應用多元統(tǒng)計分析習題解答主成分分析

1、主成分分析6.1 試述主成分分析的基本思想。答：我們處理的問題多是多指標變量問題，由于多個變量之間往往存在著一定程度的相關性，人們希望能通過線性組合的方式從這些指標中盡可能快的提取信息。當?shù)谝粋€組合不能提取止。這就是主成分分析的基本思想。6.2 主成分分析的作用體現(xiàn)在何處？答：一般說來，在主成分分析適用的場合，用較少的主成分就可以得到較多的信息量。以各個主成分為分量，就得到一個更低維的隨機向量；主成分分析的作用就是在降低數(shù)據(jù)“維數(shù)”6.3 簡述主成分分析中累積貢獻率的具體含義。答：主成分分析把個原始變量的總方差分解成了個相互獨立的變量個主成分的，忽略一些帶有較小方差的主成分將不會給總方差帶來太

2、大的影響。這里我們個主成分，則稱 為主成分的累計貢獻率，累計貢獻率表明綜合的能力。通常取，使得累計貢獻率達到一個較高的百分數(shù)（如85以上）。答：這個說法是正確的。即原變量方差之和等于新的變量的方差之和6.5 試述根據(jù)協(xié)差陣進行主成分分析和根據(jù)相關陣進行主成分分析的區(qū)別。答：從相關陣求得的主成分與協(xié)差陣求得的主成分一般情況是不相同的。從協(xié)方差矩陣出發(fā)的，其結果受變量單位的影響。主成分傾向于多歸納方差大的變量的信息，對于方差小的變量就可能體現(xiàn)得不夠，也存在“大數(shù)吃小數(shù)”的問題。實際表明，這種差異有時很大。我6.6 已知X=()的協(xié)差陣為 試進行主成分分析。解：=0計算得當時， 同理，計算得 時，易

3、知相互正交單位化向量得， ,綜上所述，第一主成分為 第二主成分為 第三主成分為 6.7 設X=()的協(xié)方差陣(p為 , 0<p<1證明：為最大特征根，其對應的主成分為 。證明：= , 為最大特征根當時，= 所以，6.8利用主成分分析法，綜合評價六個工業(yè)行業(yè)的經濟效益指標。單位：（億元）行業(yè)名稱資產總計固定資產凈值平均余額產品銷售收入利潤總額煤炭開采和選業(yè)6917.23032.7683.361.6石油和天然氣開采業(yè)5675.93926.2717.533877黑色金屬礦采選業(yè)768.1221.296.513.8有色金屬礦采選業(yè)622.4248116.421.6非金屬礦采選業(yè)699.92

4、91.584.96.2其它采礦業(yè)1.60.50.30解:令資產總計為X1，固定資產凈值平均余額為X2，產品銷售收入為X3，利潤總額為X4，用SPSS對這六個行業(yè)進行主成分分析的方法如下：1. 在SPSS窗口中選擇AnalyzeData ReductionFactor菜單項，調出因子分析主界面，并將變量移入Variables框中，其他均保持系統(tǒng)默認選項，單擊OK按鈕，執(zhí)行因子分析過程（關于因子分子在SPSS中實現(xiàn)的詳細過程，參見7.7）。得到如表6.1所示的特征根和方差貢獻率表和表6.2所示的因子載荷陣。第一個因子就可以解釋86.5%表6.1 特征根和方差貢獻率表表6.2 因子載荷陣2. 將表6

5、.2中因子載荷陣中的數(shù)據(jù)輸入SPSS數(shù)據(jù)編輯窗口，命名為a1。點擊菜單項中的TransformCompute，調出Compute variable對話框，在對話框中輸入等式：z1=a1 / SQRT(3.46)，計算第一個特征向量。點擊OK按鈕，即可在數(shù)據(jù)編輯窗口中得到以z1為變量名的第一特征向量。 表6.3 特征向量矩陣z1x10.509 x20.537 x30.530 x40.413 根據(jù)表6.3得主成分的表達式：3. 再次使用Compute命令，調出Compute variable對話框，在對話框中輸入等式： 根據(jù)六個工業(yè)行業(yè)計算所的y1的大小可得石油和天然氣開采業(yè)的經濟效益最好，煤炭開

6、采和選業(yè)其次，接著依次是黑色金屬、非金屬、有色金屬和其他采礦業(yè)。6.9 下表是我國2003年各地區(qū)農村居民家庭平均每人主要食品消費量，試用主成分方法對各主要食品和地區(qū)進行分類。地區(qū)糧食蔬菜食油豬牛羊肉家禽蛋類及其制品水產品食糠酒北京134.0592.789.1514.62.1710.134.252.9214.42天津150.269.991011.070.8410.88.350.7210.14河北216.7255.976.597.10.546.362.250.657.29山西218.9180.875.725.360.246.150.471.152.59內蒙207.370.772.7921.181

