蘇州市2015屆高三數(shù)學(xué)必過(guò)關(guān)題9立體幾何

1、高三必過(guò)關(guān)題9 立體幾何一、填空題例1給出下列命題：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)；若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)其中正確命題的序號(hào)是_ 【答案】： 【提示】考點(diǎn)：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；不正確，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺(tái)；正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的面角都是直二面角；正確，如正方體AC中的四棱錐CABC，四個(gè)面都是直角

2、三角形；正確，由棱臺(tái)的概念可知例2給出下列命題：若平面內(nèi)的直線與平面內(nèi)的直線為異面直線，直線是與的交線，那么直線至多與、中的一條相交；若直線與為異面直線，直線與平行，則直線與異面；一定存在平面和異面直線、同時(shí)平行；若直線、異面，、異面，則、異面其中正確命題的序號(hào)是_【答案】：【提示】考點(diǎn)：空間兩直線的位置關(guān)系錯(cuò)，可以與、均相交；錯(cuò)，因?yàn)榕c可能相交；對(duì)，可以將兩異面直線與平移到空間內(nèi)任意一點(diǎn)處，確定一個(gè)平面，該平面可以與、同時(shí)平行，并且這樣的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)錯(cuò)，、的位置關(guān)系可以平行、相交、異面。例3與正方體的三條棱、所在直線的距離相等的點(diǎn)有 個(gè) 【答案】：無(wú)數(shù)個(gè)【提示】：本題考查了空間想象能力.到

3、三條兩垂直的直線距離相等的點(diǎn)在以三條直線為軸，以正方體邊長(zhǎng)為半徑的圓柱面上，三個(gè)圓柱面有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn).例4過(guò)正方體的頂點(diǎn)A作直線L，使L與棱,所成的角都相等，這樣的直線L可以作 條【答案】：4條【提示】：考查空間感和線線夾角的計(jì)算和判斷，重點(diǎn)考查學(xué)生分類、劃歸轉(zhuǎn)化的能力。第一類：通過(guò)點(diǎn)A位于三條棱之間的直線有一條體對(duì)角線AC，第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計(jì)4條。 例5如圖，是平面的斜線段，為斜足若點(diǎn)在平 面 內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是_(填“圓”“橢圓”“一條直線”“兩條平行直線”)【答案】：橢圓【提示】考點(diǎn)：截面問(wèn)題及空間想象能力考慮到三角形面積

4、為定值，底邊一定，從而P到直線AB的距離為定值，若忽略平面的限制，則P軌跡類似為以AB為軸的圓柱面，加上后者平面，軌跡為圓柱面與平面的交集，軌跡為橢圓。例6一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為_【答案】： 【提示】：如圖所示，以為直角頂點(diǎn),為另兩頂點(diǎn)，作于，作于F，過(guò)C作于G，由條件可設(shè)，在中，所以2(4)44，解得2，故2.例7棱長(zhǎng)為a的正四面體(側(cè)棱長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng)的正三棱錐)ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則此球的半徑R_【答案】：a【提示】考點(diǎn)：相關(guān)組合體的轉(zhuǎn)化和計(jì)算，借助球內(nèi)接正方體 例8一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12 c

5、m，兩底面面積分別為4 cm和25 cm，則(1)圓臺(tái)的高為 ；(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為 【答案】： ；20【提示】考點(diǎn)：有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的計(jì)算 例9如圖，已知三棱錐ABCD的底面是等邊三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，且BAC30°，M、N分別在棱AC和AD上，則 BMMNNB的最小值為 【答案】： 【提示】考點(diǎn)：多面體(旋轉(zhuǎn)體)表面上兩點(diǎn)間的最短路徑與展開圖將三棱錐ABCD的側(cè)面沿AB展開在同一平面上，如圖所示例10正三棱錐中，分別是棱上的點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則三角形的面積為 【答案】：【提示】考點(diǎn)：線面垂直關(guān)系的應(yīng)用由為邊的中點(diǎn)得，又得且交于點(diǎn)，另由，可求得為的中點(diǎn)，從而，則的

