圓的培優(yōu)專題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓的培優(yōu)專題1與圓有關(guān)的角度計(jì)算一 運(yùn)用輔助圓求角度1、如圖，ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，DADBDC，若DAB，DAC， 則BDC . （BDCBAC100）2、如圖，AEBEDEBCDC，若C，則BAD . （）3、如圖，四邊形ABCD中，ABACAD，CBD，BDC，則 第1題 第2題 第3題 BAD . （BADBACCAD4060100）解題策略：通過(guò)添加輔助圓，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角與圓心角問(wèn)題，思維更明朗！4、如圖，ABCD中，點(diǎn)E為AB、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，若D， 則AEC . （AEC2B2D120）5、如圖，O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OAOBOC，

2、ABCADC， 則DAODCO . （所求360ADCAOC150）6、如圖，四邊形ABCD中，ACBADB，ADC，則ABC . 第4題 第5題 第6題 （ABCADC25）解題策略：第6題有兩個(gè)直角三角形共斜邊，由直角所對(duì)的弦為直徑，易得到ACBD共圓.二 運(yùn)用圓周角和圓心角相互轉(zhuǎn)化求角度7、如圖，AB為O的直徑，C為的中點(diǎn)，D為半圓上一點(diǎn)，則ADC .8、如圖，AB為O的直徑，CD過(guò)OA的中點(diǎn)E并垂直于OA，則ABC .9、如圖，AB為O的直徑，則ABC . 第7題 第8題 第9題答案：7、45； 8、30； 9、22.5； 10、40； 11、150； 12、110解題策略：以弧去尋找

3、同弧所對(duì)的圓周角與圓心角是解決這類問(wèn)題的捷徑！10、如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C、D在O上，BAC，則ADC .11、如圖，O的半徑為1，弦AB，弦AC，則BOC .12、如圖，PAB、PCD是O的兩條割線，PAB過(guò)圓心O，若，P， 則BDC . （設(shè)ADC，即可展開(kāi)解決問(wèn)題） 第10題 第11題 第12題解題策略：在連接半徑時(shí)，時(shí)常會(huì)伴隨出現(xiàn)特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等邊三角形，是解題的另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)！ 圓的四接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角，是一個(gè)非常好用的一個(gè)重要性質(zhì)！圓的培優(yōu)專題2與垂徑定理有關(guān)的計(jì)算1、如圖，AB是O的弦，ODAB，垂足為C，交O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在O上，若B

4、ED ，O的半徑為4，則弦AB的長(zhǎng)是 .略解：ODAB，AB2AC，且ACO90， BED30，AOC2BED60 OAC30，OCOA2，則AC，因此AB.2、如圖，弦AB垂直于O的直徑CD，OA5，AB6，則BC .略解：直徑CD弦AB，AEBEAB=3 OE，則CE549 第1題 第2題 第3題 BC3、如圖，O的半徑為，弦ABCD，垂足為P，AB8，CD6，則OP .略解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OEAB，OFCD，連接OB，OD. 則BEAB4，DFCD3，且OBOD OE，OF 又ABCD，則四邊形OEPF是矩形，則OP4、如圖，在O內(nèi)，如果OA8，AB12，AB，則O的半徑為 .略解：如圖

5、，過(guò)點(diǎn)O作ODAB，連接OB，則ADAB4，因此，BD8，OD OB.5、如圖，正ABC內(nèi)接于O，D是O上一點(diǎn)，DCA，CD10，則BC 略解：如圖，連接OC，OD，則ODCOCD ABC為等邊三角形，則OCAOCE30，ODCOCD45 OCD是等腰三角形，則OC 第4題 第5題 第6題 過(guò)點(diǎn)O作OEBC，則BC2CE6、如圖，O的直徑AB4，C為的中點(diǎn)，E為OB上一點(diǎn)，AEC，CE的延 長(zhǎng)線交O于點(diǎn)D，則CD 略解：如圖，連接OC，則OC2 C為的中點(diǎn)，則OCAB，又AEC，OCE30 如圖，過(guò)點(diǎn)O作OFCD，則OFOC1，CF，CD2CF7、如圖，A地測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在城正西方向300千米的

