與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析

1、與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析本文結(jié)合例題歸納六類與平行四邊形有關(guān)的常見(jiàn)輔助線，供同學(xué)們借鑒：第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，且,請(qǐng)你以為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) 證明：連結(jié),設(shè)交于點(diǎn)O四邊形為平行四邊形 即四邊形為平行四邊形 第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2，在平行四邊形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)O，如果，那么的取值范圍是（ ）A B C D解：將線段沿方向平移，使得,則有四邊形為平行四邊形,在中, ,，即

2、 解得 故選A第三類：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3已知：如左下圖3，四邊形為平行四邊形 求證： 證明：過(guò)分別作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 則四邊形為平行四邊形 且, 第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4：已知：如右上圖4，在正方形中，分別是、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：證明：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)四邊形為正方形 且, 又, ,則第五類：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5，在平行四邊形中，點(diǎn)為邊上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于，則有,第六類：把

3、對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6已知：如右上圖6，在平行四邊形中，,交于，求解：連結(jié)交于點(diǎn),連結(jié)四邊形為平行四邊形 且 綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對(duì)角線，平移對(duì)角線，延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等圖形，為證明解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。梯

4、形的輔助線 口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹汀Ｆ揭蒲?，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點(diǎn)連線。（一）、平移1、平移一腰：例1. 如圖所示，在直角梯形ABCD中，A90°，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的長(zhǎng). 解：過(guò)點(diǎn)D作

5、DEBC交AB于點(diǎn)E. 又ABCD，所以四邊形BCDE是平行四邊形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。解：過(guò)點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M，在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以BC的取值范圍是：54<BC<54，即1<BC<9。2、平移兩腰： 例3如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90°，AD=1，BC=3，E

6、、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。解：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得EGHEHG=BC=90°則EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)所以3、平移對(duì)角線：例4、已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積解：如圖，作DEAC，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)ABDCEHADBC 四邊形ACED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE中， BD=3，DE=4，BE=5BDE=90°作DHBC于H，則例5如圖，在等腰梯形ABCD中

7、，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：ACBD。解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=，所以AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在ACE中，從而ACCE，于是ACBD。例6如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過(guò)點(diǎn)D作DE/AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ACED是平行四邊形，即。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為

8、三角形。例7如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50°，C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。在BCE中，B=50°，C=80°。所以E=50°，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3例8. 如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論. 解：四邊形ABCD是等腰梯形. 證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，如圖所示. ACBD，ADBC，ABBA，DABCBA. DABCBA. EAEB. 又ADBC，DECE，EDC

9、ECD. 而EEABEBAEEDCECD180°，EDCEAB，DCAB. 又AD不平行于BC，四邊形ABCD是等腰梯形. （三）、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。解：連結(jié)BD，由AD/BC，得ADB=DBE；由BC=CD，得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90°，BD=BD，所以RtBADRtBED，得AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線AC

10、BD，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作EF/AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過(guò)點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是DAB=DBA。又EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例11、在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的長(zhǎng)；(2)梯形ABCD的面積ABCDDEDFD解：作AEBC于E，DFBC于F，又ADBC，四邊形AEFD是矩形， EF=AD=3cmAB=DC在RtABE中，B=60°，BE=1cm

11、AB=2BE=2cm，例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。證：作AEBC于E，作DFBC于F，則易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因?yàn)锳B>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中點(diǎn)，AOD=90°，求證：ABCD=AD。證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90

12、°，AE=DE所以由、得ABCD=AD。2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1）EF/AD；（2）。證：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證AFDCFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是BDG的中位線從而EF/BG，且因?yàn)锳D/BG，所以EF/AD，EF3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求AEB

13、=2CBE。解：分別延長(zhǎng)AE與BC ，并交于F點(diǎn)BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等) AED=FEC （對(duì)頂角相等）DE=EC （E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBEABDCEF例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，E是CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE，理由如下：延長(zhǎng)AE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)FDE=CE，AE

14、D=CEF，DAE=FADEFCEAE=EFABBC， BE=AE例17、已知：梯形ABCD中，AD/BC，E為DC中點(diǎn)，EFAB于F點(diǎn)，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積解：如圖，過(guò)E點(diǎn)作MNAB，分別交AD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)ABCDEFMNDE=EC，ADBCDEMCNE四邊形ABNM是平行四邊形EFAB，S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=15cm2【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1. 若等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長(zhǎng)為_(kāi)cm. 2. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60°，AD2，BC8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（ ）A. 19B. 20C. 21D. 223. 如圖所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，則梯形ABCD的面積為（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160*4. 如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，對(duì)角線AC與BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的長(zhǎng).