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文檔簡介
1、 精誠凝聚=A,=成就夢想 2004年普通高等學校招生福建卷理工類數(shù)學試題一、選擇題:本大題共 12小題,每小題 的.1,復數(shù)(L10的值是1 i第I卷(選擇題共60分)5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求A. - 12. tan15° +cot15B. 1 的值是C. 32D.32B. 2+ V3C. 4D.4.333.命題命題A.4.已知形,p:若 a、bC R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件;q:函數(shù) y= Jpx=1J2 的定義域是(一0°, 1 U 3, +8).則“p或q”為假 8.5且4”為真 C
2、. pM q假 D.p假q真Fi、F2是橢圓的兩個焦點,過 則這個橢圓的離心率是F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,若 ABF2是真正三角,32-.2333m、n是不重合的直線,a、 a , m / 3 ,則 a / 3 ;若 aI5.已知命題的個數(shù)是A. 0B. 1( )_、3D .23是不重合的平面,有下列命題:若3 =n,m / n,則 m / a 且 m / 3 ;若 ( )mU am± a則 a / 3若m 淇中真C. 2D. 36.某校高二年級共有六個班級,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入 的安排方案種數(shù)為4名學生,要安排到該年級的兩個班級且每班安排( )2名,則不同A. A2C2
3、1 八 2八 2B. 一 A6c4222c. A2A22D. 2A27.已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是 y;y=fT(x),則函數(shù)y= 1% x)的圖象是yy.OQ(A)(B)O 18.已知a、b是非零向量且滿足(a 2b ),a , (b 2a)JiA.一671B.一39.若(1-2x)9展開式的第3項為288,則|im(1nf: xA. 2B. 110.如圖,A、B、O為球心,則直線A. arcsin 史1(C)5 二D.6)的值是D.BC=4 ,D.32 二2 二AB=2 , )arccos_3X2 x1C. 一C. arcsin3f(x)=2-|x-4|,則(北u處,河流PQ上n2
4、二C. 一25/ ABC=60 ° ,(D)± b ,則a與b的夾角是2C是表面積為48 Tt的球面上三點, OA與截面ABC所成的角是(B. arccosl!11.定義在 R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當xC3, 5時,A . f(sin )<f(cos )B . f(sin1)>f(cos1) C. f(cos- )<f(sin )12.如圖,的沒岸 選一處B地在A地的正東方向 4 km處,C地在B地的北偏東 30°方向2 kmPQ (曲線)上任意一點到 A的距離比到 B的距離遠2 km.現(xiàn)要在曲線M建一座碼頭,向 B、C兩
5、地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算,從 M到B、M到C修建公 翻點亮心燈/(AvA) 照亮人生 .D. f(cos2)>f(sin2) 精誠凝聚=A,=成就夢想 A . (2 J7 2) a 萬兀C. (27+1) a 萬元路的費用分別是 a萬元/km、2a萬元/km,那么修建這兩條公路的總費用最低是()B. 5a萬元D. (2 <3 +3) a 萬元第II卷(非選擇題共90分)二、填空題:本大題共 4小題,每小題4分,共16分,把答案填在答題卡的相應位置 13,直線x+2y=0被曲線x2+y2-6x- 2y15=0所截得的弦長等于 .1 x -1 (x = 0)14 .設(shè)函數(shù)f(x)=(;在x=
6、0處連續(xù),則實數(shù)a的值為a x (x=0)15 .某射手射擊1次,擊中目標的概率是 0.9.他連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結(jié)論:他第 3次擊中目標的概率是 0.9;他恰好擊中目標 3次的概率是0.93X0.1; 他至少擊中目標1次的概率是1-0.14其中正確結(jié)論的序號是 (寫出所有正 確結(jié)論的序號).16 .如圖1,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起, 做成一個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的底面邊長為 時,其容積最大. 三、解答題:本大題共 6小題,共74分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17 .(本小題滿分
