二次函數(shù)與線段問題

1、二次函數(shù)與線段問題1.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) A(1,0)、B(3,0)、C(0, 3).(I )求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(n)直線CD交x軸于點(diǎn)E,過拋物線上在對稱軸右邊的點(diǎn)P,2作y軸的平行線交 x軸于點(diǎn)F,交直線 CD于點(diǎn)M,使PMEF,5請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(出)將拋物線沿對稱軸平移，要使拋物線與(n)中的線段 em總有交點(diǎn)，那么拋物線向上最多平移多少個單位長度？向下最多平移多少個單位長度？解：(I)設(shè)拋物線解析式為y=a(x + 1)(x 3),把點(diǎn) C(0, 3)代入得：a x 1 x ( 3)= 3,解得a=1,，拋物線解析式為 y=(x + 1)(x -3), 2即 y=x

2、2x 3,- y=x2 2x 3=(x 1) 2 4,，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 4);(n )如解圖，設(shè)直線CD的解析式為y=kx +b,把點(diǎn)C(0, -3),D(1, -4)代入得平一3,解得；，* + b = -4、b = -3,直線CD的解析式為y=-x-3,當(dāng) y=0 時，x 3=0,解得x= 3,則 E( 3,0),設(shè) P(t,t 22t3)(t >1),則 M(t, t 3),F(t,0),EF=t + 3,PM=t 2-2t -3-( -t - 3)=t 2 t,2而 PM=EF,5.t2-t= (t +3),5整理得 5t 27t6=0,解得 t1=(舍去),t 2=2,5

3、當(dāng) t=2 時,t 22t -3=22-2X2- 3= 3,點(diǎn)P坐標(biāo)為(2, -3);第1題解圖(出)當(dāng)t=2時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, -5),設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2-2x-3 + m, 當(dāng)拋物線y=x22x3+m與直線y= x3有唯一公共點(diǎn)時， 令方程x2 2x 3+ m= x 3,即x2 x+ m=0有兩個相等的實(shí) 數(shù)解，貝U b24ac=1 4m=0,解得m=-;4若拋物線y=x22x3+m經(jīng)過點(diǎn)M(2, 5),則 4 43+ m=- 5,解得 m=- 2; 2若拋物線y=x 2x3+m經(jīng)過點(diǎn)E( 3,0),則 9 2x ( 3) 3+m=0,解得m=- 12,gB - A 1

4、人乂、I 、A拋物線向上最多平移一個單位長度，向下最多平移12個單4位長度.2.已知拋物線 y=l(x3)21與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A 2在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.(I )試求點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)；(II)連接CD,過原點(diǎn)。作OELCD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,求OE的長；(出)以(11)中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋 物線上有一動點(diǎn) P,過點(diǎn)P作。E的切線，切點(diǎn)為Q,當(dāng)PQ的長 最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：（I ）由 y=0 得 1（x -3）2- 1=0,解得 xi=3 72 ,x 2=3 +J,又.點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),.A點(diǎn)坐標(biāo)為(3 J2,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(

5、3 + 亞0), 由拋物線解析式y(tǒng)= 1(x 3)21可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,21)；(n )如解圖，過點(diǎn)D作DGLy軸于點(diǎn)G,設(shè)CD與x軸交于點(diǎn) F,ED交x軸于點(diǎn)M,由題意可得，/DCG /COF=90° , ZEOM- / COF=90° , / DCG/EOM又. /CGD=/OM=90° , .CDGp OEM,CG=DG,|p3=,OM EM 2 EM .EM=2, .E點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),OE=3222 = '、13；(出)如解圖，由。E的半徑為1,由勾股定理得PQ2=EP2-1,要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP2最小，設(shè) P 點(diǎn)坐

6、標(biāo)為(x,y),則 PQ=x 3,EQ=2-y,由勾股定理得 EP2=(x 3) 2+ (2 y) 2,.y = 1(x 3)21,2 . (x -3) 2=2y+2, EP2=2y + 2 + y24y+4=(y 1)2+5,當(dāng)y=1時,EP2為最小值，將 y=1 代入 y= (x 3)21，得 xi=5,x 2=1,2 .P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(5,1). 點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)白拋物線上， .X2 = 1 舍去，P(5,1).圖圖第2題解圖3 .已知拋物線 y= x2工x+ 2與x軸交于A,C兩點(diǎn)(點(diǎn)A424在點(diǎn)C的左邊),直線y=kx+b(kwo)分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn)，且除了點(diǎn)A之外