6、B處， 并以每小時(shí)千米的速度沿北偏東的BF方向移 動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域. 問(wèn)：A地是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？若受到影響，請(qǐng)求 出受影響的時(shí)間？解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作ACBF交于點(diǎn)C， ABF30，則ACAB，因此A地會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)影響； 如圖，以A為圓心200千米為半徑作A交BF于D、E兩點(diǎn)，連接AD， 則DE2CD2， 所以受影響的時(shí)間為（時(shí)）圓的培優(yōu)專題3圓與全等三角形1、如圖，O的直徑AB10，弦AC6，ACB的平分線交O于D，求CD的長(zhǎng).解：如圖，連接AB，BD，在CB的延長(zhǎng)線上截取BEAC，連接DE ACDBCD，ADBD 又CADEBD，ACBE CADEBD

7、（SAS） CDDE，ADCBDEAB為O的直徑，則ACBADB90BC；ADCCDBCDBBDE90，即CDE CDE是等腰直角三角形且CE14，CD2、如圖，AB是O的直徑，C是半圓的中點(diǎn)，M、D分別是CB及AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 MAMD，若CM，求BD的長(zhǎng).解：如圖，連接AC，則ACBC，C90，即ABC是等腰直角三角形 過(guò)點(diǎn)M作MNAD，則NMAMAD 則CMN也是等腰直角三角形，則MNCM2 ANCMBD135，又MAMD，DNMAMADAMNBMD（AAS） BDMN23、如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)N是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，NC. 求BCAC的值.解：如圖，連接AN，BN，則AB

8、N是等腰直角三角形 在BC上截取BDAC，連接DN ANBN，CANDBN，ACBD ACNBDN（SAS）CNDN，CNADNB，CNDCNAANDADNDNB90，即CND是等腰直角三角形CDNC，BCACBCBDCD4、如圖，點(diǎn)A、B、C為O上三點(diǎn)，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，CEAM于E， AE5，ME3，求BM的長(zhǎng).解：如圖，在AM上截取ANBM，連接CN，CM. ，ACBC，又AB ACNBCM（SAS） CNCM，又CEAM NEME3， BMANAENE25、如圖，在O中，P為的中點(diǎn)，PDCD，CD交O于A，若AC3，AD1， 求AB的長(zhǎng).解：如圖，連接BP、CP，則BPCP，BC 過(guò)點(diǎn)P作

9、PEAB于點(diǎn)E，又PDCD BEPCDP BEPCDP（AAS） BECD3+14，PEPD 連接AP，則RtAEPRtADP（HL），則AEAD1 ABAE+BE56、如圖，AB是O的直徑，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB10，MN8. 求BFAE的值.解：AEMN，BFMN，則AEBF，AB如圖，延長(zhǎng)EO交BF于點(diǎn)G，則AOEBOG，AOBO AOEBOG（AAS），則OEOG 過(guò)點(diǎn)O作OHMN，F(xiàn)G2OH，HN4 連接ON，則ON5，OH，則BGAEFG6.圓的培優(yōu)專題4圓與勾股定理1、如圖，O是BCN的外接圓，弦ACBC，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，BNC， 求 的值.解：如圖，連接AB，

10、則AB為直徑，BNA90 連接AN，則BNAN，則ABN是等腰直角三角形BNAB；又BACBNC，BCAB， （方法2，過(guò)點(diǎn)B作BDCN，即可求解）2、如圖，O的弦ACBD，且ACBD，若AD，求O半徑.解：如圖，作直徑AE，連接DE，則ADE90 又ACBD，則ADBDACADBEDB90 DACEDB，則， ACBD，則 ADDE，即ADE是等腰直角三角形 AEAD4，即O的半徑為23、如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CAD， CEAB于點(diǎn)E，DFAB于點(diǎn)F. （1）求證：CEEF；（2）若DF2，EF4，求AC.（1）證： AB為O的直徑，CAD， 則ACD是

11、等腰直角三角形，即ACDC 又CEAB，則CAEECB 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG垂直DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G 又CEAB，DFAB，則四邊形CEFG是矩形，AECDGC90 EFCG，CEDG，則ECBCDGCAE ACEDCG（AAS），則CECGEF（2）略解：ACCD.4、如圖，AB為O的直徑，CDAB于點(diǎn)D，CD交AE于點(diǎn)F，. （1）求證：AFCF； （2）若O的半徑為5，AE8，求EF的長(zhǎng)（1）證：如圖，延長(zhǎng)CD交O于點(diǎn)G，連接AC 直徑ABCG，則 CAEACG，則AFCF（2）解：如圖，連接OC交AE于點(diǎn)H，則OCAE，EHAHAE=4 OH，則CH532 設(shè)HF，則CFAF4 則，即HF

