信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文 初等矩陣的應(yīng)用

1、 編號學(xué)士學(xué)位論文初等矩陣的應(yīng)用學(xué)生姓名：阿依努爾.玉蘇甫學(xué)號：20060105009系部：數(shù)學(xué)系專 業(yè)：信息與計算科學(xué)年 級：2006年級7班指導(dǎo)教師：阿布都瓦克.玉奴司完成日期：2011 年5月1日摘要本文主要是通過建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系和實際例子，進(jìn)一步體現(xiàn)出矩陣的初等變換與初等矩陣之間的密切關(guān)系，并且在這個基礎(chǔ)上介紹初等矩陣的六種應(yīng)用.關(guān)鍵詞：矩陣；初等變換；初等矩陣；可逆矩陣目錄摘要1引言11.基本概念及基本定理11.2.1 互換兩行或列21.2.2 以數(shù)乘某行或列31.2.3 以數(shù)乘某行(列)加到另一行(列)上去32.主要結(jié)果42.1初等矩陣在求逆陣的應(yīng)用42.2 初等

2、矩陣在求矩陣秩的應(yīng)用62.3初等矩陣求出或中的應(yīng)用72.4 初等矩陣在解方程組中的應(yīng)用92.5 初等矩陣在確定向量組的線性關(guān)系的應(yīng)用102.6 初等矩陣在矩陣的三角分解()中的應(yīng)用10總結(jié)12參考文獻(xiàn)13致謝14引言初等矩陣與矩陣的初等變換密切相關(guān).矩陣的初等變換是矩陣的一種基本變換，應(yīng)用廣泛，并且三種初等變換都有一個與之相應(yīng)的初等矩陣，即互換兩行或列，以數(shù)乘某行或列，以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去. 利用初等矩陣與矩陣的初等變換之間的關(guān)系，本文主要介紹初等矩陣的六種應(yīng)用；1.初等矩陣在求逆矩陣上的應(yīng)用；2.初等矩陣在求矩陣秩的應(yīng)用；3.初等矩陣求出或中的應(yīng)用；.初等矩陣在解方程組中的應(yīng)

3、用；.初等矩陣在確定向量組的線性關(guān)系中的應(yīng)用；.初等矩陣在矩陣三角分解（LU）分解中的應(yīng)用；通過舉例使得對初等矩陣的應(yīng)用的認(rèn)識更加深刻.1.基本概念及基本定理定義1.1 一個矩陣的行（列）初等變換是指對矩陣施行的下列變換1）交換矩陣的某兩行（列）；2）用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個元素；3）給矩陣的某一行（列）乘以一個數(shù)后加到另一行（列）上，即用某一個數(shù)乘矩陣某一行（列）的每一個元素后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上.把上述三種初等變換分別叫做矩陣的第一種，第二種和第三種行（列）初等變換.一個很自然的問題是，給定一個矩陣，通過若干次初等變換可把化為

4、一個什么樣形狀簡單的矩陣呢?下述定理給我們一個完美的回答. 定理1.1設(shè)是矩陣通過行初等變換和第一種列初等變換能把化為如下形式，進(jìn)而再用若干次第三種列初等變換可化為如下形式，這里.定義1.2由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.顯然,初等矩陣都是方陣,每個初等變換都有一個與之相應(yīng)的初等矩陣,即三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣. 互換兩行或列互換中第兩行，即，得初等方陣1.2.2以數(shù)乘某行或列以數(shù)乘E的第行，得初等矩陣第行.1.2.3以數(shù)乘某行(列)加到另一行(列)上去以乘的第行加到第行上，或以乘的第列加到第列上，.利用矩陣乘法的定義，立即可以得到定理1.2設(shè)是一個矩陣，對施行一次初等

5、行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.不難看出初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣.事實上，變換的逆變換是其本身，則；變換的逆變換為，則 ；變換的逆變換為，則.定理1.3設(shè)為可逆方陣，則存在幾個初等方陣，使.推論矩陣的充分必要條件是存在階可逆方陣及可逆方陣，使.2.主要結(jié)果2.1初等矩陣在求逆陣的應(yīng)用當(dāng)時，由，有，及，即對矩陣施行初等行變換，當(dāng)把變成時，原來的就變.這種計算格式也可以用來判斷某個矩陣是否可逆，當(dāng)我們將化為行階梯形矩陣時，若其中的非零的行數(shù)等于時，則可逆，否則不可逆.例2.1設(shè)，求.解 ；.有時要求，把任意一個階可逆矩陣化為

6、若干個初等矩陣的乘積.下面看一個有關(guān)的例子。例2.2把下列可逆陣分解為初等陣的乘積.解 對進(jìn)行如下初等變換 .寫出每一次變換所對應(yīng)的初等矩陣，并將行變換所對應(yīng)的初等矩陣用表示，列變換所對應(yīng)的初等矩陣用表示，并同時寫出它們的逆矩陣 ； ； ； ；于是，2.2 初等矩陣在求矩陣秩的應(yīng)用一般格式 將矩陣經(jīng)過一系列初等行變換變成階梯形矩陣，即相當(dāng)于從左邊有限次乘以對應(yīng)的初等矩陣行階梯形（其中的秩是矩陣的非零行數(shù)，即）.定理2.1初等矩陣乘以一個矩陣不改變矩陣的秩.證明若中是可逆矩陣,任意矩陣，從定理1.3可逆矩陣可表示為一些初矩陣的乘積，從而矩陣乘一個可逆矩陣相當(dāng)于左乘一些初等矩陣.據(jù)定理1.2這些相

