選2-3221條件概率

1、2.2.1 條條 件件 概概 率率我我們們知知道道求求事事件件的的概概率率有有加加法法公公式式： 若若事事件件 A A 與與 B B 互互斥斥，則則()()( )P ABP AP B . . 那那么么怎怎么么求求 A A 與與 B B 的的積積事事件件 A AB B 呢呢? ? 注注: : 1 1. .事事件件 A A 與與 B B 至至少少有有一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)生生的的事事件件叫叫做做 A A 與與 B B的的和和事事件件, ,記記為為AB ( (或或 AB ) ); ; 2 2. .事事件件 A A 與與B B 都都發(fā)發(fā)生生的的事事件件叫叫做做 A A 與與 B B 的的積積事事件件, ,記記為

2、為AB ( (或或AB) ); ; 3 3. .若若 AB為為不不可可能能事事件件, ,則則說說事事件件 A A 與與 B B 互互斥斥. . 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 首先看一個(gè)抓鬮的問題首先看一個(gè)抓鬮的問題: : 三個(gè)鬮三個(gè)鬮, , 其中一個(gè)鬮內(nèi)寫著“獎(jiǎng)”字其中一個(gè)鬮內(nèi)寫著“獎(jiǎng)”字, , 兩個(gè)鬮內(nèi)兩個(gè)鬮內(nèi)不寫字不寫字 , , 三人依次抓取三人依次抓取, ,問各人抓到“獎(jiǎng)”字鬮的概問各人抓到“獎(jiǎng)”字鬮的概率是否相同率是否相同? ? 引例引例 思考：思考：( (接上題接上題) )如果已經(jīng)知道第一個(gè)人沒有如果已經(jīng)知道第一個(gè)人沒有抓到抓到“獎(jiǎng)獎(jiǎng)”字，那么最后一名同學(xué)抓到字，那么最后一名同學(xué)抓到“獎(jiǎng)獎(jiǎng)”字的字的概率

3、又是多少？概率又是多少？ 思考思考 ()()()( )(|).( )( )( )( )n ABn ABP ABnP B An An AP An ABAB 定義定義 .)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般來來說說中中樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)中中樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)中中樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)中中樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)則則用用古古典典概概率率公公式式發(fā)發(fā)生生的的概概率率計(jì)計(jì)算算中中表表示示在在縮縮小小的的樣樣本本空空間間而而的的概概率率發(fā)發(fā)生生計(jì)計(jì)算算中中表表示示在在樣樣本本空空間間 概率概率 P(B|A)與與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系？的區(qū)別與聯(lián)系？ 思

4、考思考 條件概率公式的應(yīng)用條件概率公式的應(yīng)用(1）求條件概率有兩種方法）求條件概率有兩種方法:P(B|A)= P(B|A)= (基本事件發(fā)生是等可能的基本事件發(fā)生是等可能的).(2)條件概率公式揭示了條件概率條件概率公式揭示了條件概率P(B|A)與事件概率與事件概率P(A),P(AB)之間的關(guān)系之間的關(guān)系.三者之中知其二可求第三三者之中知其二可求第三者者.特別特別P(AB)=P(A)P(B|A)稱為概率的乘法公式稱為概率的乘法公式.();( )P ABP A()( )n ABn A應(yīng)應(yīng) 用用 舉舉 例例例例1：在在5道題中有道題中有3道理科題和道理科題和2道文科道文科.如果不放回地依次抽取如果

5、不放回地依次抽取2道題，求：道題，求：（1）第一次抽到理科題的概率；）第一次抽到理科題的概率；（2）第一次和第二次都抽到理科題的概率；）第一次和第二次都抽到理科題的概率；（3）在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽）在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率到理科題的概率.應(yīng)應(yīng) 用用 舉舉 例例例例2：一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從都可以從09中任選一個(gè)中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：（1）任意按最后一位數(shù)字，不超過）任意按最后一位數(shù)字，

