計(jì)算傳熱學(xué)數(shù)值模擬

1、1、Jacobi迭代在Jacobi迭代法中任一點(diǎn)上未知值的更新是用上一輪迭代中所獲得的各鄰點(diǎn)之值來(lái)計(jì)算的，即 k=1,2,.,L1×M1這里帶括號(hào)的上角標(biāo)表示迭代輪數(shù)。所謂一輪是指把求解區(qū)域中每一節(jié)點(diǎn)之值都更新一次的運(yùn)算環(huán)節(jié)。顯然，采用Jacobi迭代式，迭代前進(jìn)的方向（又稱掃描方向）并不影響迭代收斂速度。這種迭代法收斂速度很慢，一般較少采用。但對(duì)強(qiáng)烈的非線性問(wèn)題，如果兩個(gè)層次的迭代之間未知量的變化過(guò)大，容易引起非線性問(wèn)題迭代的發(fā)散。在規(guī)定每一層次計(jì)算的迭代輪次數(shù)的情況下，有利于Jacobi迭代有利于非線性問(wèn)題迭代的收斂。 2、Gauss-Seidel迭代在這種迭代法中，每一種計(jì)算總

2、是取鄰點(diǎn)的最新值來(lái)進(jìn)行。如果每一輪迭代按T的下角標(biāo)由小到大的方式進(jìn)行，則可表示為：此時(shí)迭代計(jì)算進(jìn)行的方向（即掃描方向）會(huì)影響到收斂速度，這是與邊界條件的影響傳入到區(qū)域內(nèi)部的快慢有關(guān)的。3、例題：一矩形薄板幾何尺寸如圖所示，薄板左側(cè)的邊界溫度TL=100K，右側(cè)溫度TR=300K，上側(cè)溫度TT=200K，下側(cè)溫度TB=200K，其余各面絕熱，求板上個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度。要求節(jié)點(diǎn)數(shù)目可以變化，寫(xiě)出程序。解析：列出描述問(wèn)題的微分方程和定解條件。；對(duì)于離散化的問(wèn)題，其微分方程根據(jù)熱平衡原理得到：定解條件(邊界條件): TL=100K，TR=300K，TT=200K，TB=200K。網(wǎng)格劃分示意圖：如下圖所示，

3、將薄板劃分成(m=n)個(gè)網(wǎng)格，求個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度分布。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的離散化代數(shù)方程：即邊界節(jié)點(diǎn)的的離散化代數(shù)方程即各節(jié)點(diǎn)的溫度等于對(duì)應(yīng)邊界的溫度，不做贅述。源程序： 采用高斯-賽德?tīng)柕某绦?，如下：m=input('h');n=input('l');t=zeros(m,n);t0=zeros(m,n);dteps=0.01;for i=1:m t(i,1)=200; t(i,n)=200;endfor j=1:n t(1,j)=100; t(m,j)=300;endfor k=1:1000for i=2:m-1 for j=2:n-1 t(i,j)=(t(i-1,j)

4、+t(i+1,j)+t(i,j-1)+t(i,j+1)/4; endenddtmax=0;for i=2:m-1 for j=2:n-1 dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j),dtmax); endenddtmaxkt0=t;contour(t',40);pause;if dtmax<dteps break; end end 采用雅克比迭代的程序，如下：m=input('h');n=input('l');t=zeros(m,n);t0=zeros(m,n);dteps=0.01;for i=1:m t(i,1)=200; t(i

5、,n)=200;endfor j=1:n t(1,j)=100; t(m,j)=300;endt0=t;for k=1:1000for i=2:m-1 for j=2:n-1 t(i,j)=(t0(i-1,j)+t0(i+1,j)+t0(i,j-1)+t0(i,j+1)/4; endenddtmax=0;for i=2:m-1 for j=2:n-1 dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j),dtmax); endenddtmaxkt0=t;contour(t',40);pause;if dtmax<dteps break; end end兩種方法的收斂速度對(duì)比下

6、面是在相同的條件（m=n=20）下利用高斯-賽德?tīng)柕脱趴吮鹊牡玫降淖罱K結(jié)果：高斯-賽德?tīng)柕ㄖ唤o出最后部分）dtmax = 0.0099k = 250>>雅克比迭代dtmax = 0.0100k = 444>>由此可以看出，高斯-賽德?tīng)柕氖諗克俣纫妊趴吮鹊氖諗克俣瓤?，因此高?賽德?tīng)柕觾?yōu)越。不同節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)收斂速度的影響我們利用高斯-賽德?tīng)柕?，在m=n=20和m=n=30兩種不同的條件下計(jì)算節(jié)點(diǎn)的溫度，結(jié)果如下：（只給出m=n=30的結(jié)果）dtmax = 0.0099k = 509>>由結(jié)果可見(jiàn)迭代后一種情況迭代次數(shù)是前一種情況的兩

7、倍。收斂速度明顯比前者慢。畫(huà)出等溫線圖如下：（m=n=20的情況下利用高斯-賽德?tīng)柕慕Y(jié)果） m=n=30的情況下利用雅克比迭代的結(jié)果 計(jì)算小結(jié)數(shù)值計(jì)算是傳熱學(xué)比較重要的研究方法之一。利用數(shù)值計(jì)算可以將復(fù)雜的解微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解代數(shù)方程的問(wèn)題，而解代數(shù)方程的問(wèn)題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，完全可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，我們利用網(wǎng)格劃分的方法將所研究的物理現(xiàn)象發(fā)生的區(qū)域離散化，將求所有點(diǎn)參數(shù)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求有限節(jié)點(diǎn)的問(wèn)題，這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。對(duì)于上述上述問(wèn)題我們可以用行立式解代數(shù)方程，對(duì)于節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少的情況，這種方法比較方便，但節(jié)點(diǎn)數(shù)目較多時(shí)，行立式很難列出來(lái)，因此此法就行不通了，迭代法就相對(duì)方便的多了。迭代法包括高斯-賽德?tīng)柕脱趴吮鹊?。前者在?jì)算時(shí)，、的值全部為新值，即剛剛被迭代得到的值，而后者則利用的是、上一次迭代得到的值。比較而言，同等條件下高斯-賽德?tīng)柕氖諗克俣雀欤虼?，也根?jù)有優(yōu)越性，因此我們往往都用這種迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析。當(dāng)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目變化時(shí)，收斂的速度也隨之而變，節(jié)點(diǎn)數(shù)目