6、面積為。例11已知正四棱錐中，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，則高為 【答案】：2【提示】考點(diǎn)：函數(shù)思想解決最值問(wèn)題考察錐體的體積，考察函數(shù)的最值問(wèn)題.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高所以，設(shè)，則，當(dāng)y取最值時(shí)，解得或時(shí)，體積最大，此時(shí)。例12已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的體積最大（柱體體積=底面積高）時(shí)，其高的值為 【答案】：【提示】考點(diǎn)：截面圖的應(yīng)用及函數(shù)思想解決最值問(wèn)題以正六棱柱的最大對(duì)角面作截面，如圖。設(shè)球心為，正六棱柱的上下底面中心分別為,則是的中點(diǎn)。設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則。正六棱柱的體積為，即，則，得極值點(diǎn)，不難知道這個(gè)極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。故當(dāng)正

7、六棱柱的體積最大，其高為。例13 圓錐的全面積為，側(cè)面展開圖的中心角為，則該圓錐的體積為 【答案】：【提示】考點(diǎn)：展開圖及相關(guān)公式運(yùn)用的考查 例14將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BDa， 則三棱錐D-ABC的體積為_【答案】：【提示】考點(diǎn)：圖形的翻折和錐體體積的計(jì)算 例15如圖，在多面體中，已知是邊長(zhǎng)為1的正方形，且均為正三角形，=2，則該多面體的體積為 【答案】：【提示】考點(diǎn)：空間幾何體體積的計(jì)算過(guò)兩點(diǎn)分別作垂直于，垂足分別為、，連結(jié)、，可證得、，多面體分為三部分，多面體的體積為，作NH垂直于點(diǎn)H，則H為BC的中點(diǎn)，則， ， ，例16如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊ABC

8、D為正方形，E、F分為PA、PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：直線BE與直線CF是異面直線；直線BE與直線AF是異面直線；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】：【提示】考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系結(jié)合圖形的翻折進(jìn)行考查 由EFADBC，知BE、CF共面，錯(cuò)；正確；正確；錯(cuò) 例17已知是三個(gè)不同的平面，命題“”是真命題如果把中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有 個(gè) 【答案】: 2【提示】考點(diǎn)：空間線面關(guān)系的考查 例18設(shè)m，n是平面內(nèi)的兩條不同直線；，是平面內(nèi)的兩條相交直線，有下列四個(gè)命題：m且 ； m且n；m且n ；

9、m且n. 其中是成立的充分而不必要條件的命題的序號(hào)是_【答案】： 【提示】考點(diǎn)：面面平行的位置關(guān)系結(jié)合充要條件的考查 例19設(shè)m、n是異面直線，則(1)一定存在平面，使m且n； (2)一定存在平面，使m且n；(3)一定存在平面，使m、n到的距離相等；(4)一定存在無(wú)數(shù)對(duì)平面與，使m，n，且. 上述4個(gè)命題中正確命題的序號(hào)為_【答案】：【提示】考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面位置關(guān)系相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查 例20.如圖，在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且>>,分別經(jīng)過(guò)三條棱作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為則的大小關(guān)系為 【答案】：【提示】考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征和轉(zhuǎn)換思想通過(guò)補(bǔ)形，借助長(zhǎng)方體驗(yàn)證結(jié)論，特

10、殊化，令棱長(zhǎng)為1，2，3，得結(jié)論二、解答題例21如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)(1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的長(zhǎng)；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線【提示】考點(diǎn)：空間線面關(guān)系及反證法(1)取的中點(diǎn)，連結(jié)， 因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，所以MGCD，MG2，NG.因?yàn)槠矫鍭BCD平面DCEF，所以MG平面DCEF.可得MGNG.所以(2)證明：假設(shè)直線ME與BN共面，則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN. 由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF,又ABCD，所以AB平面DC

11、EF而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以ABEN. 又ABCDEF，所以ENEF，這與ENEFE矛盾，故假設(shè)不成立所以ME與BN不共面，它們是異面直線例22如圖，為空間四點(diǎn)在中，等邊三角形以為軸運(yùn)動(dòng)（）當(dāng)平面平面時(shí)，求；（）當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有？證明你的結(jié)論【提示】考點(diǎn)：面面垂直的性質(zhì)及空間想象能力（）取的中點(diǎn)，連結(jié),，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以?dāng)平面平面時(shí)，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，可知由已知可得，在中，（）?dāng)以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有證明如下（）當(dāng)在平面內(nèi)時(shí)，因?yàn)?，所以都在線段的垂直平分線上，即（）當(dāng)不在平面內(nèi)時(shí)，由（）知又因，所以又為相交直線，所以平面，由平面，得綜上所述，總有 例23如圖，四