7、12分)_設(shè)函數(shù) f(x)=a b ,其中向量 a=(2cosx, 1), b =(cosx, v'3sin2x), xC R.(i)若 f(x) =1 - /3且 x6 - -,求 x;- 五m、n的值.(n)若函數(shù) y=2sin2x的圖象按向量c =(m , n)(|m|<鼻)平移后得到函數(shù) y=f(x)的圖象,求實數(shù)18 .(本小題滿分12分)10道試題中,甲能答對其中的6題,乙能答又其中的 8甲、乙兩人參加一次英語口語考試,已知在備選的題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試,至少答對 2題才算合格.(I )求甲答對試題數(shù) E的概率分布及數(shù)學期望;(n)求甲、乙兩
8、人至少有一人考試合格的概率19 .(本小題滿分12分)在三錐S-ABC中, ABC是邊長為4的正三角形,平面 SAC,平面SA=SC=2 J3 , M、N 分別為 AB、SB 的中點.(I )證明:AC XSB;(n )求二面角 NCM B的大??;(出)求點B到平面CMN的距離.20 .(本小題滿分12分).若不能進行技術(shù)改造,某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元,因設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元,今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造,預測在1未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第n年(今年為第一年)的利潤為500(1+寸)萬元(n為正整
9、數(shù)).(I )設(shè)從今年起的前 n年,若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元,進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金),求An、Bn的表達式;(n)依上述預測,從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤?21 .(本小題滿分14分) 2x - a已知f(x)=、(xCR)在區(qū)間1, 1上是增函數(shù).x 2(I )求實數(shù)a的值組成的集合 A;(n)設(shè)關(guān)于x的方程f(x) =1的兩個非零實根為xx2.試問:是否存在實數(shù) m,使得不等式m2+tm+1 > x1xx2|對任意aCA及tC 1, 1恒成立?若存在,求 m的取值范圍;若
10、不存在,請說明理由22.(本小題滿分12分)如圖,P是拋物線C: y=1x2上一點,直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.2(I )若直線l與過點P的切線垂直,求線段 PQ中點M的軌跡方程;I ST I I ST I(n )若直線l不過原點且與 x軸交于點S,與y軸交于點T,試求11十1的取值范圍|SP| |SQ|翻點亮心燈 Z/(AvA)照亮人生 精誠凝聚=A,=成就夢想 2004年普通高等學校招生福建卷理工類數(shù)學試題參考答案 翻點亮心燈/(AvA)照亮人生1.A2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C8.B 9.A 10.D 11.D 12.B二、13.4.514.1/215.1 ,
11、 316.2/317.本小題主要考查平面向量的概念和計算,12分.三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能,考查運算能力.滿分解:(I )依題設(shè),f(x)=2cos2x+ 73jisin2x=1+2sin(2 x+).JT由 1+2sin(2x+)=1 *3 ,得 sin(2JT.3x + ?)=-Tji- WxWrtrtn即 x=- 一4(n)函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m, n)平移后得到函數(shù) y=2sin2(x m)+n的圖象,即函數(shù)y=f(x)的圖象.nf(x)=2sin2( x+ 一 )+1. |m|<,2運用數(shù)學知識解決問題的能力E的概率分布如下:.滿分12分.01