12、 EF5、如圖，在O中，直徑CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，連接AD. （1）求證：ADAN； （2）若AB，ON1，求O的半徑.（1）證：CDAB，AMBC CCNMCB90 BCNM， 又BD，ANDCNM DAND，即ADAN（2） 解：直徑CD弦AB，則AE 又ANAD，則NEED 如圖，連接OA，設(shè)OE，則NEED OAOD ，則 O的半徑OA3圓的培優(yōu)專題5圓中兩垂直弦的問(wèn)題1、在O中，弦ABCD于E，求證：AODBOC.證：如圖，連接AC， ABCD，則CABACD90 又AOD2ACD，BOC2BAC AODBOC.2、在O中，弦ABCD于點(diǎn)E，若O的半徑為R，求證：

13、AC2BD24R2.證：ABCD，則CABACD90 如圖，作直徑AM，連接CM 則ACMACDDCM90CABDCM，CMBD AC2CM2AM2 AC2BD24R2.3、在O中，弦ABCD于點(diǎn)E，若點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，求證MEBD.證：如圖，連接ME，并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F ABCD，且點(diǎn)M為AC的中點(diǎn) ME為RtAEC斜邊上的中線 AMME AAEMBEF 又BC，AC90 BEFB90，即BFE90 MEBD.4、在O中，弦ABCD于點(diǎn)E，若ONBD于N，求證：ONAC.證：如圖，作直徑BF，連接DF， 則DFBD，又ONBD， ONFD，又OBOF ONDF 連接AF，則AFAB，又CDA

14、B AFCD ，則ACFD ONAC5、在O中，弦ABCD于點(diǎn)E，若ACBD，ONBD于N，OMAC于M. （1）求證：MEON； （2）求證：四邊形OMEN為菱形.證：（1）如圖，延長(zhǎng)ME交OD于點(diǎn)F OMAC，則點(diǎn)M為AC的中點(diǎn) ABCD，則ME為RtACE的斜邊上中線 AMEM， AAEMBEF 又BC，AC90 BBEF90，則BFE90 MFBD，又ONBD MFON （2）由（1）知MFON，同理可證OMNE， 四邊形OMEN是平行四邊形 ACBD，OMON 四邊形OMEN為菱形.圓的培優(yōu)專題6圓與內(nèi)角（外角）平分線一 圓與內(nèi)角平分線問(wèn)題往往與線段和有關(guān)，實(shí)質(zhì)是對(duì)角互補(bǔ)的基本圖形1

15、、如圖，O為ABC的外接圓，弦CD平分ACB，ACB. 求證：CACBCD.證：如圖，在CA的延長(zhǎng)線上截取AEBC，連DE，AD，BD CD平分ACB，ADBD 又DAEDBC，AEBC DAEDBC（SAS） CDDE，又ACD45 CDE是等腰直角三角形，則CACBCECD.2、如圖，O為ABC的外接圓，弦CD平分ACB，ACB，求的值.解：如圖，在CA的延長(zhǎng)線上截取AEBC，連DE，AD，BD CD平分ACB，ADBD 又DAEDBC，AEBC DAEDBC（SAS） CDDE，又ACD60 CDE是等邊三角形 CDCECABC，即13、如圖，過(guò)O、M的動(dòng)圓交軸、軸于點(diǎn)A、B，求OAOB

16、的值.解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME軸，MF軸，連AM、BM 由M（1，1）知：四邊形OFME是正方形 OEOF4，EMFM，又MBFMAE， AEMBFM（AAS），則AEBF OAOBAEOEOFBF8.二 圓中的外角問(wèn)題往往與線段的差有關(guān)4、如圖，O為ABC的外接圓，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB. 求證：（1）；（2）ACBCPC.證：（1）如圖，連接AP，則PCQPAB 又PCQPCA，則PABPCA （2）連接BP，由（1）得，PAPB 在AC上截取ADBC，連PD，又PADPBC PADPBC（SAS），則PDPC 又PCD45，則PCD是等腰直角三角形，ACBCCDPC.5、如圖