6、不超過2次就按對(duì)的次就按對(duì)的概率；概率；（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過過2次就按對(duì)的概率次就按對(duì)的概率.練習(xí)練習(xí)1.1. 擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子, ,已知第一顆擲出已知第一顆擲出6 6點(diǎn)點(diǎn), ,問問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”10”的概率是多少的概率是多少? ? ()(|)( )n ABP A Bn B解解: : 設(shè)設(shè)A=擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10,10,B=第第一顆擲出一顆擲出6 6點(diǎn)點(diǎn) 31366236 練習(xí)練習(xí) 練習(xí)練習(xí)2. 一盒子裝有一盒子裝有4 只產(chǎn)品只產(chǎn)品,其中有其中有3 只一等品只一等品,1只

7、二只二等品等品.從中取產(chǎn)品兩次從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只每次任取一只,作不放回抽樣作不放回抽樣.設(shè)設(shè)事件事件A為為“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品” ,事件事件B 為為“第二第二次取到的是一等品次取到的是一等品”,試求條件概率試求條件概率P(B|A).解解:由條件概率的公式得由條件概率的公式得()()( )n ABP B An A 129126 .32 練習(xí)練習(xí) 練習(xí)練習(xí)3：一批產(chǎn)品中有一批產(chǎn)品中有 4% 的次品，而合格品中一等的次品，而合格品中一等品占品占 45% .從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率等品的概率 解解:設(shè)表示取到的產(chǎn)品是

8、一等品，表示取出的設(shè)表示取到的產(chǎn)品是一等品，表示取出的產(chǎn)品是合格品，產(chǎn)品是合格品， 則則 %45)|(BAP%4)(BP于是于是 %96)(1)(BPBP所以所以 ( )()P AP AB96%45%( ) (|)P B P A B43.2% 練習(xí)練習(xí) 練習(xí)練習(xí)4:拋擲一顆骰子拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，A=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率 解：解：事件事件 A 發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件 B 的概率即的概率即（BA）A B 都發(fā)生

9、，但樣本空都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含間縮小到只包含A的樣本的樣本點(diǎn)點(diǎn)()2(|)( )3n ABP B An AB5A2134,6 練習(xí)練習(xí) 條件概率公式的應(yīng)用條件概率公式的應(yīng)用(1）求條件概率有兩種方法）求條件概率有兩種方法:P(B|A)= P(B|A)= (基本事件發(fā)生是等可能的基本事件發(fā)生是等可能的).(2)條件概率公式揭示了條件概率條件概率公式揭示了條件概率P(B|A)與事件概率與事件概率P(A),P(AB)之間的關(guān)系之間的關(guān)系.三者之中知其二可求第三三者之中知其二可求第三者者.特別特別P(AB)=P(A)P(B|A)稱為概率的乘法公式稱為概率的乘法公式.();( )P ABP A

10、()( )n ABn A 小結(jié)小結(jié) 課本課本P54 練習(xí)練習(xí) 1，2 P60頁頁 A組組2，4課后作業(yè)課后作業(yè)例例1:甲甲 乙兩地都位于長江下游乙兩地都位于長江下游,根據(jù)一百多年來的氣象記錄根據(jù)一百多年來的氣象記錄知道知道,甲甲 乙兩地一年中雨天占的比例分別為乙兩地一年中雨天占的比例分別為20%和和18%,兩地同時(shí)下雨的比例為兩地同時(shí)下雨的比例為12%,問問:(1)乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是多少乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是多少?(2)甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是多少甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是多少?解解:設(shè)設(shè)A=“甲地為雨天甲地為雨天”,B=“乙地為雨天乙地為雨天”,則根據(jù)題

