華南理工大學(xué)高數(shù)下答案(第九章曲線積分與曲面積分)

1、 對弧長的曲線積分1、計算，其中曲線是在的一段弧。解：的參數(shù)方程為原式2、計算，其中星形線在第一象限的弧。解：原式3、計算，其中為折線，這里依次為點。解：段參數(shù)方程，段參數(shù)方程原式4、計算，其中為螺旋線上相應(yīng)于從到1的弧。解：方法一原式原式方法二、原式原式方法三、原式因為所以原式5、計算，其中解：，曲線的參數(shù)方程為原式6、計算,其中為圓周，直線在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的邊界。解：如右圖，線段的參數(shù)方程為 弧的參數(shù)方程為線段的參數(shù)方程為原式7、求曲線的質(zhì)量，其密度。解：8、求半徑為，中心角為的均勻圓?。ň€密度）的質(zhì)心。解：設(shè)圓的方程為，所求質(zhì)心坐標(biāo)為。對坐標(biāo)的曲線積分1、計算下列對坐標(biāo)的曲線積分

2、 1），其中為按逆時針方向繞橢圓周。 解：橢圓的參數(shù)方程為從變到原式 2），其中是點為頂點的三角形邊界（按逆時針方向）。 解：，從變到原式 3）計算曲線積分，其中為由點沿拋物線到點，再沿軸到點的弧段。 解：原式 4），其中是從點到點的一段線段。 解：的參數(shù)方程為，從變到 原式 5），其中是圓柱螺線從到的一段弧。 解：原式。2、計算，式中是從點沿到點，再由點沿回到點的閉曲線。解：的參數(shù)方程為，從到；的參數(shù)方程為，從到原式。3、設(shè)力的大小等于作用點的橫坐標(biāo)的平方，而方向依軸的負(fù)方向，求質(zhì)量為的質(zhì)點沿拋物線從點移到時，求力所做的功。解：，拋物線的參數(shù)方程為，從到。4、設(shè)為曲線上相應(yīng)于從變到的一段曲線

3、弧，把對坐標(biāo)的曲線積分化為關(guān)于弧長的曲線積分。解：格林公式及其應(yīng)用1、利用曲線積分，求下列曲線所圍成的平面圖形的面積1） 星形線。解：。方法二、2） 。解：。2、計算，其中為反時針繞橢圓 一周。解：利用格林公式原式3、計算，其中為拋物線上由點到的一段弧。解：設(shè) 因為，所以此曲線積分與路勁無關(guān)， 原式4、計算，其中為橢圓的正向一周。解：利用格林公式 原式 4），其中為正向橢圓。 解：在的內(nèi)部以原點為圓心以很小正數(shù)為半徑作取正向的圓周，其參數(shù)方程為 ，從到。由于，利用格林公式有 原式。 5、計算曲線積分，其中為連續(xù)函數(shù)是沿圓周按逆時針方向由點到點的弧段。解：從變到原式6、計算，其中為 1）圓周（按

4、反時針方向）； 2）閉曲線（按反時針方向）。解：設(shè)，它們在處無定義。1）因為不在圓周內(nèi)，所以；2）因為在閉曲線內(nèi)，所以可在閉曲線內(nèi)作圓周（取反時針方向）。7、證明下列曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān) 1） 解：因為，所以以上曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)。 2） 解：因為，所以以上曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)。8、計算，其中是過三點的圓周。解：設(shè)圍成的區(qū)域為，利用格林公式得9、設(shè)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，計算其中為從點到點的直線段。解：因為，所以此曲線積分與路勁無關(guān)。取路徑沿曲線從點到點原式。10、驗證在整個平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分，并求出一個原函數(shù)。1）解：因為，所以上式在平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分。2）解：因

5、為，所以上式在平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分。3）解：因為，所以上式在平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分。11、設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為，這變力確定了一個力場，證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所做的功與路徑無關(guān)。證明：因為，所以場力所做的功與路徑無關(guān)。對面積的曲面積分1、計算下列對面積的曲面積分1），其中為平面在第一卦限中的一部分。解：原式，其中由圍城的區(qū)域2），其中是錐面被柱面所截得的有限部分。解：原式3），其中為球面。解：原式。2、，其中是平面被柱面截的有限部分解：原式3、求球面含在柱面內(nèi)部的那一部分面積。解：，其中在面投影為圍成的區(qū)域4、求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的面密度大小為。解：（其中）5、設(shè)圓錐面（為

6、圓錐面底面半徑，為高），其質(zhì)量均勻分布，求其重心。解：由對稱性可得，無妨設(shè)其密度為，所求重心為。6、計算，其中是四面體的邊界。解：原式對坐標(biāo)的曲面積分1、計算，其中是柱面被平面及所截得的在第一象向部分的前側(cè)。解：在上的投影區(qū)域為一段圓弧；在面上投影區(qū)域為在面上投影區(qū)域為原式2、計算曲面積分，其中為旋拋物面下側(cè)介于平面及之間部分。解：原式這里用換元法計算定積分，（令）及的計算公式。3、計算，其中為半錐面及平面所圍成立體表面外側(cè)。解：曲面分成四部分，在面上投影區(qū)域面積為零，在面的投影為梯形由圍成，所以定積分無法求出，題目有問題。4、計算，其中是平面所圍成空間區(qū)域整個邊界的外側(cè)。解：原式5、計算曲面積分，其中下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù)。解：對應(yīng)側(cè)的法向量為 原式6、把對坐標(biāo)的曲面積分化為對面積的曲面積分：1）是平面在第一象限的部分上側(cè)。2）是拋物面在面上方部分的上側(cè)。解：1）對應(yīng)側(cè)的法向量為 原式2）對應(yīng)側(cè)的法向量為 原式高斯公式和斯托克斯公式1、利用高斯公式計算曲面積分1）求，其中為與圍成的立體的表面，取外側(cè)。解：利用高斯公式可得2）利用高斯公式計算曲面積分，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面，它的法向量與正方向夾角恒大于。解：曲面為，并取左側(cè)。作輔助曲面，并取右側(cè)，利用高斯公式可得3）設(shè)函數(shù)由一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，計算曲面積分式中時下半球面的上側(cè)。