二元一次方程組應(yīng)用題經(jīng)典題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實際問題與二元一次方程組題型歸納知識點一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系. 一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.知識點二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開始時兩者相距的路程；(2)相遇問題:相遇問題也

2、是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程。(3)航行問題：船在靜水中的速度水速船的順水速度； 船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順水速度逆水速度2×水速。注意：飛機航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。2工程問題：工作效率×工作時間=工作量.3商品銷售利潤問題：(1)利潤售價成本(進價)；(2)；(3)利潤成本（進價）×利潤率；(4) 標價成本(進價)×(1利潤率)；(5)實際售價標價×打折率；注意：“

3、商品利潤售價成本”中的右邊為正時，是盈利；為負時，就是虧損。打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十）4儲蓄問題：(1)基本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。 本息和：本金與利息的和叫做本息和。 期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。 利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。 利息稅：利息的稅款叫做利息稅。 (2)基本關(guān)系式 利息本金×利率×期數(shù) 本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金× (1利率×期數(shù)) 利息稅利息×利息稅率本金&#

4、215;利率×期數(shù)×利息稅率。 稅后利息利息× (1利息稅率) 年利率月利率×12 。注意：免稅利息=利息 5配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1增長率)增長后的量；原量×(1減少率)減少后的量.7和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量.8數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n

5、等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字9濃度問題：溶液質(zhì)量×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式11年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠不會變的12優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。知識點三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實際問題時，一般

6、可分為以下六個步驟：1審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；2設(shè)未知數(shù):可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；3找出題目中的等量關(guān)系；4列出方程組:根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5解所列的方程組，并檢驗解的正確性；6寫出答案.要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得 的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組. (4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系； 審題時，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息； 注意用方程組

7、解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆； 在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗。 類型一：列二元一次方程組解決行程問題1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇. 相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機. 這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？ 思路點撥：畫直線型示意圖理解題意： (1)這里有兩個未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機的行程. (2)有兩個等量關(guān)系： 相向而

8、行：汽車行駛小時的路程拖拉機行駛小時的路程160千米; 同向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機行駛小時的路程.解：設(shè)汽車的速度為每小時行千米，拖拉機的速度為每小時千米.根據(jù)題意，列方程組 解這個方程組，得:.答：汽車行駛了165千米，拖拉機行駛了85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略?！咀兪?】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？ 【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，

9、逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。類型二：列二元一次方程組解決工程問題2一家商店要進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組，商店所付費用最少？ 思路點撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；第二層含義：若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元

10、。設(shè)甲組單獨做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.解：(1)設(shè)甲組單獨做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付y元，依題意得： 解得 答：甲組單獨做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付140元。 (2)單獨請甲組做，需付款300×123600元，單獨請乙組做，需付款24×1403360元，故請乙組單獨做費用最少。答：請乙組單獨做費用最少?？偨Y(jié)升華：工作效率是單位時間里完成的工作量，同一題目中時間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設(shè)為1，也可設(shè)為a，需根據(jù)題目的特點合理選

11、用；工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進行分析?！咀兪健啃∶骷覝蕚溲b修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由. 類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤問題3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進價分別是多少元？ 思路點撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤進價×利潤率解：甲商品的進價為x元

12、，乙商品的進價為y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進價分別為600元和400元。 【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？ 【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價如下表：AB進價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利 = 售價 進價）求該商場購進A、B兩種商品各多少件；類型四：列二元一次方程組解決銀行儲蓄問題4小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現(xiàn)在以兩種方式在銀

13、行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）思路點撥： 設(shè)教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格： 解：設(shè)存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：，解得：答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元. 總結(jié)升華: 我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系

14、隨之浮現(xiàn)出來. 【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%） 【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？類型五：列二元一次方程組解

15、決生產(chǎn)中的配套問題5某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只. 現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路點撥：本題的第一個相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).解：設(shè)用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得： 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的

16、配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。 【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1

17、立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條。現(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？類型六：列二元一次方程組解決增長率問題6. 某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？ 思路點撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩

18、個等式。解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：，解之得：答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元總結(jié)升華：當題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進行分析。【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。類型七：列二元一次方程組解決和差倍分問題7.（2011年北京豐臺區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點

19、，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？思路點撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)計劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。解：設(shè)原計劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：， 解得： 所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂. 【變式1】 (2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題) “地球

20、一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動 【變式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？ 類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問題8. 兩個兩位數(shù)的和是

21、68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù)。思路點撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100xy問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為： 100yx解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得：，解得：答：這兩個兩位數(shù)分別為45，23.【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？ 【變式2

22、】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。類型九：列二元一次方程組解決濃度問題9現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？ 思路點撥：本題欲求兩個未知量，可直接設(shè)出兩個未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個

23、相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比混合后溶液所含純酒精與水的比。解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y kg.依題意得：， 答：甲取20kg，乙取30kg法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10x kg和5y kg，則甲種酒精溶液含水7x kg，乙種酒精溶液含水y kg，根據(jù)題意得：， 所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg總結(jié)升華：此題的第（1）個相等關(guān)系比較明顯

24、，關(guān)鍵是正確找到另外一個相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問什么就設(shè)什么。有時候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時候需要設(shè)輔助未知數(shù)。舉一反三：【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？類型十：列二元一次方程組解決幾何問題10如圖，用8

25、塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？ 思路點撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。解：設(shè)長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：， 答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時應(yīng)注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。舉一反三：【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求

26、正方形的面積比矩形面積大多少？【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決年齡問題11今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？ 思路點撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個相等關(guān)系列方程。解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：， 答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲。總結(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化（增大、減?。┝耍渌艘惨粯釉龃蠡驕p小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時間內(nèi)）?！咀兪?】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問題： 12某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