11、意有則根據(jù)題意有P(A)=0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12.(1)乙地為雨天甲地也為雨天的概率是乙地為雨天甲地也為雨天的概率是P(A|B)= (2)甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是P(B|A)=()0.120.67.( )0.18P ABP B()0.120.60.( )0.20P ABP A變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1:一個(gè)盒子中有一個(gè)盒子中有6支好燈管支好燈管,4支壞燈管支壞燈管,任取兩次任取兩次,每每次取一支次取一支,第一次取后不放回第一次取后不放回,求若已知第一支是好的求若已知第一支是好的,第二第二支也是好的概率支也是好的概率.112112122

12、121:A,A,P AP(A A636 51,10510)P A |A:,9,5,93()155.()3395A.P9,|AP A AP A解 設(shè)“第一支是好的”“第二支是好的”則或者這樣解答 在第一次取出好的條件下 盒子里還有 支燈管其中好的有 只因此題型二題型二 條件概率的計(jì)算條件概率的計(jì)算例例2:某種動(dòng)物由出生算起活到某種動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為歲的概率為0.8,活到活到25歲的歲的概率為概率為0.4,現(xiàn)有一個(gè)現(xiàn)有一個(gè)20歲的動(dòng)物歲的動(dòng)物,問它能活到問它能活到25歲的概率是歲的概率是多少多少?解解:設(shè)設(shè)A表示能活到表示能活到20歲歲,B表示能活到表示能活到25歲歲.則則P(A)=

13、0.8,P(B)=0.4.而所求的概率為而所求的概率為P(B|A),由于由于BA,故故AB=B,于是于是所以這個(gè)動(dòng)物能活到所以這個(gè)動(dòng)物能活到25歲的概率為歲的概率為0.5.()( )0.4(|)0.5.( )( )0.8P ABP BP B AP AP A變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2:經(jīng)測(cè)算經(jīng)測(cè)算,某車在從甲地出發(fā)后某車在從甲地出發(fā)后,行駛行駛100 km以內(nèi)發(fā)以內(nèi)發(fā)生故障的概率為生故障的概率為0.4,行駛行駛200 km以內(nèi)發(fā)生故障的概率為以內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.8,問在已知該車行駛了問在已知該車行駛了100 km未發(fā)生故障后未發(fā)生故障后,又行駛了又行駛了100 km,發(fā)生故障的概率為多少發(fā)生故障的概

14、率為多少?(發(fā)生故障后經(jīng)修理可繼發(fā)生故障后經(jīng)修理可繼續(xù)行走不受影響續(xù)行走不受影響) ()0.6 0.8)0:100 kmA,200 kmB.P A0.4,P(P.6,|)0.8( )0.(B.A,B0.8.6P BAAAP A解 設(shè)“行駛了以內(nèi)發(fā)生故障”為事件“行駛以內(nèi)發(fā)生故障”為事件則故已知 不發(fā)生的條件下發(fā)生的概率為題型三題型三 條件概率的綜合應(yīng)用條件概率的綜合應(yīng)用例例3:把外形相同的球分裝三個(gè)盒子把外形相同的球分裝三個(gè)盒子,每盒每盒10個(gè)個(gè).其中其中,第一個(gè)盒第一個(gè)盒子中子中7個(gè)球標(biāo)有字母?jìng)€(gè)球標(biāo)有字母A,3個(gè)球標(biāo)有字母?jìng)€(gè)球標(biāo)有字母B;第二個(gè)盒子中有紅第二個(gè)盒子中有紅球和白球各球和白球各5

15、個(gè)個(gè);第三個(gè)盒子中則有紅球第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè)個(gè),白球白球2個(gè)個(gè).試驗(yàn)試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行按如下規(guī)則進(jìn)行:先在第一個(gè)盒子中任取一球先在第一個(gè)盒子中任取一球,若取得標(biāo)有若取得標(biāo)有字母字母A的球的球,則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球;若第一次取得若第一次取得標(biāo)有字母標(biāo)有字母B的球的球,則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球.如果第二如果第二次取出的是紅球次取出的是紅球,則稱試驗(yàn)為成功則稱試驗(yàn)為成功.求試驗(yàn)成功的概率求試驗(yàn)成功的概率.分析分析:試驗(yàn)成功這一事件試驗(yàn)成功這一事件,包括第一次取包括第一次取A球球,第二次取紅球第二次取紅球,和和第一次取第一次取B球球,第