17、，O為ABC的外接圓，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB. 求的值.解：如圖，在BC上截取BDAC，連AP、BP、DP PCBPCQPBA APBP，又CAPDBP CAPDBP（SAS），則CPDP 又ACB120，PCD30， 6、如圖，A，B，經(jīng)過(guò)A、B、O三點(diǎn)，點(diǎn) 這P為上動(dòng)點(diǎn)（異于O、A）. 求的值.解：如圖，在BP上截取BCAP A，B，則OAOB4 又OAPOBC OAPOBC（SAS） OCOP，且COPAOB90，則 .圓的培優(yōu)專題7與切線有關(guān)的角度計(jì)算一 切線與一個(gè)圓 答案：1、；2、；3、；4、；5、；6、1、如圖，AD切O于A，BC為直徑，若ACB，則CAD .2、如

18、圖，AP切O于P，PB過(guò)圓心，B在O上，若ABP，則APB .3、如圖，PA、PB為O的切線，C為上一點(diǎn)，若BCA，則APB . 第1題 第2題 第3題 第4題 第5題4、如圖，PA、PB為O的切線，C為上一點(diǎn)， 若BCA，則APB .5、如圖，點(diǎn)O是ABC的內(nèi)切圓的的圓心，若 BAC，則BOC .6、如圖，PA切O于A，若PAAB，PD平分 第6題 APB交AB于D，則ADP . （設(shè)元，列方程）二 切線與兩個(gè)圓7、如圖，兩同心圓的圓心為O，大圓的弦AB、AC 分別切小圓于D、E，小圓的的度數(shù)為， 第7題 第8題 第9題 則大圓的的度數(shù)為 .8、如圖，O1和O2交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)O1在O2

19、上，若D，則C 9、如圖，O1和O2外切于D，AB過(guò)點(diǎn)D，若AO2D，C為優(yōu)弧上任一點(diǎn)， 則DCB . 答案：7、；8、40；9、（過(guò)點(diǎn)D作兩圓的切線）圓的培優(yōu)專題8與切線有關(guān)的長(zhǎng)度計(jì)算1、如圖，在O的內(nèi)接ACB中，ABC，AC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)D的切線BD交于 點(diǎn)D，若O的半徑為1，BDOC，則CD . （CD）2、如圖ABC內(nèi)接于O，ABBC，過(guò)點(diǎn)A的切線與OC的延長(zhǎng)線交于D，BAC， CD，則AD . （AD3）3、如圖，O為BCD的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交BD的延長(zhǎng)線于A，ACB， 第1題 第2題 第3題 第4題 ABC，則 的值為 . （）4、如圖，AB為O的直徑，弦DC交AB于E，過(guò)C作

20、O的切線交DB的延長(zhǎng)線于M， 若AB4，ADC，M，則CD . （CD）5、如圖，等邊ABC內(nèi)接于O，BD切O于B，ADBD于D，AD交O于E，O 的半徑為1，則AE . （AE1）6、如圖，ABC中，C，BC5，O與ABC的三邊相切于D、E、F，若O的 半徑為2，則ABC的周長(zhǎng)為 . （C30）7、如圖，ABC中，C，AC12，BC16，點(diǎn)O在AB上，O與BC相切于D， 連接AD，則BD . （示：過(guò)D作DEAB，設(shè)CDDE，BD10） 第5題 第6題 第7題解題策略：連半徑，有垂直；尋找特殊三角形；設(shè)元，構(gòu)建勾股定理列方程.圓的培優(yōu)專題9圓的切線與垂徑定理1、如圖，AB為O的直徑，C為的中

21、點(diǎn)，CDBE于D. （1）判斷DC與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）若DC3，O的半徑為5，求DE的長(zhǎng).解：（1）DC是O的切線，理由如下： 如圖，連接OC，BC，則ABCCBDOCB OCBD，又CDBE OCCD，又OC為O的半徑 DC是O的切線 （2）如圖，過(guò)O作OFBD，則四邊形OFDC是矩形，且BEEF OFCD3，DFOC5， EFBF，DEDFEF12、如圖，AB為O的直徑，D是的中點(diǎn)，DEAC交AC的延長(zhǎng)線于E，O的切線 BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. （1）求證：DE為O的切線； （2）若DE3，O的半徑為5，求DF的長(zhǎng).（1）證：顯然，CADOADODA ODAE，又DEAC

