二重極限與累次極限的關(guān)系與應(yīng)用論文.doc

1、大理學(xué)院本科畢業(yè)論文二重極限與累次極限的關(guān)系及其應(yīng)用The relationship and application of theDouble limit and Repeatedlimit學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院項目組成員： 潘逢生指導(dǎo)教師 ： 王紹榮專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級（班級）：06級數(shù)本一班起止日期 ： 2009-6-25至2009-12-20制表日期：2009年 10 月 1 日摘要本文主要從累次極限與二重極限的定義出發(fā)，總結(jié)了累次極限與二重極限存在性的所有可能發(fā)生的情況和有關(guān)的定理，對二重極限與累次極限的關(guān)系作了一個比較完整的研究。關(guān)鍵詞二重極限；累次極限；存在性；一致趨向

2、AbstractIn this paper, accordingto definition of the repeated limit and the doublelimit, summed up all the possible presence ofthe repeated limit and the double limitinexistence and some related theorems, have a more complete study of the doublelimit and the repeated limitin existence.KeywordsDouble

3、 limit; repeated limit; existence; the same trend目錄1.前言12. 二重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系.13.二重極限與累次極限存在性的七種情況33.1累次極限都存在且相等，但二重極限不存在.33.2累次極限都不存在，二重極限存在.43.3一個累次極限存在，另一個累次極限不存在，二重極限存在.43.4一個累次極限存在，另一個累次極限不存在，二重極限不存在.53.5累次極限都存在但不相等，二重極限一定不存在.53.6累次極限與二重極限都存在且一定相等.63.7二重極限與累次極限都不存在.64.關(guān)于二重極限與累次極限的幾個定理和問題.74.1二重極限與

4、累次極限存在必相等定理.74.2二重極限存在時累次極限也存在的條件8參考文獻.10致謝.111前言本文以二重極限與累次極限的關(guān)系為研究對象，原因在于它不僅對多元函數(shù)極限的求法和極限思想有很大的啟發(fā)作用而且對多元函數(shù)的其他性質(zhì)與應(yīng)用也有很大的幫助，是研究多元函數(shù)的連續(xù)性，可積性，可微性的重要工具。選擇二元函數(shù)作為多元函數(shù)研究的代表是因為二元函數(shù)具有可代表性與研究的便捷性。二元函數(shù)極限是一元函數(shù)極限的推廣，而又不同于一元函數(shù)的極限，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的存在性沒有必然的蘊含關(guān)系，但是在不同的條件下，它們存在著密切的關(guān)系，如：當(dāng)累次極限存在但不相等時二重極限一定不存在。二重極限與累次極限之間

5、的關(guān)系是一個復(fù)雜的問題，若能弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，這將會對多元函數(shù)的微分計算，積分計算和極限計算發(fā)揮很大的作用，也有助于更清楚的了解多元函數(shù)的連續(xù)性，可積性，可微性，一致收斂性之間的聯(lián)系與區(qū)別，對多元函數(shù)的研究具有重要意義。2二重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系二元函數(shù)極限是一元函數(shù)的推廣，研究二元數(shù)的極限對研究函數(shù)的連續(xù)性，可微性及可積性都有很大的幫助，研究二元函數(shù)的極限首先要從它的定義出發(fā)，二元函數(shù)的極限有二重極限與累次極限之分，這是兩個不同的獨立概念，我們先來看看它們的定義.定義1.設(shè)為定義在上的二元函數(shù).為的一個聚點，是一個確定的實數(shù)，若對任給正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)時，都有.則稱在上

6、當(dāng)時以為極限，記作：或定義2設(shè),是的聚點，是的聚點，二元函數(shù)在集合 上有定義，若對每一個，存在極限 ,由于此極限一般與有關(guān)，因此記作：而且進一步存在極限則稱此極限為二元函數(shù)先對后對的累次極限.并記作：.類似可以定義先對后對的累次極限.從所給定義出發(fā)，可知二重極限 中的兩個變量 要求同時以任何方式，即從任何路徑趨向于點而得到的極限.其關(guān)鍵在于路徑的任意性與兩變量的同時性。對于累次極限所不同的是自變量是依一定先后順序相續(xù)趨向于的整個趨近過程分為兩個步驟，既可以先后，也可以先后時對的極限，我們從定義中可以知道二重極限與累次極限定義上就是獨立的，這是它們的存在性沒有必然的蘊含關(guān)系的最終原因，要研究它們

