雙曲面數(shù)學(xué)方程式

1、§5 雙曲面為了較為直觀地理解雙曲面的幾何特征，先看一個(gè)例子. 將yz平面上的雙曲線分別繞虛軸（z軸）和實(shí)軸（y軸）旋轉(zhuǎn)，得到兩個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面 和 分別稱為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面和旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面. 它們的圖形如下所示. 圖1圖21單葉雙曲面定義 在直角坐標(biāo)系下，由方程 (a，b，c >0)(4.51)所表示的圖形稱為單葉雙曲面；而方程(4.51)稱為單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程. 性質(zhì)與形狀（i）對(duì)稱性 單葉雙曲面(4.51)關(guān)于三坐標(biāo)軸，三坐標(biāo)平面及原點(diǎn)對(duì)稱. 原點(diǎn)是(4.51)的對(duì)稱中心. （ii）有界性 由方程(4.51)可知，單葉雙曲面(4.51)是無界曲面（iii）頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和

2、與坐標(biāo)面的交線單葉雙曲面(4.51)與x，y軸分別交于（±a，0，0），（0，±b，0）而與z軸無實(shí)交點(diǎn). 上述四點(diǎn)稱為單葉雙曲面的實(shí)頂點(diǎn)，而與z軸的交點(diǎn)（0，0，±ci）稱為它的兩個(gè)虛交點(diǎn). (4.51)與三坐標(biāo)平面z = 0，y = 0和x = 0交于三條曲線(1)(2)(3)其中（1）叫單葉雙曲面(4.51)的腰橢圓，（2）和（3）均為單葉雙曲面上的雙曲線. （iv）與平行于坐標(biāo)面的平面的交線為考察(4.51)的形狀，我們先用平行于xy平面的平面z = k去截它，其截線為(4)這是一族橢圓，其頂點(diǎn)為，其半軸為b和a ，當(dāng)k逐漸增大時(shí)，橢圓（4）逐漸變大. 可

3、見，單葉雙曲面(4.51)是由一系列“平行”橢圓構(gòu)成的，這些橢圓的頂點(diǎn)分別在二相互“垂直”的雙曲線上變化. 再用一族平行于yz平面的平面x = k去截(4.51)，其截線為(5)當(dāng)k< a時(shí)，（6）為一雙曲線，其實(shí)軸平行于y軸，虛軸平行于z軸，其頂點(diǎn)為，當(dāng)k= a時(shí)，（6）為二相交線，其交點(diǎn)為（k，0，0）當(dāng)k>a時(shí)，（6）仍為雙曲線，但其實(shí)軸平行于z軸，虛軸平行于y軸，其頂點(diǎn). 最后，若用一組平行于zx平面的平面去截(4.51)，其截線情況與上述相仿. 截線圖形如上圖所示. 綜上，單葉雙曲面(4.51)的圖形如圖（1）所示. 圖（1）中也畫出了腰橢圓和兩條主雙曲線. 一般的單葉雙

4、曲面可以理解為將本節(jié)開始時(shí)得到的旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面在x軸方向作一個(gè)伸縮變換而得到. 在直角系下，方程或所表示的圖形也是單葉雙曲面，繪圖時(shí)注意須確定其“虛軸”. 二 雙葉雙曲面：1 定義：在直角坐標(biāo)系下，由方程（a，b，c > 0）(4.52)所表示的圖形稱為雙葉雙曲面；而(4.52)稱為雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程. 幾何性質(zhì)與形狀：（i）對(duì)稱性 雙葉雙曲面(4.52)關(guān)于三坐標(biāo)軸，三坐標(biāo)面及原點(diǎn)對(duì)稱，原點(diǎn)為其中心. （ii）有界性 由(4.52)可見，雙葉雙曲面為無界曲面. （iii）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及與坐標(biāo)面的交線 雙葉雙曲面(4.52)與x軸、y軸不交，而與z軸交于（0，0，±c），此

5、為其實(shí)頂點(diǎn). 雙葉雙曲面(4.52)與三坐標(biāo)面交于三條曲線(5)(6)(7)（5）是一個(gè)虛橢圓，表明雙葉雙曲面(4.52)與xy平面不相交（無實(shí)交點(diǎn)）. （6）、（7）均為雙曲線，其實(shí)軸為z軸，虛軸分別為y軸和x軸，其頂點(diǎn)為（0，0，±c）. （iv）與平行于坐標(biāo)面平面的交線：為考察雙葉雙曲面(4.52)的形狀，先用平行于xy面的平面去截(4.52)，其截線為(8)當(dāng)k< c時(shí)，(4.52)與z = k無實(shí)交點(diǎn). 當(dāng)k= c時(shí)，(4.52)與z = k交于（0，0，±c）當(dāng)k> c時(shí)，（8）為橢圓，其頂點(diǎn)為(0，±b，k)，(±a，0，k)，

6、其半軸為b，a. 可見，雙葉雙曲面(4.52)是由z =±c外的一系列“平行”橢圓構(gòu)成. 這些橢圓的頂點(diǎn)在雙曲線（6）和（7）上變化. 若用平行于yz面的平面去截(4.52). 其截線為(9)對(duì)任意實(shí)數(shù)k，(9)均為雙曲線，其實(shí)軸平行于z軸，虛軸平行于y軸，頂點(diǎn)為(k，0，±c).雙葉雙曲面(4.52)的示意圖如前面的圖（2），但準(zhǔn)確地說，圖（2）是雙葉雙曲面的示意圖. 最后，若用平行于zx面的平面去截(4.52)，其截線情況與上述相仿. 在直角系下，方程和所表示的圖形也是雙葉雙曲面. 最后談?wù)剢稳~雙曲面和雙葉雙曲面的方程的識(shí)別，這一點(diǎn)上有些學(xué)生容易出錯(cuò). 兩種雙曲面的方程

7、的左邊都是x，y，z的平方項(xiàng)，有正有負(fù)，右邊是1或1. 把方程的右邊都化成1，則左邊有兩項(xiàng)正，一項(xiàng)負(fù)的，就表示單葉雙曲面. 而左邊有兩項(xiàng)負(fù)，一項(xiàng)正的，就表示雙葉雙曲面. 把方程的左邊都化成兩項(xiàng)正，一項(xiàng)負(fù)，則右邊是1的就表示單葉雙曲面，而右邊是1的，就表示雙葉雙曲面. 繪圖時(shí)要注意區(qū)分“實(shí)軸”和“虛軸”，并且保證對(duì)坐標(biāo)軸的標(biāo)注要符合右手系的原則. 懸鏈曲面（又名懸垂曲面）是一個(gè)曲面，是將懸鏈線繞其準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)而得，故為一旋轉(zhuǎn)曲面。除了平面以外，懸鏈曲面也是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的最小曲面，在1744年被萊昂哈德·歐拉發(fā)現(xiàn)且證明。1Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。2只有兩個(gè)