22、， ODDE，又OD為O半徑 DE為O的切線（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OGAC，則OGDE是矩形，即OGDE3，DEOD5 AG，則AE549， 連接BD，則BDAD，BD 設(shè)DF，則BF，DF.3、 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BD是O的直徑，AECD于E，DA平分BDE. （1）求證：AE是O的切線； （2）若AE2，DE1，求CD的長(zhǎng).（1）證：如圖，連接OA，則ADEADOOAD OACD，又AECD OAAE，又OA為O的半徑 AE是O的切線（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OFCD，則CD2DF，且四邊形OFEA是矩形 EFOAOD，OFAE2 設(shè)DF，則ODEF ， CD2CF4、如圖，A

23、E是O的直徑，DF切O于B，ADDF于D，EFDF于F. （1）求證：EFADAE； （2）若EF1，DF4，求四邊形ADFE的周長(zhǎng).（1）證：如圖，連接CE，則四邊形CDFE是矩形 連接OB交CE于點(diǎn)G， DF是O的切線 OBDF，OBCE BGCDEF，OGAC，又AOOE AC2OG EFADACCDEF2OG2BG2OBAE.（2）解：顯然CEDF4，CDEF1 設(shè)AC，則AD，AE ，則，則AC3，AD4，AE5 四邊形CDFE的周長(zhǎng)為14.圓的培優(yōu)專題10圓的切線與勾股定理1、如圖，已知點(diǎn)A是O上一點(diǎn)，半徑OC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)B，OCBC， ACOB. （1）求證：AB

24、是O的切線；（2）若ACD，OC2，求弦CD的長(zhǎng).（1）證：OCOB， AC為OAB的OB邊上的中線，又ACOB OAB是直角三角形，且OAB90，又OA為O的半徑 AB是O的切線（2）解：顯然，OAOCAC，即OAC是等邊三角形 AOC60，D30 如圖，過(guò)點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E， ACD45，AEC是等腰直角三角形， AECEACOC，DEAE CD2、如圖，PA、PB切O于A、B，點(diǎn)M在PB上，且OMAP，MNAP于N. （1）求證：OMAN；（2）若O的半徑，PA9，求OM的長(zhǎng).（1）證：如圖，連接OA，PA為O的切線， OAAP，又MNAP OAMN，又OMAP， 四邊形OANM是矩形

25、，即OMAN（2）解：如圖，連接OB，PB、PA為O的切線 OBMMNP90，PBPA9 OMAP，OMBP，又OBOAMN，OBMMNP（AAS） OMPM，則32OM2（9OM）2，OM53、如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D作O的切線， E為切點(diǎn)，連接CE交AB于F. （1）求證：DEDF；（2）連接AE，若OF1，BF3，求DE的長(zhǎng).（1）證：如圖，連接OE PE為O的切線， OEDE，又OCAB CCFOOEFDEF90 又COCF，CFODFE DEFDFE，DEDF（2）解：顯然，OEOBOFBF4 設(shè)BD，則DEDF，OD ， DE7.54、如圖，正

26、方形ABCO的頂點(diǎn)分別在軸、軸上，以AB為弦的M與軸相切于F， 已知A，求圓心M的坐標(biāo).解：如圖，連接FM交延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E M與軸相切，即OC是M的切線EFOC，又四邊形ABCO是正方形EFAB，又A（0，8）即ABEMOA8 AE4 設(shè)MFAM，則EM8 ，即MF5 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5）圓的培優(yōu)專題11圓的切線與全等三角形1、如圖，BD為O的直徑，A為的中點(diǎn)，AD交BC于E，過(guò)D作O的切線，交BC 的延長(zhǎng)線于F. （1）求證：DFEF；（2）若AE2，DE4，求DB的長(zhǎng).（1）證：如圖，連接AB BD為O的直徑，DF為O的切線 BADBDF90 ABCAEBADBFDE90 又ABCAD

27、B，AEBDEF DFEDEF，DEEF（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FGED，則EGGD2AE， 又BAEFGE90，AEBGEF， ABEGFE（ASA）， BEEF，即DE為RBDF的斜邊上中線 DFEFDE4，BF8，則BD2、如圖，AB為O的直徑，C、D為O的一點(diǎn)，OCAD，CFDB于F. （1）求證：CF為O的切線；（2）若BF1，DB3，求O的半徑.（1）證：AB為O的直徑 DFAD，又OCAD OCDF，又CFDB OCCF，又OC為O的半徑 CF為O的切線（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CEBD于點(diǎn)E， 則BEDE1.5，EF2.5 又OCCF，CFEF 四邊形OCFE是矩形 O有半徑OC