7、，該直線與拋物線沒有其他任何交點(diǎn).(I )求A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(n )求k,b的值；(出)設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線y=kx + b(kwO) 的垂線,垂足為H,交拋物線的對稱軸于點(diǎn) D,求PH+ DH的最小 值，并求出此時點(diǎn) P的坐標(biāo).解：(I )令 y=0,即一工x2 x+ =0,4 24解得 xi= 3,x 2=1,點(diǎn) A在點(diǎn) C 的左邊,. "( 3,0),C(1,0);(n)把 A( 3,0)代入 y=kx + b,得3k+b=0,解得b=3k,聯(lián)立1 2 x4kx bx 324,得 x2 x+ =kx + b,即 x2+ (2 + 4k)x 3 + 4b=0,4

8、24;直線y=kx + b與拋物線有唯一公共點(diǎn)，由根的判別式得 (2 + 4k) 2 4(4b 3)=0,把 b=3k 代入(2 + 4k) 2- 4(4b 3)=0,得(2 + 4k) 2- 4(12k 3)=0,解得k=1,b =3;(出)如解圖，過點(diǎn)H作HGL對稱軸于點(diǎn) G,過點(diǎn)P作PFL對稱 軸于點(diǎn)F,設(shè)直線AB與拋物線的對稱軸交于點(diǎn) E,對稱軸與x 軸交于點(diǎn)M,由題意知，拋物線對稱軸為x= 1,由(n )知，直線AB的解析式為y=x + 3,由直線 AB知/ EAO/EHG/AE附/FPD=/PDF=45 當(dāng) x= 1 時,y=x + 3=2,即 E( 1,2).設(shè) P(x, x2

9、x+ ),貝U PF=FD=- 1 x,424ED=皿 M.吁2-(%(+4)+(一一尸9-1x 12X 4,PD=V2 FD=V2 ( - 1 -x),加HE捶ED=g1x2x+1),22 424PH+ DH=DH- PD+ DH=2DH- PD=V2 ( 1 x2 1 x+ )42472(-x-1)=/、2+農(nóng)、+邊， 424當(dāng)x=- -b=-1時,PH+DH取得最小值，最小值為2a4ac卅=J2,此時點(diǎn)4aP的坐標(biāo)為（一1,1）.第3題解圖4.已知,一拋物線過原點(diǎn)和點(diǎn)A(1, J3),與x軸交于點(diǎn)B/AOB的面積為J3.(I )求過點(diǎn)A。B的拋物線解析式；(II)在拋物線的對稱軸上找到一

10、點(diǎn)M,使得AOM的周長最小，求AOM周長的最小值；(出)點(diǎn)F為x軸上一動點(diǎn),過點(diǎn)F作x軸的垂線,交直線AB于一、 一一23 一點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)P,是否存在點(diǎn)F,使線段PE= ?若存3在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(I )過點(diǎn)A作Adx軸于點(diǎn)C,如解圖,A(1, 3),.AC= 3,.S aaob= BO- AC=BCX 33=33,.BO=2,.B（ 2,0）.由題意可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+ bx, 口 a b - 3把A、B坐標(biāo)代入可得«寸,4a - 2b = 0,3a 二一3解得°_ ,K 2.3 b =3 過A、B、。三點(diǎn)的拋物線的解析式為

11、y=Y3x2+"3x;33（n）由（I）可求得拋物線的對稱軸為直線x= 1,設(shè)直線AB交對稱軸于點(diǎn) M,如解圖，連接OM,.OA長為定值， .AOM周長的最小值即為 0叫AM的最小值, .B O兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱， .MGMB. .A,M,B三點(diǎn)共線時，0加 AM最小.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,口 k b = - 3把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得 «,-2k b = 0 33k =3解得 °_,2 3b 3直線AB的解析式為y=73xi 2m4一時厚3.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一1,、3).3由勾股定理可求得 AB=-,1 -(-2)2 ( 3)2 = 2.3,AO=1

12、2(3)2 =2,.AOM周長的最小值為 Ah MOb AO=ABF AO=2V3+ 2;一-1 173（出）存在.點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,0）或（一1,0）或（,0）或2-1 - . 17(-,0).【解法提示】假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)F,設(shè)其坐標(biāo)為（x,0）,則 E（x, x+ ）,P（x, -x2+ - x）,如解圖，當(dāng)一2WxW 0時,PE=PF+EF=（3 2 23 立3 x 3 x 3 x+ 友2x/3x| 2733 一 3 x 3 X 3 ,由。E考得一近x2近x+還=量,解得333322x1 =0,x 2=- 1,當(dāng)x=0時，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,0)； 當(dāng)x=-1時，點(diǎn)F的

13、坐標(biāo)為(-1,0)；一-2%3當(dāng)0vxW1時，此時PE恒小于;3當(dāng) x>1 或 xv 2 時,PE=PF EF=73x2 273x （733332x/3 _ 73X2 出入2M3 - 3 X 3 X 3 ,由 PE=W3 得近x2+6_=Ri33333解得x1二-1 .17-1- ,17,x 2=22 -1 J7 一 -1-17.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(,0）或（,0）.-_ -1 .17-綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,0）或（一1,0）或（，0）或2圖圖圖第4題解圖5.已知直線y=5x+ 5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,過A,C兩點(diǎn) 的二次函數(shù)y=ax2 + 4x + c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B.（I

