一道高中數(shù)學競賽題在圓錐曲線中的推廣

1、一道高中數(shù)學競賽題在圓錐曲線中的推廣 1991年四川省高中數(shù)學聯(lián)合競賽決賽第四題是一道平面幾何題.原題：如圖1，設是的BC邊外的旁切圓，D、E、F分別是與BC、CA和AB的切點，若OD與EF交于K，求證：AK平分BC. 貴州教育學院李小雪先生應用射影幾何的觀點研究了此題，給出了純幾何證法的證明.湖南師范大學數(shù)學系沈文選教授在他的近作平面幾何證明方法全書三次證明此題，方法是三角法、射影變換法、應用張角定理.由此我們可以看出此題是一道有背景的重要的幾何題.我們擬給出解析證法，并把它推廣到圓錐曲線中去.在證明過程中，要用到以下引理：（1）.若點為圓外一點，過點引圓的兩條切線方程為：；切點弦的方程為：

2、.（2）. 若點為橢圓外一點，過點引橢圓的兩條切線方程為：；切點弦的方程為：.（3）. 若點為雙曲線外一點，過點引雙曲線的兩條切線方程為：；切點弦的方程為：.（4）. 若點為拋物線外一點，過點引拋物線的兩條切線方程為：；切點弦的方程為：.1.競賽題的解析證法證明：如圖2，以旁切圓的圓心O為原點，直線OD為軸，過O點垂直于OD的直線為軸.建立直角坐標系，設旁切圓方程為，則點D的坐標為（0，R），直線BC的方程為.設點A的坐標為，則有切點弦EF的方程為兩條切線AF、AE的方程為在方程中，令，得，則點的坐標為.直線的方程為：.將代入方程解得.設與交于點，點的坐標為.把代入方程并整理得：.設點、的坐標

3、分別為，由韋達定理得，中點的橫坐標為，的中點坐標為.與點的坐標相同.所以點為的中點，即直線平分.2.競賽題在圓錐曲線中的推廣 定理1：如圖3，橢圓旁切于的邊外，D、E、F分別是橢圓與BC、CA和AB的切點，若OD與EF交于K，則有AK平分BC.證明：設點A坐標為，點D坐標為，AK與BC相交于點M.則過點D的切線方程為：由引理2可知過點A的兩切線方程為：切點弦EF的方程為直線DO的方程為：聯(lián)立、可得K點坐標為： .直線AK的方程為：聯(lián)立可得點M的橫坐標：設點B、C的橫坐標為、，B、C的中點橫坐標為，聯(lián)立可得關于的一元二次方程：由韋達定理可得點M與B、C中點橫坐標相等，又都在切線方程上，則它們的縱

4、坐標也相等，這兩點是同一點，所以M為線段BC的中點，即直線AK平分BC.定理2：如圖4，雙曲線旁切于的邊外，D、E、F分別是雙曲線與BC、CA和AB的切點，若OD與EF交于K，則有AK平分BC. 定理2的證明與定理1的證明類似，由于篇幅所限，不再贅述. 定理3：如圖5，拋物線旁切于ABC的BC邊外，D、E、F分別是拋物線與BC、CA和AB的切點，過點D作x軸的平行線與EF交于點K，則有AK平分BC.證明：設點A坐標為，點D坐標為，AK與BC相交于點H.則有，過點D的切線方程為： 由引理2可知過點A的兩切線方程為 切點弦EF的方程為聯(lián)立 可求得點K坐標為：，進而可得直線AK方程為： 聯(lián)立可得點H的橫坐標：設點B、C的橫坐標為、，B、C的中點橫坐標為，聯(lián)立可得關于x的一元二次方程： 由韋達定理可得即點H與B、C中點橫坐標相等，又都在切線方程上，則它們的縱坐標也相等，這兩點是同一點，所以H為線段BC的中點，即直線AK平分BC.若是的內切圓，其他條件不變，結論依然成立，用解析法證明的步驟完全相同.這是證明一類三角形旁切圓、內切圓問題的方法之一.這種方法的優(yōu)點是思路統(tǒng)一,可以推廣到圓錐曲線中.參考文獻:1.