28、EF2.53、如圖，以O(shè)的弦AB為邊向圓外作正方形ABCD. （1）求證：OCOD； （2）過(guò)D作DM切O于M，若AB2，DM，求O的半徑.（1）證：如圖，連接OA、OB，則OAOB OABOBA 四邊形ABCD是正方形 ADBC，DABCBA90 OADOBC OADOBC（SAS） OCOD（2）解：如圖，連接OM、BD，則OMDM，且BDABDM 又OMOB，ODOD，ODMODB（SSS） OBBD，又ABD45 OAB45，即OAB是等腰直角三角形 OAAB4、如圖，在ABC中，ACBC，ACB，以BC為直徑的O交AB于D. （1）求證：ADBD；（2）弦CE交BD于M，若，求 .（

29、1）略證：連接CD，則CDAB 又ACBC，ACB，ADBD（2）解：如圖，連接BE，過(guò)A作ANCE于N， ， AN2BE CANBCE，ACBC，ANCCEB ANCCEB（AAS） BECN，CEAN 設(shè)CNBE，則CEANBE， BC，ABBC，即BD .圓的培優(yōu)專題12圓的切線與等腰三角形1、如圖，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O與邊BC交于D，與邊AC交于E， 過(guò)D作DFAC于F. （1）求證：DF為O的切線；（2）若DE，AB5，求AE的長(zhǎng).（1）證：如圖，連接AD，OD， AB為O的直徑， ADBC，又ABAC，OAOB EADDABADO ODAC，又DFAC ODDF，

30、又OD為O的直徑 DF為O的切線（2）解：EADDAB，BDDE，又AB5，AD DF×ACAD×CD，DF2，CFEF，AE5232、如圖，在ABC中，ABAC，以邊AB為直徑作O，交BC于D，過(guò)D作DEAE. （1）求證：DE是O的切線；（2）連接OC，若CAB，求 的值.（1）證：如圖，連接AD，OD，則ADBC 又ABAC，CDBD，又AOOB ODAC，又DEAE ODDF，DE是O的切線；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OFBD于F，則BD2BF ABAC，CAB，B30 設(shè)OF，則BF，OB， ACAB，CDBD，則CF 由勾股定理，得OC，由面積法，得DE，.3、如

31、圖，ABAC，點(diǎn)O在AB上，O過(guò)點(diǎn)B，分別交BC于D、AB于E，DFAC. （1）證：DF為O的切線；（2）若AC切O于G，O的半徑為3，CF1，求AC.（1）證：如圖，連接OD， ABAC，OBOD BCODB ODAC，又DFAC ODDF，又OD為O的半徑 DF為O的切線（2）解：如圖，連接OG，AC為O的切線 OGAC，又ODDF，DFAC，OGOD 四邊形ODFG是正方形，即OBOGGF3 設(shè)AG，則ABAC，則AO ，則AC84、如圖，CD是O的弦，A為的中點(diǎn)，E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EG切O于G. （1）求證：KGGE；（2）若ACEG， ，AK，求O的半徑.（1）證：如圖，連接O

32、G，OA交CD于點(diǎn)F A為的中點(diǎn)，EG是O的切線 OACD，OGGE OAGAKFOGAEGK 又OAGOGA，AKFEKG EGKEKG KGGE（2）解：ACEG，CAKEGK，又EGKEKGCKA CAKCKA，CACK 設(shè)CKCA，則DK，CD，CF，EG AF 在RtAFK中， CE8，AE6， 設(shè)O的半徑為R，則R282（R6）2，R圓的培優(yōu)專題13圓與三角形的內(nèi)心1、如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，且CMAC. （1）求證：M為ABE的內(nèi)心；（2）若O的半徑為5，AE8，求BEM的面積.（1）證：如圖，連接CE，則ACCECM CMECEM，CEACBE CBEBEMCE