14、）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（II）連接BC,點(diǎn)N是線段BC上的動點(diǎn)，作NDLx軸交二次函數(shù) 的圖象于點(diǎn)D,求線段ND長度的最大值；（出）若點(diǎn)H為二次函數(shù) y=ax2 + 4x+c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4,m） 是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn),在x軸,y軸上分別找點(diǎn)F,E,使四邊 形HEFM勺周長最小，求出點(diǎn)F、E的坐標(biāo).解：(I ) .直線y=5x + 5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C, .A( 1,0),C(0,5),;二次函數(shù)y=ax2 + 4x + c的圖象過 A,C兩點(diǎn)，a4+c = 0 a = -1，解得,c = 5lc = 52，二次函數(shù)的表達(dá)式為y= x + 4x + 5;(n)如解圖，,點(diǎn)B是二次

15、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，丁由二次函數(shù)的表達(dá)式為y= x2+4x+5得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(5,0),設(shè)直線BC解析式為y=kx + b,.直線 BC過點(diǎn) B(5,0),C(0,5),'5k+b = 0fk = -1,解得,、b = 51b = 5直線BC解析式為y=-x + 5,設(shè)ND的長為d,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n,則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(n, n+5),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(n, n2+4n+5),貝U d=| n + 4n + 5 ( n+ 5)|,由題意可知：-n +4n+5>n+5,d = n + 4n+5 ( n+ 5)= n + 5n= (n 1) +,24當(dāng)n= 5時，線段ND長度的最大值是

16、225一;2(山)二點(diǎn) M(4,m)在拋物線 y= x+4x+5上，.m=5,，M(4,5).:拋物線 y= x2 + 4x+5=(x2)2+9,，頂點(diǎn)坐標(biāo)為H(2,9),如解圖，作點(diǎn)H(2,9)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn) H,則點(diǎn)H的坐標(biāo)為 H( 2,9);作點(diǎn)M(4,5)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn) M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 M(4, -5),連接HM分別交x軸于點(diǎn)F,y軸于點(diǎn)E,，HiM+HM 的長度是四邊形 HEFM勺最小周長，則點(diǎn)F,E即為所求的點(diǎn).設(shè)直線HiM的函數(shù)表達(dá)式為 y=mx+ n,.直線 HiM過點(diǎn) H( 2,9),M i(4, -5),79 = -2 m + n5 = 4m + n,解得m 二33

17、13n 二 一3.y=-7x+13,33當(dāng)x=0時,y=,即點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,),33當(dāng)y=0時,x= 13 ,即點(diǎn)F坐標(biāo)為(13 ,0),77故所求點(diǎn)F,E的坐標(biāo)分別為(13 ,0),(0,13).73圖圖第5題解圖6.已知拋物線 y=x2+bx+c與 x 軸交于 A( 1,0),B( 3,0) 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(I)求拋物線的解析式；(n )設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且/APD=/ACB求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(出)點(diǎn)Q是直線BC上方拋物線上的動點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線BC的 距離最大時點(diǎn)Q的坐標(biāo).解：(1)二.拋物線 y= x2+bx + c 經(jīng)過 A( 1,0),B( -3,0),

18、；0 = 1 b + c 解/曰 |b= -4：0 = -9-3b+c(c=-3，拋物線的解析式為y=- x2-4x- 3;(n)由 y= x24x3 可得 D( 2,1),C(0, -3),. OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,可得 OBC是等腰直角三角形，/ OBC=45° ,CB=3 2 ,如解圖，設(shè)拋物線的對稱軸與 x軸交于點(diǎn)F, .AF=1 AB=1,2設(shè)直線BC與對稱軸的交點(diǎn)為 E,連接AE,AC,.王5=1二人5,則有/ BAE=/OBG45° , ./AEB=90。, BE=AE=72 ,CE=2 y/2.在AEC與AFP 中，ZAEC=ZAFP=90

19、° , ZACE=Z APF, .AE6 AAFP,，處產(chǎn)，即艮也解得PF=2.AF PF 1 PF 點(diǎn)p在拋物線的對稱軸上，.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一2,2)或(一2, 2);(出)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(kwO),直線BC經(jīng)過B( 3,0),C(0,3),0=3k+b “曰'k'-13 = b(b = -3 直線BC的解析式為y=-x-3.如解圖，設(shè)點(diǎn)Q(m,n),過點(diǎn)Q作QHL BC于點(diǎn)H,并過點(diǎn)Q作QS/ y軸交直線BC于點(diǎn)S,則S點(diǎn)坐標(biāo)為(m, m- 3),QS=n ( m 3)=n + m+ 3.,點(diǎn) Q(m,n)在拋物線 y= x24x3 上, .2.

