全國數(shù)學微積分泰勒公式

1、泰勒公式及其應用摘 要 文章簡要介紹了泰勒公式及其幾個常見函數(shù)的展開式,針對泰勒公式的應用討論了九個問題，即應用泰勒公式求極限，證明不等式，判斷級數(shù)的斂散性，證明根的唯一存在性,判斷函數(shù)的極值,求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,進行近似計算,求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值,求行列式的值.關鍵詞 泰勒公式；極限；不等式；斂散性；根的唯一存在性；極值;展開式;近似計算;行列式. 引言泰勒公式是高等數(shù)學中一個非常重要的內(nèi)容,它將一些復雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學問題的有力杠桿.作者通過閱讀大量的參考文獻,從中搜集了大量的習題,通過認真演算,其中少數(shù)難度較大的題

2、目之證明來自相應的參考文獻,并對這些應用方法做了系統(tǒng)的歸納和總結.由于本文的主要內(nèi)容是介紹應用,所以,本文會以大量的例題進行講解說明. 預備知識定義2.1 若函數(shù)在存在階導數(shù),則有 （1）這里為佩亞諾型余項,稱(1)f在點的泰勒公式.當=0時,（1）式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項的)麥克勞林公式.定義2.2 若函數(shù) 在某鄰域內(nèi)為存在直至 階的連續(xù)導數(shù),則 , （2）這里為拉格朗日余項,其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式.當=0時,（2）式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項的)麥克勞林公式.常見函數(shù)的展開式：.定理2.1(介值定理) 設函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 ,若為介于 與之間的任

3、何實數(shù),則至少存在一點,使得.3 泰勒公式的應用3.1 利用泰勒公式求極限為了簡化極限運算,有時可用某項的泰勒展開式來代替該項,使得原來函數(shù)的極限轉化為類似多項式有理式的極限,就能簡捷地求出.例3.1 求極限.分析：此為型極限,若用羅比達法求解，則很麻煩,這時可將和分別用泰勒展開式代替,則可簡化此比式.解 由,得,于是.3.2 利用泰勒公式證明不等式當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡捷.例3.2 當時,證明.證明 取,則帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當時,.3.3 利用泰勒公式判斷級數(shù)的斂散性當級數(shù)的通項表達式是由不同類

4、型函數(shù)式構成的繁難形式時,往往利用泰勒公式將級數(shù)通項簡化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準則.例3.3 討論級數(shù)的斂散性.分析：直接根據(jù)通項去判斷該級數(shù)是正向級數(shù)還是非正向級數(shù)比較困難,因而也就無法恰當選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應,會使判斂容易進行.解 因為,所以,所以故該級數(shù)是正向級數(shù).又因為,所以.因為收斂,所以由正向級數(shù)比較判別法知原級數(shù)收斂.3.4 利用泰勒公式證明根的唯一存在性例3.4 設f(x)在上二階可導,且,對, 證明： 在內(nèi)存在唯一實根.分析：這里f(x)是抽象函數(shù),直接討論的根有困難,由題設f(x)在上二階可導且,可考慮將f(x)在a點展開

5、一階泰勒公式,然后設法應用戒指定理證明.證明 因為,所以單調(diào)減少,又,因此x>a時,故f(x)在上嚴格單調(diào)減少.在a點展開一階泰勒公式有由題設,于是有,從而必存在,使得,又因為,在上應用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由f(x)的嚴格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實根.3.5 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值例3.5 (極值的第二充分條件)設在的某鄰域內(nèi)一階可導,在處二階可導,且,.(i)若,則在取得極大值.(ii) 若,則在取得極小值.證明 由條件，可得f在處的二階泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正數(shù),當時,與同號.所以,當時,(*)式取負值,從而對任意有,即在取得極大值.同樣對,

6、可得在取得極小值.3.6 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式利用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,通過加減乘等運算進而可以求得一些較復雜的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.例3.6 求的冪級數(shù)展開式.解 利用泰勒公式3.7 利用泰勒公式進行近似計算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計算式和一些數(shù)值的近似計算,利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計算式為,其誤差是余項.例3.7 計算Ln1.2的值,使誤差不超過0.0001解 先寫出f(x)=Ln(1+x)帶拉格朗日型余項的麥克勞林展開式：,其中（在0與x之間）.令,要使則取即可.因此當要求的算式不能得出它的準確值時,即只能求出其近似值,這時泰勒公式是解決這種問題的最好

7、方法.例3.8 求的近似值,精確到.解 因為中的被積函數(shù)是不可積的（即不能用初級函數(shù)表達）,現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值.在的展開式中以代替 x得逐項積分,得上式右端為一個收斂的交錯級數(shù),由其余項的估計式知3.8 利用泰勒公式求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值如果f(x)泰勒公式已知,其通項中的加項的系數(shù)正是,從而可反過來求高階導數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導.例3.9 求函數(shù)在x=1處的高階導數(shù).解 設x=u+1,則,在u=0的泰勒公式為,從而,而g(u)中的泰勒展開式中含的項應為,從g(u)的展開式知的項為,因此,.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一個行列式可看做x的函數(shù)（一般是x的n次多項式）,記作f

8、(x),按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值.例 3.10 求n階行列式 D= （1）解 記,按泰勒公式在z處展開：, （2）易知 （3）由（3）得,.根據(jù)行列式求導的規(guī)則,有于是在處的各階導數(shù)為, 把以上各導數(shù)代入（2）式中,有若,有,若,有.4 總結本文主要介紹了泰勒公式以及它的九個應用,使我們對泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應用泰勒公式解題有了更深一層的認識.,只要在解題訓練中注意分析,研究題設條件及其形式特點,并把握上述處理規(guī)則,就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧.參考文獻1陳傳章 金福林：數(shù)學分析（下）北京：高等教育出版社,1986.2張自蘭 崔福蔭：高等數(shù)學證

9、題方法陜西：陜西科學出版社,1985.3王向東：數(shù)學分析的概念和方法上海：上?？茖W技術出版社,1989.4同濟大學數(shù)學教研室主編.高等數(shù)學【M】.北京：人民教育出版社,1999.5劉玉璉 傅沛仁：數(shù)學分析講義【M】.北京：人民教育出版社,2000.6華東師范大學數(shù)學系,數(shù)學分析（第二版）【M】高等教育出版社,1911.7張立民Visual Foxpro5.x中文版應用技術手冊【M】大連：大連理工大學出版社,19978中文版Visual Foxpro3.0編程指南【M】西安：西安交通大學出版社,19979Visual Basic程序設計【M】中央廣播電視大學出版社,2001Some Equiva

10、lent Definitions and Applications of Convex FunctionWang Cuina（Grade06,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li JinlongAbstractThis paper briefly introduces the Taylor formula and the expansion

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