九年級上數學證明三總復習

1、九年級數學（上）第三章 特殊平行四邊形知識梳理及習題（有答案） 一、本章重難點：重點：進一步掌握特殊四邊形的性質和判定以及綜合證明方法。難點：運用綜合法證明。二、四邊形之間的關系：三、幾種特殊四邊形之間的關系：矩形平行四邊形正方形菱形四、幾種特殊四邊形的性質：邊角對角線對稱性平 行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱菱 形對邊平行，四條邊都相等對角相等兩條對角線互相垂直平分，每條對角線平分一組對角軸對稱，中心對稱矩 形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等軸對稱，中心對稱正方形對邊平行，四條邊都相等四個角都是直角兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對

2、角軸對稱，中心對稱等 腰梯 形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等兩條對角線相等軸對稱五、幾種特殊四邊形的常用判定方法：平 行四邊形（1）兩組對邊分別平行；（2）兩組對邊分別相等；（3）一組對邊平行且相等；（4）兩條對角線互相平分；（5）兩組對角分別相等。菱 形（1）四條邊都相等；（2）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等；（3）是平行四邊形，并且兩條對角線互相垂直。矩 形（1）有三個角是直角；（2）是平行四邊形，并且有一個角是直角；（3）是平行四邊形，并且兩條對角線相等。正方形（1）是矩形，并且有一組鄰邊相等；（2）是菱形，并且有一個角是直角;(3)對角線互相垂直的矩形;( 4)對角線相等的菱

3、形.等 腰梯 形（1）是梯形，并且同一底上的兩個角相等；（2）是梯形，并且兩條對角線相等。六、發(fā)現規(guī)律：1、順次連結四邊形各邊中點所得到的四邊形是一個怎樣的圖形。這由什么條件來決定？有何規(guī)律？（1）、順次連結對角線相等的四邊形各邊的中點得到一個 菱形；（2）、順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得到一個矩形；（3）、順次連結對角線相等且垂直的四邊形各邊的中點得到一個正方 形；（4）、順次連結對角線不相等也不垂直的四邊形各邊的中點得到一個平行四邊形。2、順次連結平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點。分別得到（ 平行四邊形 ）、（菱形）、（矩形 ）、（正方形）、（菱形）。七、【例題經

4、典】會用“階梯型”思路判定特殊平行四邊形例1（2005年黃岡市）如圖，在RtABC中，ACB=90°，BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E，又點F在DE的延長線上，且AF=CE求證：四邊形ACEF為菱形 【分析】欲證四邊形ACEF為菱形，可先證四邊形ACEF為平行四邊形，然后再證ACEF為菱形，當然，也可證四條邊相等，直接證四邊形為菱形例2如圖，BD是ABC中ABC的平分線，DE/BC交AB于E，DF/AB交BC于F試判斷四邊形BFDE的形狀并說明理由分析：此題條件中有角分線有平行線，一般會有等腰三角形存在解：由DE/BC，DF/AB，得到DE/BF，D

5、F/EB，2=3因此四邊形EBFD是平行四邊形又BD平分ABC，則1=2可得1=3=2因此BE=ED所以四邊形BFDE是菱形例3已知如圖，平行四邊形ABCD的 對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F試判斷四邊形AFCE的形狀并說明理由解：由于EF是AC的垂直平分線，得到AE=EC，1=2由平行四邊形ABCD可得AE/FC，因此1=3，所以3=2，在直角三角形EOC和FOC中，OEC=OFC，得到CE=CF，因此AE=CF，由AE=FC且AE/FC得到四邊形AFCE是平行四邊形由于一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，因此四邊形AFCE是菱形矩形、菱形的綜合應用例4（2006年青島市）如圖

6、，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AGDB交CB的延長線于G（1）求證：ADECBF；（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結論 【解析】（1）四邊形ABCD是平行四邊形 1=C，AD=CB，AB=CD 點E、F分別是AB、CD的中點， AE=AB，CF=CD AE=CF ADECBF （2）當四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形 四邊形ABCD是平行四邊形， ADBC AGBD， 四邊形AGBD是平行四邊形 四邊形BEDF是菱形， DE=BE AE=BE， AE=BE=DE 1=2，3=4 1+2+3+4=180

7、6;， 22+23=180° 2+3=90° 即ADB=90°， 四邊形AGBD是矩形例5如圖，點M是矩形ABCD的邊AD中點，點P是BC邊上一動點，PEMC，PFBM，垂足分別為E、F，（1）       當四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長與寬應滿足什么條件？（2）       在（1）中，當點P運動到什么位置時，四邊形PEMF變?yōu)檎叫?？為什么？分析：?）四邊形PEMF中已經有兩個直角了，若為矩形，還需再有一個直角，即BMC=900

8、由于矩形是軸對稱圖形，因此AMB=DMC=450，即AB=AM=MD（2）四邊形PEMF為正方形，只需PE=PF，因此P是BC中點解：（1）當BC=2AB時，四邊形PEMF為矩形由于M是AD中點，矩形ABCD，得到三角形ABM和DCM都是等腰直角三角形，AMB=DMC=450因此BMC=900，又PEMC，PFBM，所以四邊形PEMF為矩形（2）當P為BC中點，BC=2AB時，矩形是軸對稱圖形，BM=CM又三角形PBM和PCM的面積相等，因此得到PE=PF，所以四邊形PEMF為正方形會解決與特殊平行四邊形有關的動手操作問題例6（2005年吉林省）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，