20、 . n m 4m- 3,- QS= n2 4m 3+3= n2 3m=- (m+ ) 2+ ,24 當(dāng)m=1°時,QS有最大值.24 BO=OC,Z BOG90° ,/ OCB=45° , . QSI y 軸，. QSH=/OCB=45° , .QHS是等腰直角三角形,，當(dāng)斜邊QS最大時,QH最大.“3 一 一當(dāng)m=- 3時,QS最大，此時 n=- m 4m 3= +6 3=一,即 Q(一 ,),442 4當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(一3, 3)時，點(diǎn)Q到直線BC的距離最大2 4圖圖第6題解圖7.已知，直線y=kx + b(k、b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點(diǎn) A

21、( 4,0)、B(0,3),拋物線 y=x2+2x+1 與 y 軸交于點(diǎn) C.(I )求直線y=kx+ b的函數(shù)解析式；(n)若點(diǎn)P(m,t)是拋物線y=-x2+ 2x+ 1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,求d關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求d取最小值時m的值；（出）若點(diǎn)E在拋物線y=-x2 + 2x+1的對稱軸上移動，點(diǎn)F在 直線AB上移動，求CE+ EF的最小值.解：（1） .直線 y=kx + b 經(jīng)過點(diǎn) A（4,0）,B（0,3）,<.30 = 4k +b 一 k = 一3 = by= x+ 3;4，直線的解析式為P作PML AB于點(diǎn)M,作PN/ y軸交直線 AB于（n）如解圖

22、，過點(diǎn)點(diǎn)N. PN/ y 軸， / PN附/ABQ. /AOB=/NM=90°. .AO耿 APMN,AO = ABPM PN1 .OA=4,OB=3,AB= OA2+ OB2 =5,2 .pm=4pn,5點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn),PN / y軸,，P(m, mf+2m+ 1),N(m,3- m+ 3),4PN= m 3 ( R+ 2m+ 1)=m2 m 2=(m )2+448103,64PM=d=5(m-8)2+,103;805，當(dāng)m=時,d取得取小值8(山)二.拋物線 y=x2+2x+1與y軸交于點(diǎn) C,、，2.C(0,1),對稱軸為x=-0=1，點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為K(2,1),

23、，點(diǎn)K到直線AB的距離即為C曰EF的最小值，最小值為d=4x(2 I+ 些工.5880 5第7題解圖8.已知直線y=2x+ m與拋物線y=ax2 + ax+ b有一個公共點(diǎn) M(1,0),且 avb.(I )求拋物線頂點(diǎn) Q的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；(n)說明直線與拋物線有兩個交點(diǎn)；(m)直線與拋物線的另一個交點(diǎn)記為N,若一1 w aw 二，求2線段MN長度的取值范圍；解：(I ) .拋物線過點(diǎn) M(1,0),a+ a+ b=0,即 b=1 2a,- y =ax2+ ax+ b=ax2 + ax 2a=a(x + ) 2,24，拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(一1, 9a)；24(n) .直線 y=

24、2x+m經(jīng)過點(diǎn) M(1,0),.-，0=2X 1+ m,解得 m=- 2,把 y=2x 2 代入 y=ax2+ ax 2a,得 ax2+ (a 2)x 2a + 2=0, A =(a 2)2 4a( -2a+ 2)=9a 2 12a+ 4,又 av b,b= -2a, .a< 0,b >0,2 . A =9a 12a + 4> 0, 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，直線與拋物線有兩個交點(diǎn)；(出)把 y=2x 2 代入 y=ax2+ax2a,得 ax2+(a 2)x 2a+ 2=0,即 x2+(142+2=0, a ax + ( _ ) 2=( ) 2,解得 xi = 1,x 2=2

25、,2 a a 2a將 x= 2 2 代入 y=2x 2 得 y= d 6,aa二點(diǎn) N(2,6),a a根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得，MN 2=(2) - 12+(6) 2= + 45=20(aa a2 a a一),2一 iwaw ,則 一 2w& 一 1,2 a3< 0,2.MN=2 , 5 ( 3 1)=3又.一 1<a<- 12 .5 55mN7 7 V5.9.已知二次函數(shù)的解析式為y= x2+4x,該二次函數(shù)交x軸于Q B兩點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且橫縱坐標(biāo)相等(原點(diǎn)除外),P 為二次函數(shù)上一動點(diǎn)，過P作x軸垂線,垂足為D(a,0)(a>0), 并與直線OA交于