12、 123P1311301026甲答對試題數(shù)E的數(shù)學期望18.本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識, 解:(I )依題意,甲答對試題數(shù)E E =0X -+1 X +2X +3X3010(H)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為213C6 c4 c660 20 2A、B,則P(A尸C130120 13P(B尸213C8 c2 c856 56 14G012015因為事件A、B相互獨立,方法一:.甲、乙兩人考試均不合格的概率為P( A B )=P( A )P( B )=1 - 2 )(1 )=31545.甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1 - P( A B)=1 -=.45 45答:甲、乙兩人至少有一
13、人考試合格的概率為4445方法二:.甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為P=P(A - B)+P(A - B)+P(A - B尸P(A)P( B )+P( A )P(B)+P(A)P(B) = 2X±+1><H+2><H=44 .315 315 315 45精誠凝聚 =A_A=成就夢想 _HIII答:甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為444519.本小題主要考查直線與直線,直線與平面,二面角, 推理能力.滿分12分.解法一:(I)取AC中點D,連結(jié)SD、DB. SA=SC , AB=BC , ACXSD 且 ACBD,AC,平面 SDB,又SB匚平面SDB,
14、 ACXSB.(n ) AC,平面 SDB , AC u 平面 ABC , 平面 SDB,平面 ABC.過N作NE,BD于E, NE,平面 ABC ,過E作EFCM于F,連結(jié) NF, 則 NFL CM. / NFE為二面角 N CM B的平面角. 平面 SAC,平面 ABC , SDXAC ,. SDL平面 ABC. 又. NEL平面 ABC , NE / SD.點到平面的距離等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和邏輯 11 O 1 1 -SN=NB, NE= - SD= - JSA2 -AD2 =-,12-4*2 ,且 ED=EB.222在正 ABC中,由平幾知識可求得 EF= 1 MB= 1 ,
15、42在 RtNEF 中,tan/NFE=皿=2及EF ',二面角 N CMB的大小是 arctan2 <2 .3(出)在 RtNEF 中,NF= qEF2 +EN2 =,2Sacmn = _ CM - NF=3 , Sacmb = _ BM - CM=2 3 3 . 222設(shè)點B到平面CMN的距離為h,1. 1- Vb-cmn =V n-cmb , NE _L 平面 CMB,Sacmn ' h- - Sacmb , NE,33,h-ScMB NE-4'2 .即點S'CMN3B到平面CMN的距離為解法二:(I )取 AC中點O,連結(jié)OS、OB. SA-SC
16、, AB-BC , . ACSO 且 ACBO. 平面 SAC,平面 ABC ,平面 SAC n平面 ABC-AC SO上面 ABC,.二 SOX BO.如圖所示建立空間直角坐標系Oxyz.則 A (2, 0, 0), B (0, 2 <3 , 0) , C ( 2, 0, 0),S (0, 0, 2丁2), M(1 , <3 , 0), N(0 ,石,4). . AC = ( 4, 0, 0), SB- (0, 2 屈,2五),AC SB- (4, 0, 0) (0, 2 73, 2衣)-0, ACXSB.翻點亮心燈Z/(AvA)照亮人生 精誠凝聚=A,=成就夢想 翻點亮心燈z/
17、(AvA)照亮人生(n)由(I)得 CM = (3,J3,0),MN = ( 1,0,J2).設(shè)n=(x,y, z)為平面 CMN的一個法I.CM - n=3x+、3 y=0,則 取 z=1,則 x= ,2 , y=- <6 ,M MN - n=-x+V2 z=0,. n=(聞,-卮 1),又OS=(0, 0, 2J2)為平面ABC的一個法向量,cos(n,,二面角(ID)由OS尸 n OS.|n|OS| 31N CMB 的大小為 arccos-3(I)(n)得 mB= ( 1, J3, 0), n= ( J2, <6 , D 為平面 CMN 的一個法向量,點B到平面CMN的距離d
18、= |n MB | = llZ |n|3 ,20.本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識,考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力 滿分12分.解:(I )依題設(shè), A n=(500 20)+(500 40)+ +(500 20n)=490n 10n2 ;111500 B n=500(1+ )+(1+=)+ +(1+ =)600=500n :- - 100.2222(n) BnAn=(500n 絆一100) -(490n-10n2)2n2500=10n +10n - 100=10n(n+1)2n50-10.2n因為函數(shù)y= x(x+1)當 1 w nW 3 時,n(n+1)501