9、沿EF折疊后，點C落在AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H，BPE=30° （1）求BE、QF的長（2）求四邊形PEFH的面積 【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點，要想解好此類題，考生必須有想像力，抓住折疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時需要考生剪一個四邊形實際折疊一下幫助理解會解決與特殊平行四邊形有關的計算問題例7已知如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE求證：AM=BE分析：菱形的四條邊都相等，且對角線互相垂直且平分一組對角因此在解決菱形的有關問題時，經常要用到菱形的這些特殊性質解：設BAE為x度，EAD為2x度由

10、菱形ABCD可知AD/BC且BD平分ABC，則AEB=EAD=（2x）0，ABD=DBC=（x）0在三角形ABE中，x+2x+2x=180 x=36ABM中，ABM=BAM=360 ，AM=BMEBM中，BME=BEM=720 ，BM=BE所以AM=BE八、【考點精練】一、基礎訓練1如圖1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面積為_2（2006年黃岡市）如圖2,將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線L向右滾動（不滑動），當正方形滾動兩周時，正方形的頂點A所經過的路線的長是_cm (1) (2) (3)3用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：平行四邊形；矩形；菱形；

11、正方形；等腰三角形；等邊三角形；一定可以拼成的是_（只填序號）4如圖3，點E、F是菱形ABCD的邊BC、CD上的點，請你添加一個條件（不得另外添加輔助線和字母），使AE=AF，你添加的條件是_5（2006年煙臺市）如圖4,先將一矩形ABCD置于直角坐標系中，使點A與坐標系的原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖所示），再將此矩形在坐標平面內按逆時針方向繞原點旋轉30°（如圖所示），若AB=4，BC=3，則圖和圖中，點B的坐標為_，點C的坐標為_ (4) (4) (5) (6)6（2006年廣安市）正方形具有而菱形不一定具有的性質是（ ） A對角線相等 B對角線互相垂直平分

12、C對角線平分一組對角 D四條邊相等7如圖5，在菱形ABCD中，E、F分別是AB，AC的中點，如果EF=2，那么菱形ABCD的周長是（ ） A4 B8 C12 D168（2006年江陰市）已知如圖6，則不含陰影部分的矩形的個數是（ ） A15 B24 C25 D169（2006年濰坊市）如圖7，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形ABCD，圖中陰影部分的面積為（ ）A B C1- D1- (7) (8)10（2006年淄博市）將一矩形紙片按如圖8方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后AB與EB在同一條直線上，則CBD的度數（ ） A大于90° B等于90

13、6; C小于90° D不能確定二、能力提升11如圖，矩形ABCD中，M是AD的中點 （1）求證：ABMDCM；（2）請你探索，當矩形ABCD的一組鄰邊滿足何種數量關系時，有BMCM成立，說明你的理由12.（2010年廣東省中考題）如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1邊長按原法延長一倍得到新正方形A2B2C2D2（如圖（2）；以此下去，則正方形A4B4C4D4的面積為 第12題圖（2）第12題圖（1）13（2010年珠海市）如圖，P是菱形ABCD對角線BD上一點，PEAB于點E，PE4cm，則點P到BC的距

14、離是_cm. 14已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形三、應用與探究15（2006年河南省）如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=2，BC=3D是BC邊上一點，直線DEBC于D，交AB于E，CFAB交直線DF于F設CD=x （1）當x取何值時，四邊形EACF是菱形？請說明理由； （2）當x取何值時，四邊形EACD的面積等于2？16. （2008年佛山市）如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側的等邊三角形.(1) 當ABAC時，證明四邊形ADFE為平行四邊形；第16題圖EFDABC(2) 當AB = A

15、C時，順次連結A、D、F、E四點所構成的圖形有哪幾類？直接寫出構成圖形的類型和相應的條件.17. （2009年廣東?。┤鐖D所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，兩條對角線相交于點O.以OB、OC為鄰邊作第1個平行四邊形，對角線相交于點；再以為鄰邊作第2個平行四邊形，對角線相交于點；再以為鄰邊作第3個平行四邊形依此類推.（1）求矩形ABCD的面積；（2）求第1個平行四邊形 、第2個平行四邊形 和第6個平行四邊形的面積.第17題圖ABCDEF第18題圖18（2010年廣東?。┤鐖D，分別以RtABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊ACD、等邊ABE。已知BAC=30º，EFAB，

16、垂足為F，連結DF。（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形。答案：例題經典 例3（1）BE=2，QF=1 （2）7考點精練 196 216+16 3 4BAE=DAF（答案不唯一） 5B（4，0），（2，2），C（4，3），（） 6A 7D 8C 9C 10B 11（1）略 （2）AB=AD時，BMCM 1262513.4 14證AOECOF即得AEFC四邊形AFCE是平行四邊形又ACEF，四邊形AFCE是菱形 15解：（1）ACB=90°，ACBC又DEBC，EFAC又AECF，四邊形EACF是平行四邊形當CF=AC時，四邊形ACFE是菱形此時，CF=AC=

17、2，BD=3-x，tanB=，ED=BD·tanB=（3-x），DF=EF-ED=2-（3-x）=x在RtCDF中，CD2+DF2=CF2，x2+（x）2=22，x=±（負值不合題意，舍去），即當x=時，四邊形ACFE是菱形 （2）由已知得，四邊形EACD是直角梯形，S梯形EACD=×（4-x）·x=-x2+2x依題意，得-x2+2x=2，整理得，x2-6x+6=0解之，得x1=3-，x2=3+x=3+>BC=3，x=3+舍去，當x=3-時，梯形EACD的面積等于2第16題圖EFDABC16(1) ABE、BCF為等邊三角形，AB = BE = AE，BC = CF = FB，ABE = CBF = 60°.FBE = CBA. 1分FBE CBA. EF = AC. 2分又ADC為等邊三角形，CD = AD = AC.EF = AD.3分同理可得AE = DF. 5分