26、點(diǎn)C.(I )求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(II)當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上方時，過P作x軸的平行線與線段 OA 相交于點(diǎn)E,求 PCE周長的最大值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；(出)當(dāng)PC=CO1求P點(diǎn)坐標(biāo).解：(I )令 y=0,則x2 + 4x=0,解得 xi=0,x 2=4, 點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x,x),把A(x,x)代入y= x2+4x得，x= - x2+ 4x,解得xi=3,x 2=0(舍去), 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,3);(II)如解圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, -x2+ 4x), 點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,3);，/AOB=45° ,.OD=CD=x,PC=PD- CD=-x2 + 4x-x=-

27、x2+ 3x, PE/ x 軸，.PCE是等腰直角三角形，當(dāng)PC取最大值時,PCE周長最大.PE與線段。時目交，由PC> x2+ 3x= (x 3 )2 + 9可知，拋物線的對稱軸為直24線x=,且在對稱軸左側(cè) PC隨x的增大而增大,2 當(dāng)x=1時,PC最大,PC的最大值為一1 + 3=2,PE=2,CE=22 , .PCE的周長為 CP+ PE+ CE= 2拒，PCE周長的最大值為 4 + 2 J2,把 x=1 代入 y= x2+4x,得 y= 1+4=3, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3);(出)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x, -x2+ 4x),則點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,x),如解圖 ， 22當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方時，

28、P1C=x+4xx= x +3x,OC= 2 x, .P1C=OC,x2+ 3x= 2 x,解得 x1=3 J2x2=0(舍去).把 x=3 J2代入 y= x2+ 4x 得，y= (3 >/2) + 4(3 >/2)=1+2 V2,Pi(3 - 72,1 +2點(diǎn))，當(dāng)點(diǎn) P在點(diǎn) C下方時，P2c2=x( x2+4x)=x23x,oc= 2 x,P2G=OC, .x2-3x= V2x,解得 xi=3+ J2,x2=0(舍去)，把 x=3 + 22.代入 y= x2+ 4x,得 y= (3 + 22.) 2+ 4(3 + 72)=i -2V2, ?2(3 + V2,i -2V2).綜

29、上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(3 , J2,1 +2 /2)或(3 + /2 ,1 第9題解圖10.已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) A( 3,0)、B(0,3)、C(1,0) 三點(diǎn).(I )求拋物線的解析式和它的頂點(diǎn)坐標(biāo)； (n )若在該拋物線的對稱軸 l上存在一點(diǎn)M,使M肝MC的值最 小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)以及 M肝MC的最小值；(出)若點(diǎn)P、Q分別是拋物線的對稱軸 l上兩動點(diǎn)，且縱坐標(biāo)分 別為m,m+ 2,當(dāng)四邊形CBQPW長最小時，求出此時點(diǎn)P、Q的 坐標(biāo)以及四邊形CBQ曲長的最小值.解：(1)將A、B C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 ,'9a - 3b + c = 0/a = -1得c

30、= 3,解得b = -2,a+b+c=0c = 3拋物線的解析式為 y=-x2-2x+ 3, 配方，得y= (x + 1) 2+ 4,即頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,4);(n)如解圖，連接AB交對稱軸于點(diǎn) M,連接MC,由A、C關(guān)于 對稱軸對稱，得AM=MC,MB+ MC=AM- MB=AB,此時，MB+MC勺值最小，由勾股定理，得ab=Joa2 + ob2=3T2,即 M肝 MC=3x 2 ,設(shè)AB的解析式為y=kx + b, 將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-3k + b = 0,解得直線AB的解析式為y=x + 3,當(dāng) x=1 時,y=2,即 M(1,2),此時MB MC的最小值為3 2 ;(出)如解圖，

31、將B點(diǎn)向下平移兩個單位,得D點(diǎn)，連接AD交對稱軸于點(diǎn)P,作BQ/ PD交對稱軸于點(diǎn)Q, . PQ/ BD,BQ/ PD, 四邊形BDPQ1平行四邊形, . BQ=PD,PQ=BD=2, .B0 PC=PDF AP=AD,由勾股定理，得AD二 .AO2 OD2 =、, 32 12 = .10,bc= . OCOB2 =、132 = 10 ,，四邊形 CBQ耐長的最小值=BC+ BQ+ PQ+ PC=Ba PQ+ (BQ+ PC)=BC+ PQ+ AD=Jl0 + 2 + Jl0=2710 +2,設(shè)AD的解析式為y=kx + b,將A、D點(diǎn)坐標(biāo)代入得，-3k b = 0b =1，解得F=3,b 二

32、1直線AD的解析式為y=1x+1,3當(dāng)x= 1時,y=,即3P(-1, 2),3由|PQ|=2,且Q點(diǎn)縱坐標(biāo)大于P點(diǎn)縱坐標(biāo)得 Q（ 1, 8 ）,3故當(dāng)四邊形CBQPW長最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一1, 2）,點(diǎn)q的3坐標(biāo)為（1, 8）,四邊形CBQP長的最小值是 2，10 +2.圖圖第10題解圖11.已知二次函數(shù) y=ax2+bx +c（ awo）的圖象交x軸于A,B兩 點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,4）.（I ）求二次函數(shù)的解析式和直線 BD的解析式；（n ）點(diǎn)P是直線BD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋 物線于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，求線段PM長度的最