7、當(dāng)于對矩陣作一些列初等行變換，由初等行變換不改變矩陣的秩，這就證明了。同理右乘可逆矩陣則有，兩者合在一起有，.例2.3 求矩陣的秩.解由于中有兩個非零行，所以.2.3初等矩陣求出或中的應(yīng)用定理2.2設(shè)是級可逆矩陣，那么證明 而.同理可得，如果求，則可對矩陣作初等列變換例2.4 求矩陣，使，其中 ， .解：若可逆，則是的唯一解.；.例2.5設(shè) ， ，則求.解.也可改為對作初等行變換， ，即得，即可求得.2.4 初等矩陣在解方程組中的應(yīng)用定理2.3.1（1）（可以寫成），若（1）中可逆，那么它有唯一解.分析：經(jīng)過有限次行初等變換后，所得的就是這唯一解，也是我們以前的Gauss消元法的來的解。定理2

8、.3.2方程組中，若,那么有解。(1) 時有唯一解。(2) 時有無窮多解。證明級子式0,不妨設(shè)位于的左上角，則與（2）同解，（2）可以寫成是（1）的一般解，從而， 從而可以得出，若，則是唯一解；若，則中為自由未知量，故方程組有無窮多解。例2.6求解非齊次線性方程組解（為在數(shù)域的任意常數(shù)）2.5 初等矩陣在確定向量組的線性關(guān)系的應(yīng)用一般格式 設(shè)向量組為，以為列構(gòu)成矩陣，對施行初等行變換，將它化成階梯形矩陣從而求出其秩，若，則線性無關(guān)，若，則線性相關(guān).例2.7已知, ,討論的線性相關(guān)性。解計算以向量組成的矩陣的秩向量個數(shù)，于是所給向量組是線性相關(guān)的。2.6 初等矩陣在矩陣的三角分解()中的應(yīng)用 把

9、一個n 階矩陣分解成單位下三角方陣與上三角方陣乘積，即僅用行初等變換就把矩陣化為上三角方陣，一般的當(dāng)一個n階矩陣僅用行初等變換就能化為上三角方陣U時，存在若干個第三種初等矩陣使得.類似的，每一個可逆單位下三角方陣的逆矩陣仍是單位下三角方陣；兩個單位下三角方陣的乘積仍是單位下三角方陣，由于第三種初等矩陣都是單位下三角方陣，設(shè)則也是單位下三角方陣，因此=是的三角分解。 例2.8 將三對角矩陣分解成主對角元為1 的下三角矩陣 和上三角矩陣的乘積，即=.解 由于第三類初等矩陣及其逆矩陣都是主對角元為1的同類型三角陣，因此通過倍加行變換將的主對角線一下元素消為O（此時倍加行變換對應(yīng)的初等矩陣是主對元為1

10、的下三角矩陣，而將化成上三角矩陣），就可將將分解為，具體作法如下,總結(jié)矩陣是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)不可缺少的數(shù)學(xué)工具，在本文中初等矩陣是研究逆矩陣，矩陣秩，向量組的線性相關(guān)性，線性方程組求解和矩陣分解等的有力且不可替代的工具，是本文討論的主要對象，通過它的這種工具性可以揭出各種矩陣問題的奧秘，初等矩陣的應(yīng)用不僅限制在這些方面，還在數(shù)學(xué)的其他分支以及自然科學(xué)，現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)，管理學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域等方面具有廣泛的應(yīng)用，總而言之，解決矩陣問題中初等矩陣是我們有力的幫手。參考文獻(xiàn)1 王朝瑞 編著 .線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo) M.北京：北京理工大學(xué)出版社 （1999.9）60-612 任卉主編.線性代數(shù)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解M.

11、北京：中國時代經(jīng)濟(jì)出版社（2006.6）46-473 蘇育才，姜翠波，張躍輝 編.矩陣?yán)碚揗.北京：科學(xué)出版社,2006.9-104 居余馬等編 .線性代數(shù)M.北京：清華大學(xué)出版社,1994. 77-785 陳維新編著.線性代數(shù)簡明教程M.北京：科學(xué)出版社,2001.8.103-1096 朱玉清 主編.線性代數(shù)M .北京：國防工業(yè)出版社,2007.8.77-797北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編 .高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社 （2003.9）187-1908劉仲奎等編.高等代數(shù) M.北京：高等教育出版社,2003.6，73-74致謝畢業(yè)論文是每個畢業(yè)生畢業(yè)之前的重要問題.在喀什師范學(xué)院的教育下，經(jīng)過五年的學(xué)習(xí)，使我在做人做事各個方面得到了很大的