7、之間的關(guān)系是一個比較復(fù)雜的問題，所以我們在研究它們關(guān)系之前要對它們各自的定義作充分的理解.函數(shù)在一點的二重極限涉及該點鄰域內(nèi)（僅考慮函數(shù)定義域的）所有點，而累次極限則不同，它是每次僅考慮一個變量的變化（其余變量暫時看作常數(shù)）的一元函數(shù)極限.例如首先只考慮（暫時看作常數(shù)）有其次令有這個累次極限對任意的，動點 沿著折線無限趨近于如下圖（1）所示P(X,Y)B（X,Yo）C(Xo,Y)A(Xo,Yo) XOY圖（1）同理:對于另一累次極限對任意, 動點沿著折線無限趨近于如圖（1）示，這時需要注意的是，若累次極限存在，則在路徑：中的階段必須有的存在，而且，也未必與相同，某些時候，這一累次極限在第一階段

8、就不存在了.例如顯然在時，顯然是不存在的，當(dāng)然在階段的極限也就不存在的，即累次極限是不存在的，盡管存在，但是在：路線上，極限卻是存在的。因為若想在上無限趨于，只需要取 段就可以了，不考慮段，并不影響極限 的值。另一方面，注意到由兩邊夾法則知 ，當(dāng)然有此例說明 與 是不同的，而且只有當(dāng) 存在時，才可能有 存在.對于 與 的理解類似.從上面的分析我們知道二重極限與累次極限存在的基礎(chǔ)是不同的.3二重極限與累次極限可能發(fā)生的七種關(guān)系由函數(shù)的二重極限與累次極限的定義，發(fā)現(xiàn)二重極限與累次極限是兩個獨立的概念，兩者的存在性沒有必然的蘊含關(guān)系，但可以總結(jié)出二重極限與兩個累次極限間的所有可能存在的關(guān)系，共有七種

9、.(1)累次極限都存在且相等，但二重極限不存在；(2)累次極限都不存在，二重極限存在；(3)一個累次極限存在，另一個累次極限不存在，二重極限存在；(4)一個累次極限存在，另一個累次極限不存在，二重極限不存在；(6)累次極限都存在但不相等，二重極限一定不存在；(7)累次極限與二重極限都存在且一定相等.3.1累次極限都存在且相等，但二重極限不存在例1.討論二元函數(shù)在原點（0.0）處的二重極限與累次極限.解：當(dāng)動點沿直線而趨于定點（0.0）時，由于此時因而有此結(jié)果可以看出極限值與有關(guān)，所以此函數(shù)二重極限不存在.當(dāng)時有從而有同理可得即此函數(shù)累次極限存在且均為0.此例說明累次極限存在且相等，并不能保證二

10、重極限的存在，當(dāng)然有可能存在.3.2累次極限都不存在，二重極限存在例2.考察二元函數(shù)在原點處的二重極限與累次極限是否存在.解：由于有界變量與無窮小量的乘積仍為無窮小量，可得對任意給定的由于不存在，所以不存在。同理：不存在，也不存在.即兩個累次極限都不存在.此例說明了函數(shù)的二重極限存在，而兩個累次極限可以不存在，這也說明了累次極限并不是二重極限的特例.3.3一個累次極限存在，另一個累次極限不存在，二重極限存在例3.考察函數(shù)在原點（0.0）的二重極限與累次極限.解：因為所以二重極限而累次極限又因為括號中的極限不存在，所以這個累次極限不存在，另一個累次極限上例說明了二重極限存在，也不能保證累次極限存

11、在，當(dāng)然更不能保證兩累次極限相等，因為它連累次極限中的任何一個的存在性都無法保證，二重極限的存在性與累次極限的存在性無蘊含關(guān)系，而且可以知道兩個累次極限的存在性也不存在蘊含關(guān)系.3.4一個累次極限存在，另一個累次極限不存在，二重極限不存在例4.求函數(shù)在原點處的二重極限與累次極限的存在性.解：二重極限的存在性參考例1可得，函數(shù)的二重極限不存在.累次極限的存在性當(dāng)時，由于 不存在，所以 不存在.當(dāng)時有所以由此例可以看出二重極限不存在時，累次極限可以只存在一個，而另一個不存在.3.5累次極限都存在但不相等，二重極限一定不存在例5.已知函數(shù)問函數(shù)在原點的二重極限與累次極限是否存在.解：如同例1一樣的方