16、二次取紅球兩類第二次取紅球兩類,而這兩類事件是互斥的而這兩類事件是互斥的.解解:設(shè)設(shè)A=從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球的球,B=從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球的球,R=第二次取出的球是紅球第二次取出的球是紅球,W=第二次取出的球是白球第二次取出的球是白球. P ARARB,7311, ( ), (|), (|),10102241(|), (RARB,P RARBP RAP RBP R |AP A|).5517430.59.P R |B210510P BP BP R AP W AP R BP W B則容易求得事件“試驗(yàn)成功”表示為又事件與事

17、件互斥由概率的加法公式得變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3:一批晶體管元件一批晶體管元件,其中一等品占其中一等品占95%,二等品占二等品占4%,三等品占三等品占1%,它們能工作它們能工作5000小時(shí)的概率分別為小時(shí)的概率分別為90%,80%,70%,求任取一個(gè)元件能工作求任取一個(gè)元件能工作5000小時(shí)以上的概小時(shí)以上的概率率.解解:設(shè)設(shè)Bi=取到元件為取到元件為i等品等品(i=1,2,3),A=取到的元件能工作取到的元件能工作5000小時(shí)以上小時(shí)以上,則則P(A)=P(AB1AB2AB3)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=

18、95%90%+4%80%+1%70%=0.894.).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA試求試求即即的概率為的概率為設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥進(jìn)行普查進(jìn)行普查現(xiàn)在對(duì)自然人群現(xiàn)在對(duì)自然人群有有則則被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥表示事件表示事件以以為陽性為陽性試驗(yàn)反應(yīng)試驗(yàn)反應(yīng)表示事件表示事件若以若以驗(yàn)具有如下的效果驗(yàn)具有如下的效果某種診斷癌癥的試某種診斷癌癥的試根據(jù)以往的臨床記錄根據(jù)以往的臨床記錄 選做選做 1.解解()0.95,()1()0.05,P A CP A CP AC( )0.005,( )0.995,P

19、CP C( ) ()()0.087.( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C即平均即平均1000個(gè)具有陽性反應(yīng)的人中大約只有個(gè)具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥人患有癌癥.解解: 設(shè)設(shè)A表示表示“活到活到20歲歲”(即即20)，B表示表示“活到活到25歲歲” (即即25)則則 ( )0.7, ( )0.56P AP B所求概率為所求概率為 ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP AAB0.560.752.某種動(dòng)物出生之后活到某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為歲的概率為0.7，活到，活到25歲的概率為歲的概率為0.5

20、6，求現(xiàn)年為，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到歲的這種動(dòng)物活到25歲歲的概率的概率. 選做選做 3.甲，乙，丙甲，乙，丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個(gè)試題簽中有個(gè)試題簽中有4個(gè)是難題個(gè)是難題簽，按甲先，乙次，丙最后的次序抽簽。試求簽，按甲先，乙次，丙最后的次序抽簽。試求1）甲抽到）甲抽到難題簽，難題簽，2）甲和乙都抽到難題簽，）甲和乙都抽到難題簽，3）甲沒抽到難題簽而）甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽，乙抽到難題簽，4）甲，乙，丙都抽到難題簽的概率）甲，乙，丙都抽到難題簽的概率.解解 設(shè)設(shè)A，B，C分別表示分別表示“甲、乙、丙抽到難簽甲、乙、丙抽到難簽” 則則 4(1)( )10PP A43(2)()109PP AB64(3)()109PP AB432(4)()1098PP ABC 選做選做 4.全年級(jí)全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生（以事件