2003年數(shù)學(xué)建模A題25927

1、2003高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目（請(qǐng)先閱讀 “對(duì)論文格式的統(tǒng)一要求”）A題 SARS的傳播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請(qǐng)你們對(duì)SARS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：（1）對(duì)附件1所提供的一個(gè)早期的模型，評(píng)價(jià)其合理性和實(shí)用性。（2）建立你們自己的模型，說(shuō)明為什么優(yōu)于附件

2、1中的模型；特別要說(shuō)明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對(duì)于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評(píng)論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。（3）收集SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。（4）給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫一篇通俗短文，說(shuō)明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。附件1：SARS疫情分析及對(duì)北京疫情走勢(shì)的預(yù)測(cè)2003年5月8日在病例數(shù)比較多的地區(qū)，用數(shù)理模型作分析有一定意義。前幾天，XXX老師用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走勢(shì)。在此基礎(chǔ)上，我們加

3、入了每個(gè)病人可以傳染他人的期限（由于被嚴(yán)格隔離、治愈、死亡等），并考慮在不同階段社會(huì)條件下傳染概率的變化，然后先分析香港和廣東的情況以獲得比較合理的參數(shù)，最后初步預(yù)測(cè)北京的疫情走勢(shì)。希望這種分析能對(duì)認(rèn)識(shí)疫情，安排后續(xù)的工作生活有幫助。1 模型與參數(shù) 假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為N0，平均每病人每天可傳染K個(gè)人（K一般為小數(shù)），平均每個(gè)病人可以直接感染他人的時(shí)間為L(zhǎng)天。則在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長(zhǎng)隨時(shí)間t(單位天)的關(guān)系是：N（t）= N0 (1+K)t 如果不考慮對(duì)傳染期的限制，則病例數(shù)將按照指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)?？紤]傳染期限L的作用后，變化將顯著偏離指數(shù)律，增長(zhǎng)速度會(huì)放慢。我們采用半模擬循環(huán)計(jì)算的辦法，把

4、到達(dá)L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉。參數(shù)K和L具有比較明顯的實(shí)際意義。L可理解為平均每個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期限后他失去傳染作用，可能的原因是被嚴(yán)格隔離、病愈不再傳染或死去等等。從原理上講，這個(gè)參數(shù)主要與醫(yī)療機(jī)構(gòu)隔離病人的時(shí)機(jī)和隔離的嚴(yán)格程度有關(guān)，只有醫(yī)療機(jī)構(gòu)能有效縮短這個(gè)參數(shù)。但我們分析廣東、香港、北京現(xiàn)有的數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，不論對(duì)于疫情的爆發(fā)階段，還是疫情的控制階段，這個(gè)參數(shù)都不能用得太小，否則無(wú)法描寫好各階段的數(shù)據(jù)。該參數(shù)放在15-25之間比較好，為了簡(jiǎn)單我們把它固定在20（天）上這個(gè)值有一定統(tǒng)計(jì)上的意義，至于有沒有醫(yī)學(xué)上的解釋，需要其他專家分析。參數(shù)K顯然代

5、表某種社會(huì)環(huán)境下一個(gè)病人傳染他人的平均概率，與全社會(huì)的警覺程度、政府和公眾采取的各種措施有關(guān)。在疾病初發(fā)期，社會(huì)來(lái)不及防備，此時(shí)K值比較大。為了簡(jiǎn)單起見，我們從開始至到高峰期間均采用同樣的K值（從擬合這一階段的數(shù)據(jù)定出），即假定這階段社會(huì)的防范程度都比較低，感染率比較高。到達(dá)高峰期后，我們?cè)?0天的范圍內(nèi)逐步調(diào)整K值到比較小，然后保持不變，擬合其后在控制階段的全部數(shù)據(jù)，即認(rèn)為社會(huì)在經(jīng)過(guò)短期的劇烈調(diào)整之后，進(jìn)入一個(gè)對(duì)疫情控制較好的常態(tài)。顯然，如果疫情出現(xiàn)失控或反復(fù)的狀態(tài)，則K值需要做更多的調(diào)整。2 計(jì)算結(jié)果 2.1 對(duì)香港疫情的計(jì)算和分析。香港的數(shù)據(jù)相對(duì)比較完整準(zhǔn)確。但在初期，由于診斷標(biāo)準(zhǔn)等不確

6、切，在3月17日之前，沒有找到嚴(yán)格公布的數(shù)據(jù)。我們以報(bào)道的2月15日作為發(fā)現(xiàn)第一例病人的起點(diǎn)，2月27日從報(bào)道推斷為7例。3月17日后則都是正式公布的數(shù)據(jù)。累積病例數(shù)在圖1中用三角形表示。我們?nèi)缓笥蒙鲜龇椒ㄓ?jì)算。4月1日前后（從起點(diǎn)起45天左右）是疫情高峰時(shí)期，在此之前我們?nèi)=0.16204。此后的10天，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化將K逐步調(diào)到0.0273，然后保持0.0273算出后面控制期的結(jié)果。短期內(nèi)K調(diào)整的幅度很大，反映社會(huì)的變化比較大。圖中實(shí)心方黑點(diǎn)是計(jì)算的累積病例數(shù)。從計(jì)算累積病例數(shù)，很容易算出每天新增病例數(shù)（當(dāng)然只反映走向，實(shí)際狀況有很大漲落）?？梢钥闯?，香港疫情從起始到高峰大約45天，從高