12、法可以證明此函數(shù)在原點處的二重極限不存在.對任意固定，可得所以對任意固定，可得所以此例說明了即使兩個累次極限存在，其值可不等，二重極限是一定不存在.3.6累次極限與二重極限都存在且一定相等例6.函數(shù)在原點（0.0）處的二重極限與累次極限.解：即，二元函數(shù)的二重極限與累次極限都存在且都等于6.3.7二重極限與累次極限都不存在例7.求函數(shù)在原點（0.0）處的二重極限與累次極限.解：使用例1的證明方法我們易知 不存在， 且,綜合得到此函數(shù)的二重極限不存在.而當(dāng)時因為 不存在.所以也不存在.同理當(dāng)時不存在.也不存在.綜合得，此二元函數(shù)得二重極限與累次極限都不存在.從這個特殊的例子我們可以知道，并不是函

13、數(shù)的每一個點都存在二重極限或累次極限，如上的函數(shù)在原點（0.0）處即不存在二重極限也不存在累次極限.4關(guān)于二重極限與累次極限的幾個定理和問題4.1二重極限與累次極限存則必相等定理定理1若 在點 存在二重極限與累次極限則它們必相等.證明：設(shè)，則對正數(shù)，總正數(shù)，使得當(dāng) 時,有(1)另由存在累次極限之假設(shè)，對任一滿足不等式：.(2)的存在極限.(3)回到不等式（1）讓其中的由（3）可得.（4）故由(3)(4)可證得即 .其中想指出的一點：與的存在與相等與另一個累次極限的存在情況無蘊含關(guān)系，也就無從談?wù)摰戎祮栴}.由上面定理1可以得到兩個推論，推論1若累次極限，和二重極限都存在，則三者必相等.證明：已知

14、二重極限存在，由定理1，不妨設(shè)二重極限，又已知累次極限存在所以也等于.同理：另一個累次極限也存在并一定等于二重極限等于.綜合得三者都存在時，它們必相等.利用此推論可以在某些時候?qū)⑶蠖貥O限問題轉(zhuǎn)化為求累次極限的問題，求累次極限相對求二重極限要簡便些.推論2 若累次極限與存在，且不相等，則二重極限必不存在.證明：不妨設(shè)二重極限此時也存在并等于即 又已知累次極限都存在，由上推論我們知道二重極限與累次極限都存在時必相等，所以二重極限與累次極限都等于，這與兩個累次極限都存在，但是不相等矛盾，所以假設(shè)不成立，即二重極限不存在.4.2二重極限存在時累次極限也存在的條件二重極限與累次極限的存在性是沒有必然的

15、蘊含關(guān)系的，但是在某些條件下它們之間是存在關(guān)系的，不僅存在性有聯(lián)系，在極限值上也有很大聯(lián)系.定理1已經(jīng)告訴我們?nèi)?在點 存在二重極限 與累次極限則它們必相等。那么如果已知二重極限存在，怎樣才能保證累次極限也存在呢？定理3設(shè) ,又當(dāng)在的空心鄰域內(nèi)極限存在，則換言之，由二重極限及相應(yīng)的內(nèi)極限（累次極限減少一層的極限：或）的存在，可以斷定所求的累次極限存在且等于該二重極限.證明：任給，因為 ，所以存在，當(dāng) ，且 時，就有現(xiàn)令，則當(dāng) 時，由上面的不等式令 既得故即顯然，把定理3中的 存在，改為 存在，類似的結(jié)論也成立.參考文獻1. 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（M）下冊 .第三版 .高等教育出版社，2001.（6）：93100.2.王杰.淺談二重極限與累次極限（J）西安統(tǒng)計學(xué)院3.滕加俊.數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)與習(xí)題精解（M）大連理工大學(xué)出版社，2006.（9）：4154284.方企勤.多元函數(shù)微積分（M）上?？萍汲霭嫔纾?1980.（8）：1929.5.周性偉