33、大值； （出）在拋物線上是否存在異于B,D的點(diǎn)Q,使4BDQ中BD邊上的高為2 V2 ,若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（I ）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x 1）2 + 4, 點(diǎn)B(3,0)在該二次函數(shù)的圖象上， . 0 =a(3 1) +4,解得a=- 1,，二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x+3, 點(diǎn)D在y軸上,，令x=0,解得y=3, 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3),設(shè)直線BD的解析式為y=kx+3,把(3,0)代入得3k + 3=0,解得k= 1, 直線BD的解析式為y=-x+3;(n )設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 m(0< m< 3),2則 P(m, 3),M(m, m+

34、 2m+ 3),PM= _ m + 2m+ 3 ( m+ 3)= m + 3m= (m一 一 )2 + 一 ,24r 3 當(dāng)m=一時,PM取最大值，29 PM長度的取大值為 一；4(出)存在.如解圖，過點(diǎn)Q作QG/ y軸交BD點(diǎn)G,作QHL BD 交BD于點(diǎn)H,設(shè) Q(x, -x2+ 2x + 3),則 G(x, -x+ 3)2 " QG=| x + 2x + 3 ( x+3)|=| x2+ 3x|,.DOB是等腰三角形，/ 3 =45 , Z 2 =Z 1 =45sinQH2QG -2".QG=4,得 | x2+ 3x|=4,當(dāng)x + 3x=4 時,b 4ac=9 16=

35、 7 v 0,方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)一x2+3x= 4 時，解得 Xi= 1,x 2=4,. Q( 1,0),Q 2(4, -5),綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn) Q,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(一1,0)或(4,5).第11題解圖2019-2020 學(xué)年數(shù)學(xué)中考模擬試卷一、選擇題1 .在一次數(shù)學(xué)課上，張老師出示了一個題目：“如圖， ？ABCD的對角線相交于點(diǎn) O,過點(diǎn)O作EF垂直于BD交AB, CD分別于點(diǎn)F, E,連接DF, BE.請根據(jù)上述條件，寫出一個正確結(jié)論. ”其中四位同學(xué)寫出的結(jié)論如下：小青：OE=OF小何：四邊形 DFBE是正方形；小夏：S四邊形AFE=S四邊形FBCE；小雨：/ ACE=/ CAF.

36、這四位同學(xué)寫出的結(jié)論中不正確的是（）D E C落A.小青B.小何C.小夏D.小M2.若一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示， 則下列結(jié)論中，正確的有（）二次函數(shù)y=x2+kx+b的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（0 , 2）;二次函數(shù)y=x2+kx+b的圖象開口向上；二次函數(shù)y=x2+kx+b的圖象對稱軸在 y軸左側(cè)；二次函數(shù)y=x2+kx+b的圖象不經(jīng)過第二象限.yA.1個B.2個C.3個D.4個3 .某店在開學(xué)初用 880元購進(jìn)若干個學(xué)生專用科學(xué)計(jì)算器，按每個50元出售，很快就銷售一空，據(jù)了解學(xué)生還急需3倍數(shù)量這種計(jì)算器，由于量大，每個進(jìn)價(jià)比上次優(yōu)惠 1元，該店又用2580元購進(jìn)所需計(jì)算器，該店第一次購進(jìn)計(jì)

37、算器的單價(jià)為（）A.20 元B.42 元C.44 元D.46 ;4 .下列關(guān)于向量的等式中，不正確的是（）. T T T T T TA OE ED =OD B- AB-BC=CA° T p ?C. AB - AC =CBc F, 4D- AB BA = 0k5 .點(diǎn)（1, -4）在反比例函數(shù) y=的圖像上，則下列各點(diǎn)在x此函數(shù)圖像上的是（）A （1, 4）B.（-1，-8）C. （-1 , -4）D. （426 .若x2 -2px+3q =0的兩根分別是-3與5,則多項(xiàng)式2x2 -4 Px+6q可以分解為（）A. x 3 x -5B.x-3 x 5C. 2x3 x-5D.2 x -3

38、 x 57 .下面的統(tǒng)計(jì)圖表示某體校射擊隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員射擊比賽的成績，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息,卜列結(jié)論正確的是（甲隊(duì)員的射擊成績乙隊(duì)員的射擊成績A.甲隊(duì)員成績的平均數(shù)比乙隊(duì)員的大8 .乙隊(duì)員成績的平均數(shù)比甲隊(duì)員的大C.甲隊(duì)員成績的中位數(shù)比乙隊(duì)員的大D.甲隊(duì)員成績的方差比乙隊(duì)員的大8 .下列說法-5的絕對值是5;-1的相反數(shù)是1;0的倒數(shù)是0;64的立方根是土 4, 1是無理數(shù)，4的算3術(shù)平方根是2,其中正確的個數(shù)為（A.2B. 3C.4D.59 .下列運(yùn)算正確的是()A.x8+x2=x4B. (x2)3=x5C.(-3xy) 2=6x2y2D. 2x2y?3xy=6x 3y210 .某中學(xué)為了了