33、AAEM AEMBEM，又ABCCBE 點(diǎn)M為ABE的內(nèi)心.（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MNBE于點(diǎn)N，則MN為ABE的內(nèi)切圓的半徑. AB10，AE8，則BE MN， MN2 BME的面積為×6×26.2、如圖，O為ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分BAC點(diǎn)M是ABC的內(nèi)心. （1）求證：BCDM；（2）若DM，AB8，求OM的長(zhǎng).（1）證：如圖，連接BD，CD， BC為直徑，AD平分BAC BDCD，BDC90， BCCD 連接CM，則ACMBCM，DACBCD DMCACMDACBCMBCDDCM， DMCD，即BCDM（2） 解：顯然，BCDM10，AB8，則AC6，

34、且MAE45 如圖，過(guò)M作MEBC于點(diǎn)N，作MFAC于點(diǎn)F，則MEMFAF2 CFCE4，則OE1 OM.3、如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，DEAB于E，I是ABD 的內(nèi)心，DI的延長(zhǎng)線交O于N. （1）求證：DE是O的切線；（2）若DE4，CE2，求O的半徑和IN的長(zhǎng).（1）證：D是的中點(diǎn)，OAOD CADDAOADO ODAE，又DEAB ODDE，又OD為O的半徑 DE是O的切線.（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OFAC，則AFCF DEAB，ODDE 四邊形ODEF是矩形，則OFDE4 設(shè)O的半徑為R，則OAODEFR，AFCFR2 （R2）242 R2，R5， AB10，如

35、圖，連接BI，AN，BN，則INBNAN 4、如圖，在ABC中，ABAC，I是ABC的內(nèi)心，O交AB于E，BE為O的直徑. （1）求證：AI與O相切；（2）若BC6，AB5，求O的半徑.（1）證：如圖，延長(zhǎng)AI交BC于點(diǎn)D，則ADBC， 連接OI，則OIBOBIOBD OIBC，又ADBC ADOI，又OI為O的半徑 AI與O相切（2）顯然BD3，AB5，則AD4 如圖，過(guò)點(diǎn)I作IFAB于點(diǎn)F，則BFBD3，AF2，IFID， 設(shè)IFID，則AI，則IF 設(shè)O的半徑為R，則OF3R，（3R）2（）2 R2，R圓的培優(yōu)專題14圓中動(dòng)態(tài)問(wèn)題1、如圖，點(diǎn)P是等邊ABC外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證PAPB

36、PC.證：如圖，在AP上截取PDPC，連接CD ABC是等邊三角形，ABCACB60 DPCABC60 PCD是等邊三角形，即CDPC ACDBCDBCPBCD60 ACDBCP，又ACBC ACDBCP（SAS） ADBP PAADDPPBPC.2、已知弦ADBD，且AB2，點(diǎn)C在圓上，CD1，直線AD、BC交于點(diǎn)E. 圖1 圖2 （1）如圖1，若點(diǎn)E在O外，求AEB的度數(shù)； （2）如圖2，若C、D兩點(diǎn)在O上運(yùn)動(dòng)，CD的 長(zhǎng)度不變，點(diǎn)E在O內(nèi)，求AEB的度數(shù).解：（1）如圖1，連接OC，OD ADBD AB為O的直徑，且AB2 CDOCOD1，即OCD是等邊三角形 COD60 CBDCOD=

37、30 AEB60 （2）如圖2，連接OC，OD 同理可得：ACD60， CBDCOD=30 又ADB90，AED1203、已知直線經(jīng)過(guò)O的圓心O，且交O于A、B，點(diǎn)C在O上，且AOC，點(diǎn) P是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與O不重合），直線CP與O交于Q，且QPQO. （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，求OCP的度數(shù)； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求OCP的度數(shù)； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)上時(shí)，求OCP的度數(shù). 圖1解：（1）如圖1，設(shè)OCP OCOQ，則OQP 又AOC，QPQO QOPQPO OCP （2）如圖2，設(shè)COQ， 圖2 又AOC，QPQO QOPQPO 又OCOQ OQPOCQ COQ 圖3 OCP （3）如圖3，設(shè)QPO QPPO，則QOPQPO OCOQ OCQOQC QPO10 OCP20圓的培優(yōu)專題15聚焦圓中無(wú)圖多解題 圓是中考數(shù)學(xué)考查的一個(gè)熱點(diǎn)，題型較全，選擇、填空、作圖、計(jì)算與證明經(jīng)常出現(xiàn)，常與三角形、四邊形