12、邊形ABCD為矩形，BC平面ABE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE(1)求證：AEBE；(2)設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段CE的中點(diǎn)，求證：MN /平面DAE【提示】：考點(diǎn)：線面垂直、線面平行的性質(zhì)和判定的應(yīng)用(1)因?yàn)锽C平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC，又BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF，又BFBC=B，所以AE平面BCE，又BE平面BCE，所以AEBE(2)如圖所示，取DE的中點(diǎn)P，連結(jié)PA，PN，因?yàn)辄c(diǎn)N為線段CE的中點(diǎn)所以PN/DC，且，又四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以AM/DC，且，所以PN/AM，且PN=AM，故四邊形AMNP是平行四

13、邊形，所以MN/AP，又AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN/平面DAE例24如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求證：AF/平面BDE；（）求證：CF平面BDE【提示】：考點(diǎn)：面面垂直的性質(zhì)和判定、線面平行的判定（）設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G。因?yàn)镋FAG, 且EF=1，AG=AC=1 所以四邊形AGEF為平行四邊形， 所以AFEG，因?yàn)镋G平面BDE, AF平面BDE, 所以AF平面BDE（）連接FG，因?yàn)镋FCG,EF=CG=1, 且CE=1, 所以四邊形CEFG為菱形。所以CFEG. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BDAC.又因

14、為平面ACEF平面ABCD, 且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF. 所以CFBD.又BDEG=G, 所以CF平面BDE.例25如圖甲，直角梯形ABCD中， 的中點(diǎn)，在上，且已知,現(xiàn)沿把四邊形折起如圖乙，使平面平面 (1) 求證：平面;(2) 求證：平面;(3) 求三棱錐的體積 【提示】：考點(diǎn)：借助平面的翻折考察線面平行與垂直（1）由題意知,面,同理，面又,面, 面,面面面 面 (2)在圖甲中，,所以在圖乙中 .平面平面,平面平面平面ABEF,又平面（3）平面平面,，平面,AF為三棱錐A-CDE的高且,又AB=CE=2, ,例26如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，B

15、CD45°，BAD90°，將ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)的位置為P，且使平面PBD平面BCD，如圖.(1)求證：平面PBC平面PDC；(2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AEBD于E，過(guò)E作EFBC于F，求折起后的圖形中PFE的正切值【提示】考點(diǎn)：借助平面的翻折考察面面垂直的性質(zhì)和判定(1) 證明：折疊前，在四邊形ABCD中，ADBCADAB，BAD90°，所以ABD為等腰直角三角形又BCD45°，所以BDC90°.折疊后，因?yàn)槊鍼BD面BCD，CDBD，所以CD面PBD.又因?yàn)镻B 面PBD，所以CDPB.又因?yàn)镻BPD，PDCDD，所

16、以PB面PDC.又PB面PBC，故平面PBC平面PDC.(2) AEBD，EFBC，折疊后的位置關(guān)系不變，所以PEBD.又面PBD面BCD，所以PE面BCD，所以PEEF.設(shè)ABADa，則BDa，所以PEaBE.RtBEF中，EFBE·sin45°a×a； RtPFE中，tanPFE例27（理）如圖所示，在正方體ABCDABCD中，E是棱DD的中點(diǎn)(1)求直線BE和平面ABBA所成的角的正弦值；(2)在棱CD上是否存在一點(diǎn)F，使BF平面ABE？證明你的結(jié)論【提示】考點(diǎn)：利用空間向量求空間角及存在性問(wèn)題設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1.如圖所示，以為單位正

17、交基底建立空間直角坐標(biāo)系(1)依題意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方體ABCDA1B1C1D1中，因?yàn)锳D平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE和平面ABB1A1所成的角為，則sin.即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為.(2)依題意，得(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1，)設(shè)(x，y，z)是平面A1BE的一個(gè)法向量，則由·0，·0，得所以xz，yz. 取z2， 得(2,1,2)設(shè)F是棱C1D1上的點(diǎn)，則F(t,1,1)(0t1)，又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BE·0(t1,1,0)·(2,1,2)02(t1)10tF為C1D1的中點(diǎn)這說(shuō)明在棱C1D1上存在點(diǎn)F (C1D1的中點(diǎn))，使B1F平面A1BE例28（理）