第十一章曲線積分作業(yè)解答

1、第十一章 曲線積分習(xí)題 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1計(jì)算，其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)圍成的圖形的邊界解：原式2求，其中是擺線，的一拱解 原式3計(jì)算，其中為曲線解 原式習(xí)題 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：（1），為擺線，上從點(diǎn)到點(diǎn)的一拱；（2），其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段（3），其中，為的上半圓弧段，而為上的弧段解 （1）原式（2）原式（3）原式2在上每一點(diǎn)有作用力，其大小等于該點(diǎn)到橢圓中心的距離，而方向朝著橢圓中心。(1 試計(jì)算質(zhì)點(diǎn)沿橢圓位于第一象限的弧從點(diǎn)移到點(diǎn)時(shí)力所做的功；(2 求點(diǎn)按正向走遍全部橢圓時(shí)力所做的功。解 （1）原式（2）原式3計(jì)算，其中為螺線，從到的一段解 原式習(xí)題

2、 格林公式1利用格林公式計(jì)算下列曲線的積分（1），其中是區(qū)域：，的正向邊界曲線.（2），其中是從點(diǎn)到的上半圓周：.（3），其中為由點(diǎn)到的任一有向曲線解 （1）原式（2）記，原式；（3）原式2計(jì)算，其中是平面上任意一條不經(jīng)過原點(diǎn)的正向簡(jiǎn)單封閉曲線解 （1）若原點(diǎn)不在L內(nèi)，設(shè)D為L(zhǎng)所圍成的閉區(qū)域，由格林公式有原式（2）若原點(diǎn)位于內(nèi)，取為小的正數(shù)，且完全位于L內(nèi)，C按逆時(shí)針方向繞行，為L(zhǎng)與C圍成的閉區(qū)域，則有習(xí)題 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件1計(jì)算，其中為自點(diǎn)沿至點(diǎn)的曲線弧解 ，記，則有原式2選擇常數(shù)，使是某二元函數(shù)的全微分，并求.解 由題設(shè)有，即，取3已知積分與路徑無關(guān)，且，求，并計(jì)算，其中為從到的弧段解 （1）由題設(shè)有即滿足方程方程的通解為，所以；（2）4判別下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解.（1）；（2）.解 （1）方程可改寫為，因，因此該方程是全微分方程，令則該方程的通解為其中C為任意常數(shù)。（2）因，因此該方程不是全微分方程。習(xí)題 曲線積分的應(yīng)用1求曲線（）的長(zhǎng)度解 2求質(zhì)量均勻心臟線的質(zhì)心解 在直角坐標(biāo)系中設(shè)它的質(zhì)心為，由對(duì)稱性知，所以它的質(zhì)心為。參考答案習(xí)題1 2 3習(xí)題1（1）； （2） （3）. 2， 3習(xí)題1（1）； （2）； （