39、解同學(xué)們平均每月閱讀課外書籍的情況，在A. 5, 5B, 6, 6C. 5, 6D. 6,某年級隨機(jī)抽查了 20名同學(xué)，結(jié)果如下表所示:平均每月閱讀本數(shù)4567人數(shù)2654這些同學(xué)平均每月閱讀課外書籍本數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)為11 .由7個大小相同的小正方體組合成一個幾何體，其俯視圖如圖所示，其中正方形中的數(shù)字表示該位置放置的小正方體的個數(shù)，則其左視圖是()A.c；B.C.D.二、填空題13 .如圖，以半圓中的一條弦BC （非直徑）為對稱軸將弧 BC折疊后與直徑AB交于點(diǎn)D,什AD 2右=一 ,BD 3且 AB= 10,貝U CB14 .空氣中有一種有害粉塵顆粒，其直徑大約為0.000 000017

40、m,該直徑可用科學(xué)記數(shù)法表示為15 .如圖，圖形B是由圖形A旋轉(zhuǎn)得到的，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)16.如圖，在菱形 ABCD4 / DAB=45 , AB=4,點(diǎn)P為線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH AB交直線 AD于點(diǎn)E,將/ A沿PE 折疊，點(diǎn)A落在F處，連接DF, CF,當(dāng) CDF為直角三角形時， 線段AP的長為.17 .如圖，BC ± AE ,垂足為C ,過C作CD y AB ,若 /ECD=48'，則 NB=.18 .如圖，在直角 BAD中，延長余邊 BD到點(diǎn)C,使DC=1BD,2三、解答題19 .某商場銷售一批名牌襯衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售量，

41、增加盈利，盡快減少庫存，商 場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)促銷措施，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件襯衫降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件.(1)求出商場盈利與每件襯衫降價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天盈利達(dá)1200元，那么每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ x x2 -4x +4 上 x2 -1 120 .已知 T = -2十一2 丁一I x -2xx +x J x(1)化簡T；(2)若 x 為 ABC的面積，其中/ C= 90° , / A= 30° , BC =2,求T的值.21 .某水果店經(jīng)銷一批柑橘，每斤進(jìn)貨價(jià)是3元.試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y (斤)與銷售單價(jià) x (元)之間滿足一次函 數(shù)

42、關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，其中 3.5<x<5.5,另外每天還 需支付其他各項(xiàng)費(fèi)用 800元.銷售單價(jià)x (元)3.55.5銷售量y (斤)28001200(1)請求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果每天獲得1600元的利潤，銷售單價(jià)為多少元？(3)當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？22 .某學(xué)校為了了解本校 1200名學(xué)生的課外閱讀的情況，現(xiàn) 從各年級隨機(jī)抽取了部分學(xué)生對他們一周的課外閱讀時間進(jìn)行了調(diào)查，并繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖和圖，根據(jù)相關(guān)信息，prrrrL8 6 4 2 08/ 8高讀疝目擊(1)本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為圖中m的值(2)本次調(diào)查獲取的

43、樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 ,中位數(shù)(3)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)；(4)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校一周的課外閱讀時間大于6h的學(xué)生人數(shù).23 .某市將開展演講比賽活動，某校對參加選拔的學(xué)生的成績按A、日C D四個等級進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì) 表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，成績等級頻數(shù)頻率A4nBm0.51CD15(1)求mr n的值；(2)求“C等級”所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；(3)已知成績等級為 A的4名學(xué)生中有1名男生和3名女生, 現(xiàn)從中隨機(jī)挑選2名學(xué)生代表學(xué)校參加全市比賽， 求出恰好選 中一男生和一女生的概率24 . 一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球， 這些球除顏色外都相同，其中紅球有1個

44、，若從中隨機(jī)摸出一個球，2這個球是白球的概率為 -.3(1)求袋子中白球的個數(shù)；(請通過列式或列方程解答)(2)隨機(jī)摸出一個球后，放回并攪勻，再隨機(jī)摸出一個球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.(請結(jié)合樹狀圖或列表解答)25.已知AB是L。的直徑，弦CD與AB相交，/BAC =40 口.(1)如圖，若 D為弧AB的中點(diǎn)，求 / ABC和N ABD的度(2)如圖，若D為弧AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作L O的切線，與AB 的延長線交于點(diǎn) P,若DP/AC,求/ OCD勺度數(shù).【參考答案】*、選擇題題號123456789101112答案BBCBDCDBDDAA、填空題13.褥-814. 7X1015. (0

