全等三角形中常見的輔助線添加方法

1、全等三角形中的常見輔助線的添加方法舉例一 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖：已知AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF。分析：要證BECFEF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把 BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知12，34， 可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個三角形中。練習(xí)：如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD二、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖：AD為ABC的中線，且12，34，求證

2、：BECFEF練習(xí)：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是BC中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.三、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例：如圖3：AD為 ABC的中線，求證：ABAC2AD。分析：要證ABAC2AD，由圖想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左邊比要證結(jié)論多BDCD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線， 把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。 圖3練習(xí)：1、已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2、已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直

3、角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4， 求證EF2AD。 四、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖5：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點(diǎn)。求證：ABACPBPC。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之， 因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再連接PN，則PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：AB ACPBPC。練習(xí)：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 五、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖6：已知ACBD，CAD=CBD，求證：ADBC分析：欲證 A

4、DBC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種 方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。六、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖7：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。七、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖8：在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延長于E 。求證：BD2CE 分析：要證BD2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時CE

5、與ABC的 平分線垂直，想到要將其延長。 八、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖9；AC、BD相交于O點(diǎn)，且ABDC，ACBD，求證：AD。分析：要證AD，可證它們所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和對頂角兩個條件，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若連接BC，則ABC和DCB全等，所以，證得AD。九、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖10：ABDC，AD 求證：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN，ABNDCN。下面只需證NBCNCB，再取BC的中點(diǎn)

6、M，連接MN，則由SSS公理有NBMNCM，所以NBCNCB。問題得證。十、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 例2 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長為 ；應(yīng)用：1、已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）2、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時 ； （