19、0在(0, +8)上為增函數(shù),2n 10W 12 10<0;2n8“25050當 n>4 時,n(n+1) -10>20-10>0.216,僅當 n>4 時,Bn>An.答:至少經(jīng)過4年,該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤21.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的應用和不等式等有關(guān)知識,數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用解:(I )f/(x)=一一 24 2ax - 2x22(x2 2)222(x ax 2)22(x2 2)2, f(x)在1, 1上是增函數(shù), f/ (x)>0
20、對 xC -1, 1恒成立,即x2ax2W0對xC1, 1恒成立.設(shè)中(x)=x2- ax-2,方法cp(1)=1-a-2<0?(-1) =1 +a-2<0對xC 1, 1, f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當A= a|- 1<a< 1.方法二:a=1 時,(-1)=0 以及當 a=1 時, (1)=0精誠凝聚 =A_A=成就夢想 _HIIIa 一a 一->0 <0-2或 (2(-1) =1 a -2 < 0(1) =1-a-2w00 w a w 1或 一1 w a w 0:對xC 1, 1, f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當 A= a| 1w aw 1.a=1
21、 時)f,( 1)=0 以及當 a=-1 時,f,(1)=0(n ) 由 =一, 得 x ax 2=0, =a +8>0x 2 x.X1, x2是方程 x2ax 2=0 的兩非零實根,x1+x2=a, x1x2=2,從而 x1一x2|=%;'(x1 +x2)2 -4x1x2 =qa2 +8.,一 1< a< 1, ' |x1-x2|= va +8 0 3.要使不等式 m2+tm+1刁x1 一x2|對任意aCA及tC1, 1恒成立,當且僅當 m2+tm+1 >3對任意tC1, 1恒成立,即m2+tm 2>0對任意tC1, 1恒成立.設(shè) g(t)=m2
22、+tm 2=mt+(m 2- 2),方法一: v g(- 1)=m2- m- 2> 0, g(1)=m 2+m -2>0,y m>2 或 mW 2.所以,存在實數(shù) m,使不等式m2+tm+1引xi x2|對任意a C A及t C 1, 1恒成立,其取值范圍是m|m >2, 或 m< 2.方法二:當m=0時,顯然不成立;當m w 0時, y m>0 , g( 1)=m2 m 2> 0 或 m<0 , g(1)=m2+m 2> 0u m>2 或 mW 2.所以,存在實數(shù) m,使不等式 m2+tm+1 >|x 一x2|對任意aCA及t
23、C-1, 1恒成立,其取值范圍是m|m>2, 或 m< 2.22.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識,求軌跡方程的方法,解析幾何的基本思想和綜合解題能力滿分12分.解:(I)設(shè) P(x1,y1),Q(&, y2), M(x0, y),依題意 xw0,%>0, y2>0.由y= x2,2得 y/ =x.,過點P的切線的斜率k«= x1, 11.直線l的斜率k=一=-,k切小直線 l 的方程為 y xi2= (x xi), 2 x1方法一:聯(lián)立消去y,得x2+ x - xi2_ 2=0.XiM是PQ的中點x1 x211 21x0= =-, y0=
24、Xi (x0 Xi)2Xi2 Xi1消去 xi,得 y0=x0 +2+1(x0W0),2x0 o1 PQ中點M的軌跡萬程為 y=x2+ -+l(x 0).2xo方法二:1 2 一 12 X1 x2由 y1=一Xi ? y2= X2 ? xo= ?2 22得 y1 y2= X12 X22= (X1 + X2)(X1 X2)=X0(X1 X2),222川| Y _ y1 一 y2 _lx _1人Xo k 1 5X1 - X2X1-1 X1 ,Xo將上式代入并整理,得21yo=Xo + 2- +1(X0 豐 0),2Xo1PQ中點M的軌跡萬程為 y=X + -+1(x o).2Xo(n)設(shè)直線 l:y=kx+b,依題意 kwo, bw。,則 T(o, b).分別過P、Q作PP/,x軸,QQ/,y軸,垂足分別為 PI Q-則|ST| . |ST| |OT| |OT|b|b|SP| |SQ| |PP| |QQ| |y1 | |y2由 丫=;*2 , y=kx+b 消去
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