45、, 1).16. 應(yīng)或2 +衣17. 42°18. -5三、解答題19. (1) - 2x2+60x+800; (2) 20 元.【解析】【分析】(1) 一件襯衫每降價(jià) 1元，每天可多售出2件，則設(shè)每件降 價(jià)x元時，銷售量為：20+2x,每件盈利：40-x元，所以每天 盈利為：(40-x) (20+2x);(2)此題首先根據(jù)盈利 1200元，列出一元二次方程， 然后解 出.要注意x=10應(yīng)舍去，要考慮符合實(shí)際的要求.【詳解】解(1)設(shè)每件降低x元，獲得的總利潤為 y元 則丫= ( 40-x) (20+2x) =- 2x2+60x+800;(2) .當(dāng) y= 1200 元時，即2x2+

46、60x+800= 1200,Xi = 10, X2= 20,.需盡快減少庫存，每件應(yīng)降低 20元時，商場每天盈利 1200元.【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的和一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用題，正確理解題意，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問 題的關(guān)鍵.此外要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.20. (1) 2x- 3; 473-3.(1)根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得;(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出x的值，代入計(jì)算可得.解(1)X2 -4x +4x2 -2xx2 -1 1+尸x2 +x J xr 2,、(x -2)2(x+1)(x-1)= x x<x(x -2)

47、x(x+1)'=口 3 lx.x x=2x - 3;(2)/ C= 90° , / A= 30° , BC= 2,a BC tan A =ACAC= 2、, 3,x =- 222233 =2j3 , 2當(dāng) x =25/3時，T =2x -3 =2父2曲3=443 .【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合 運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及直角三角形的性質(zhì).21. (1) y = - 800X+5600 ; (2)如果每天獲得 160元的利潤， 銷售單價(jià)為4元；(3)當(dāng)銷售單價(jià)定為5元時，每天的利潤最 大，最大利潤是 2400兀.【解析】【分析】(1)設(shè)y=

48、kx+b,將兩組數(shù)據(jù)代入即可求解(2)設(shè)銷售單價(jià)為x元，用銷售量x每斤利潤-其他各項(xiàng)費(fèi)用 =總利潤即可得出(x- 3) (- 800x+5600) - 800= 1600,求解 即可得到答案(3)由題意可得 w/= (x-3) (- 800x+5600) - 800,整理一 下，在x范圍內(nèi)用二次函數(shù)的最值公式即可求解【詳解】(1)設(shè) y = kx+b,將 x=3.5, y=2800; x= 5.5 , y= 1200 代入，3.5k b =2800得«,5.5k b =1200k = -800解得*,b = 5600則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y= - 800x+5600;(2)由題

49、意，得(x- 3) (- 800x+5600) - 800= 1600, 整理，得 x2- 10x+24=0,解得 xi=4, x2=6. -3.5 <x<5 .5 ,x= 4.答：如果每天獲得1600元的利潤，銷售單價(jià)為 4元；(3)由題意得： w= ( x - 3) (- 800x+5600 ) - 800=-800x2+8000x - 17600=-800 (x - 5) 2+2400, ,3.5<x<5.5 , 當(dāng)x=5時，w有最大值為 2400.故當(dāng)銷售單價(jià)定為 5元時，每天的利潤最大，最大利潤是2400 元.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練運(yùn)用待

50、定系數(shù)法是解題關(guān)鍵22. ( 1) 40, 25; (2) 5, 6; (3)平均數(shù)為 5.8; (4)該校一 周的課外閱讀時間大于 6h的學(xué)生共360人.【解析】【分析】(1)本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)6+15%r 40 (人)，10+40= 25% m= 25;(2)閱讀5小時的人數(shù)最多，所以本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù) 的眾數(shù)5,本次共調(diào)查40名同學(xué)，中位數(shù)為第 20、21位同學(xué) 的平均數(shù)，落在閱讀 6小時段內(nèi)，中位數(shù)為 6;(3)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)_ 6 4+12 5+10 6+8 7+4 8 ,x=5.8 (小時)；40(4)該校一周的課外閱讀時間大于6h的學(xué)生人數(shù)：1200X (1-15%- 30%- 25% = 360 (人).【詳解】(1)本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)6+15%r 40 (人)，10+40= 25% m= 25,故答案為40, 25;(2)閱讀5小時的人數(shù)最多，所以本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù) 的眾數(shù)5,本次共調(diào)查40名同學(xué)，中位數(shù)為第 20、21位同學(xué)的平均數(shù)， 剛好落在閱讀6小時段內(nèi)，因此中位數(shù)為 6,故答案為5, 6;(3)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)6 4+12 5+10 6+8 7+4 8 lcx=5.840答：平土勻數(shù)為5.8