種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，和其余4人進(jìn)行全排列有種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)

5、數(shù)原理，共有方法二：先把甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種站法，再在5個(gè)空檔中選出一個(gè)供甲、乙放入，有種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有（3）因?yàn)榧?、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，有種站法，故共有站法為此外，也可用“間接法”，6個(gè)人全排列有種站法，由（2）知甲、乙相鄰有種站法，所以不相鄰的站法有.（4）方法一：先將甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種，然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有種，故共有站法.方法二：先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有種，然后把甲、乙及中間2

6、人看作一個(gè)“大”元素與余下2人作全排列有種方法，最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，有種方法，故共有站法.（5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法.方法二：首先考慮兩端兩個(gè)特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4個(gè)位置，由剩下的4人去站，有種站法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有站法.（6）方法一：甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有種，甲在左端而且乙在右端的站法有種，故甲不站左端、乙不站右端共有-2+=504（種）站法.方法二：以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有種站法，甲在中間4個(gè)位置之一，而乙又不在右端有種，故共有+=504（種

7、）站法.考點(diǎn)二:組合問(wèn)題例2. 男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；（2）至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；（3）隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；（4）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員.【解析】：（1）選法為.（2）方法一：至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為.方法二：因“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”，故可用間接法求解.從10人中任選5人有種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法.（3）方法一：可分類求解：“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的

8、選法為；“只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法為；“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法為；所以共有2+=196（種）選法.方法二：間接法：從10人中任選5人有種選法.其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有種.所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法為-=196種.（4）當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有種選法；不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有種選法，而且其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有種選法.所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有種.考點(diǎn)三:綜合問(wèn)題例個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).（1）恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？（3）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？【解析】：（1）為保證“恰

9、有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有；（2）“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也就是說(shuō)另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.（3）確定2個(gè)空盒有種方法；4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成（3，1）、（2，2）兩類：第一類有序不均勻分組有種方法；第二類有序均勻分組有種方法.故共有種.當(dāng)堂測(cè)試1.從5

10、名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有   （    ） 種        種         種        種【解析】：分為2男1女，和1男2女兩大類，共有種解題策略：合理分類與準(zhǔn)確分步的策略年北京奧運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別

11、從事司機(jī)、導(dǎo)游、翻譯、禮儀四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有 （    ） 種        種        種       種【解析】：合理分類，通過(guò)分析分為（1）小張和小趙恰有1人入選，先從兩人中選1人，然后把這個(gè)人在前兩項(xiàng)工作中安排一個(gè)，最后剩余的三人進(jìn)行全排列有種選法（2）小張和小趙都入選，首先

12、安排這兩個(gè)人做前兩項(xiàng)工作有種方法，然后在剩余的3人中選2人做后兩項(xiàng)工作，有種方法故共有種選法解題策略：.特殊元素優(yōu)先安排的策略.合理分類與準(zhǔn)確分步的策略.排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略3.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（      ）                      

13、0;         【解析】：分為兩大類：（1）含有0，分步：從另外兩個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)，有種方法，.從3個(gè)奇數(shù)中選兩個(gè)，有種方法；.給0安排一個(gè)位置，只能在個(gè)、十、百位上選，有種方法；.其他的3個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，有種排法，根據(jù)乘法原理共有種方法（2）不含0，分步：偶數(shù)必然是2和4 ；奇數(shù)有種不同的選法，然后把4個(gè)元素全排列，共種排法，不含0 的排法有種根據(jù)加法原理把兩部分加一塊得108+72=180個(gè)4.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名

14、女同學(xué)的不同選法共有（    ）種      種        種       種【解析】：4人中恰有1名女同學(xué)的情況分為兩種，即這1名女同學(xué)或來(lái)自甲組，或來(lái)自乙組，則所有不同的選法共有種選法解題策略：合理分類與準(zhǔn)確分步的策略5.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（     ）  &

15、#160;               【解析】：法一：甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法可以分為兩類：甲、乙所選的課程中2門均不相同，甲先從4門中任選2門，乙選取剩下的2門，有種甲、乙所選的課程中有且只有1門相同，分為2步：從4門中先任選一門作為相同的課程，有種選法，甲從剩余的3門中任選1門，乙從最后剩余的2門中任選1門，有種選法，由分步計(jì)數(shù)原理此時(shí)共有種最后由分類計(jì)數(shù)原理，甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有6+24=30種故選C法二：可以先讓甲、乙任意選擇

16、兩門，有種方法，然后再把兩個(gè)人全相同的情況去掉，兩個(gè)人全相同，可以將甲與乙看成為同一個(gè)人，從4門中任選兩門有種選法，所以至少有一門不相同的選法為種不同的選法解題策略：正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略6.用0 到9 這10 個(gè) 數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為   （      ）                     &#

17、160;           【解析】：第一類個(gè)位是0，共種不同的排法；第二類個(gè)位不是0，共種不同的解法故共有+=328（個(gè)）解題策略：合理分類與準(zhǔn)確分步的策略.7.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的總數(shù)為（   ）                    

18、      【解析】：合理分類，甲、乙全被選中，有種選法，甲、乙有一個(gè)被選中，有種不同的選法，共+=49種不同的選法解題策略：（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略；（2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略.8.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的總數(shù)為（    ）                             【解析】：將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分成三組，則共有種不同的分法，然后三組進(jìn)行全排列共種不同的方法；最后再把甲、乙分到同一個(gè)班的情況排除掉，共種不同的排法所以總的排法為-=30種注意:這里有一個(gè)分組的問(wèn)題，即四個(gè)元素分成三組有幾種不同的分法的問(wèn)題解題策略：.正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略.相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略