7、峰回落到1/10以下（每天幾個(gè)病例）大約40天（5月上中旬），到基本沒有病例還要再經(jīng)過(guò)近一個(gè)月（到6月上中旬）。2.2 對(duì)廣東疫情的計(jì)算和分析。廣東的起點(diǎn)是02年11月16日，到今年2月下旬達(dá)到高峰，經(jīng)過(guò)了約100天。在今年2月10日以前的數(shù)據(jù)查不到，分析比較困難。總體上看，廣東持續(xù)的時(shí)間比香港長(zhǎng)得多，但累積的總病例數(shù)卻少一些，這反映出廣東的爆發(fā)和高峰都不強(qiáng)烈。但廣東的回落也比較慢。從2月下旬高峰期到現(xiàn)在經(jīng)過(guò)了約70天，還維持著每天10來(lái)個(gè)新增病例，而同樣過(guò)程香港只用了約40天。這種緩慢上升和下降的過(guò)程也反映到K值上。比較好的擬合結(jié)果是，在高峰期之前（t < 101天），K=0.0892

8、；在隨后的10天逐步調(diào)整到0.031。用這組參數(shù)算出的后期日增病例數(shù)比實(shí)際公布的偏小，說(shuō)明實(shí)際上降低得更慢。這種情況與疫情的社會(huì)控制狀況有沒有什么關(guān)系，需要更仔細(xì)的分析。2.3 對(duì)北京疫情的分析與預(yù)測(cè)。北京的病例起點(diǎn)定在3月1日，經(jīng)過(guò)大約59天在4月29日左右達(dá)到高峰。我們通過(guò)擬合起點(diǎn)和4月20日以后的數(shù)據(jù)定出高峰期以前的K=0.13913。這個(gè)值比香港的0.16204來(lái)得低，說(shuō)明北京初期的爆發(fā)程度不如香港，但遺憾的是上升時(shí)間持續(xù)了近60天，而香港是45天，這就造成了累積病例數(shù)大大超過(guò)香港。從圖2中還看出4月20日以前公布的數(shù)據(jù)大大低于計(jì)算值。而我們從對(duì)香港、廣東情況的計(jì)算中，知道疫情前期我們

9、的計(jì)算還是比較可行的。從而可以大致判斷出北京前期實(shí)際的病例數(shù)。圖中的公布數(shù)據(jù)截止到5月7日（從起點(diǎn)起67天），其后的計(jì)算采用的是香港情況下獲得的參數(shù)。按這種估算，北京最終累積病例數(shù)將達(dá)到3100多。圖1 對(duì)香港疫情的擬合圖2 對(duì)北京疫情的分析圖3是計(jì)算的日增病例數(shù)。后期下降得較快的實(shí)心方黑點(diǎn)是采用香港參數(shù)獲得的。這就是說(shuō)，如果北京的疫情控制與香港相當(dāng)或更好的話，就可以在高峰期后的40天（從起點(diǎn)起100天）左右，即6月上中旬下降到日增幾例。然后再經(jīng)過(guò)約一個(gè)月，即7月上中旬達(dá)到日增0病例。但如果北京的新病例下降速度與廣東類似的話，則要再多花至少一個(gè)月，才能達(dá)到上述的效果，且累積總病例數(shù)會(huì)到3800

10、左右。至于什么原因造成香港下降速度快而廣東下降速度慢，需要有關(guān)方面作具體分析。圖3 北京日增病例走勢(shì)分析3 結(jié)論 每個(gè)病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，這個(gè)值在不同地區(qū)和不同疫情階段似乎變化不大。病人的平均每天感染率與社會(huì)狀況有關(guān)，在疫情爆發(fā)期較大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆發(fā)情況比廣東和北京都劇烈，但控制效果明顯比較好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，則有望在6月上中旬下降到日增幾例。然后再經(jīng)過(guò)約一個(gè)月，即7月上中旬達(dá)到日增0病例。而累積總病例數(shù)將達(dá)到3100多。但如果北京的新病例下降速度與廣東類似的話，則要再多花至少一個(gè)月，才能達(dá)到上述的效果，且累積總病例數(shù)

11、會(huì)到3800左右。附件2：北京市疫情的數(shù)據(jù)( 據(jù)： )日 期已確診病例累計(jì)現(xiàn)有疑似病例死亡累計(jì)治愈出院累計(jì)4月20日33940218334月21日48261025434月22日58866628464月23日69378235554月24日77486339644月25日87795442734月26日988109348764月27日1114125556784月28日1199127559 784月29日1347135866834月30日1440140875905月01日15531415821005月02日16361468911095月03日17411493961155月04日1803153710011

12、85月05日189715101031215月06日196015231071345月07日204915141101415月08日213614861121525月09日217714251141685月10日222713971161755月11日226514111201865月12日230413781292085月13日234713381342445月14日237013081392525月15日238813171402575月16日240512651412735月17日242012501453075月18日243412501473325月19日243712491503495月20日244412251

13、543955月21日244412211564475月22日245612051585285月23日246511791605825月24日249011341636675月25日249911051677045月26日250410691687475月27日251210051728285月28日25149411758665月29日25178031769285月30日252076017710065月31日252174718110876月01日252273918111246月02日252273418111576月03日252272418111896月04日252271818112636月05日2522716

14、18113216月06日252271318314036月07日252366818314466月08日252255018415436月09日252245118416536月10日252235118617476月11日252325718618216月12日252315518718766月13日25227118719446月14日2522418919946月15日2522318920156月16日2521319020536月17日2521519021206月18日2521419121546月19日2521319121716月20日2521319121896月21日2521219122316月22日2521219122576月23日252121912277附件3：北京市接待海外旅游人數(shù)（單位：萬(wàn)人）年1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8