7、.413.821.451.3410.77遼寧194.39178.595.916.452.519.594.490.7310.8吉林255.99115.26.2711.423.238.643.60.7513.64黑龍江195.08111.77.627.852.616.263.350.915.09上海189.4476.68.5916.377.47.5116.112.1216.77江蘇251.98109.128.2712.054.56.729.091.38.82浙江208.4683.915.8116.426.035.3314.642.1324.15安徽228.3580.976.879.074.275.

8、045.431.4210.61福建198.2799.925.1916.515.143.5513.32.3516.84江西264.8144.228.7713.243.313.55.191.137.31山東229.06118.196.968.092.711.614.01110.81河南236.97100.114.226.481.238.011.351.134.23湖南227.39159.769.419.862.743.868.10.927.29湖北247.21149.448.3517.513.893.286.891.134.02廣東233.75130.226.7322.2710.42.8313.3

9、2.163.33廣西205.65108.944.9214.447.331.123.571.186.14海南236.3186.615.715.49.771.3114.751.243.88解:令糧食為X1，蔬菜為x2，食油為x3，豬牛羊肉為x4，家禽為x5，蛋類及其制品為x6，水產品為x7，食糠為x8，酒為x9，用SPSS進行主成分分析的具體方法參見6.8，分析結果如下：表6.4 特征根和方差貢獻率表表6.5 因子載荷陣表6.6 特征向量矩陣z1z2z3x10.001169-0.55035-0.00518x20.054359-0.320140.616746x30.0052610.1852390.6

10、97829x40.455914-0.075840.167341x50.509689-0.14229-0.05521x6-0.329080.4080630.269126x70.5009210.1187950.112136x80.3881120.332893-0.13025x90.1408660.4933-0.01984根據(jù)表6.6得主成分的表達式：分別計算出以上三項后，利用公式得到綜合得分并排序如下表：地區(qū)y1y2y3y北京14.92 -90.42 67.81 -10.16 天津11.80 -93.48 54.76 -15.31 上海24.39 -115.46 57.85 -16.51 福建24

11、.55 -129.93 68.56 -19.17 浙江25.14 -126.00 59.51 -19.43 遼寧19.55 -154.56 118.72 -19.47 黑龍江13.27 -131.90 76.07 -23.38 湖南23.53 -169.91 108.84 -24.97 廣東29.80 -167.06 88.93 -25.29 廣西19.18 -144.89 72.06 -25.99 內蒙15.93 -130.47 48.84 -27.33 海南24.93 -154.57 60.04 -29.19 山東11.81 -152.64 81.06 -30.09 湖北21.71 -17

12、9.61 100.93 -30.74 安徽14.06 -143.12 56.46 -30.92 江蘇18.07 -164.93 76.08 -32.51 河北7.10 -129.83 40.94 -32.73 山西6.20 -141.44 55.18 -34.15 吉林14.54 -166.90 78.26 -34.32 江西18.74 -185.62 97.04 -34.94 河南8.32 -156.36 66.62 -35.93 最后的分類可以根據(jù)最終得分Y的值來劃分，由于沒有給出具體的分類標準，具體分類結果根據(jù)各人的主觀意愿可以有多種答案。6.10 根據(jù)習題5.10中2003年我國省會城

13、市和計劃單列市的主要經濟指標數(shù)據(jù)，利用主成分分析法對這些地區(qū)進行分類。解：用SPSS進行主成分分析的具體方法參見6.8，分析結果如下：表6.7 特征根和方差貢獻率表表6.8 因子載荷陣表6.6 特征向量矩陣z1z2x10.29 0.47 x20.28 0.48 x30.14 -0.29 x40.31 -0.37 x50.40 -0.20 x60.40 -0.27 x70.31 0.39 x80.39 0.12 x90.39 -0.24 青島35237.27 14552.46 28597.44 大連31830.56 17629.53 27272.03 濟南25149.73 16499.39 22372.97 福州22734.16 16326.97 20677.45 烏魯木齊22284.54 15284.68 20037.59 沈陽23184.99 12310.22 19694.19 武漢23909.27 9770.56 19370.75 長春21524.95 14179.21 19166.96 成都33808.79 -17638.73 17294.14 太原19445.42 9809.99 16352.45 鄭州18561.81 9