第2章平面圖形的幾何性質(zhì)

1、第二章第二章平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)拉壓正應(yīng)力拉壓正應(yīng)力ANdAA扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力pITApdAI2彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力zIMyAzdAyI2應(yīng)力的計(jì)算通常用要到構(gòu)件應(yīng)力的計(jì)算通常用要到構(gòu)件截面的幾何參數(shù)截面的幾何參數(shù)，例如：，例如：實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì) 1、數(shù)學(xué)，不是力學(xué)、數(shù)學(xué)，不是力學(xué) 2、顛倒了學(xué)科發(fā)展順序、顛倒了學(xué)科發(fā)展順序 （歷史是：（歷史是：彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力慣性矩）慣性矩）目的目的 1、清除彎曲前面的攔路虎之一（慣性矩、清除彎曲前面的攔路虎之一（慣性矩) 2、從更高的觀點(diǎn)，統(tǒng)一截面幾何性質(zhì)、從更高的觀點(diǎn)，統(tǒng)一截面幾何性質(zhì) 3、便于學(xué)習(xí)（弊?。褐挥小⒈阌趯W(xué)習(xí)（弊病

2、：只有大廈大廈，無，無腳手架腳手架）2.1形心和面矩形心和面矩 平面圖形的形心形心 CxydAxCxyCyO在理論力學(xué)中，用合力矩定理建立了物體重心的坐標(biāo)計(jì)算公式。GydGyAc若為均質(zhì)等厚度薄板，其面積為A、厚度為t、體積密度為，則微塊的重力gdAtdG整個(gè)薄板的重量為gAtGGxdGxAc平面圖形的形心坐標(biāo)公式AxdAxAcAydAyAc形心是平面圖形的幾何中心具有對稱中心、對稱軸的薄板的形心必然在對稱中心或?qū)ΨQ軸上。重心是物體重力的中心其位置取決于薄板的截面形狀和大小。其位置決定于物體重力的分布情況只有均質(zhì)物體的重心才與形心重合。整個(gè)平面圖形對x 軸和y 軸的面矩（靜矩） AyAxxdA

3、SydAS單位:米3（m3）或毫米3(mm3）。 同一平面圖形對不同的坐標(biāo)軸，其面矩不同。 面矩是代數(shù)值，可正可負(fù)可為零。 平面圖形的形心坐標(biāo)公式可寫為 ASyASxxcyc可得平面圖形的面矩公式為 cycxAxSAyS圖形對某軸的靜矩為零，則該軸一定過圖形的形心；平面圖形對某軸的面矩等于其面積與形心坐標(biāo)的乘積。 某軸過圖形的形心，則圖形對該軸的靜矩為零。一般，構(gòu)件截面是由矩形、圓形等簡單圖形組成的組合圖形。iiiicniiciccycniiciccxxAxAxAxASyAyAyAyAS 1211212121式中：xci、yci分別表示各簡單圖形的形心坐標(biāo)；Ai表示各簡單圖形的面積；n表示組成

4、組合圖形的簡單圖形的個(gè)數(shù)。根據(jù)圖形面矩的定義組合圖形對某軸的面矩等于各簡單圖形對同一軸面矩的代數(shù)和。即 組合圖形形心坐標(biāo)計(jì)算公式 niiniicxcniiniicycAAyASyAAxASxii1111例例2-12-1試計(jì)算圖示平面圖形形心的坐標(biāo)。 121211213232( 80) 16 10( 95) 78 1016 1078 1065.73inicccicniiA yy Ay AyAAAmm 解一解一: :由于對稱關(guān)系，形心C必在y軸上 ycCxcyxO160301002020ACDB0cx解二解二: :由于對稱關(guān)系，形心C必在y軸上。 故 xC=0ycCxcIIIIII將此圖形分為I、

5、II、III三部分iiiCCA yyAyxO160301002020ACDB以圖形的鉛垂對稱軸為y軸，過II、III的形心且與y軸垂直的軸線取為x軸，則 (100 30) (1565)2 (130 20) 029.27mm100 302 (130 20) 附例 求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標(biāo)yC。 解：過圓心O作與x軸垂直的y軸ydyrAd2223022322ryd)yr( yAdySrAx 所以 3423223r/r/rASyxCxy在距x任意高度y處取一個(gè)與x軸平行的窄條rdAydyOCyC2-2 2-2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑一、慣性矩一、慣性矩 平面圖形

6、對x軸和y軸的慣性矩 dAxIdAyIAyAx22xydAxy O平面圖形對坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩極慣性矩 AdAI2慣性矩與極慣性矩恒為正值，單位為米4（m4）或毫米4（mm4） 慣性矩與極慣性矩的關(guān)系xyAApIIdA)yx(dAI222平面圖形對過一點(diǎn)的任意一對正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，等于圖形對該點(diǎn)的極慣性矩。慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正負(fù)，單位：m4、cm4、mm4；若圖形有一個(gè)對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一對正交軸的慣性積為零；慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩 如將dA看成質(zhì)量dm，則Ix、Iy、Ip分別為平面體對x、y、原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。yxAApIIdAyxdAI2

7、22二、慣性半徑二、慣性半徑 AiIAiIyyxx22對x 軸和y 軸的慣性半徑 AIiAIiyyxx三、簡單圖形的慣性矩三、簡單圖形的慣性矩 由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故故Ix=Iy，注意到注意到I=Ix+Iy，得到，得到例例2 2 求圖示直徑為求圖示直徑為d的圓對過圓心的任意直徑軸的慣性矩的圓對過圓心的任意直徑軸的慣性矩Ix、Iy及對圓心的極慣性矩及對圓心的極慣性矩I。dCxyd 解：首先求對圓心的極慣性矩。解：首先求對圓心的極慣性矩。在離圓心在離圓心O為為 處作寬度為處作寬度為d 的薄圓環(huán)的薄圓環(huán)，其面積，其面積dA=2d ，則，則32)d2(d42

8、/022dAIdA64214dIIIyx慣性半徑446424dddAIiixyx)1 (32)(32)d2(d44442222DdDAIDdA圓環(huán)形的慣性矩為)1 (642144DIIIyxDd 解：平行解：平行x軸取一窄長條，其面積為軸取一窄長條，其面積為dA=bdy，則，則例例2 3 求圖示矩形對通過其形心且與邊平行的求圖示矩形對通過其形心且與邊平行的x、y軸的慣性矩軸的慣性矩Ix、Iy。Cxyh/2b/2b/2h/2dyydA1232222bh)ydb(yAdyI/h/hAx123hbIy同理可得同理可得如何增大截面慣性矩如何增大截面慣性矩?趣味問題趣味問題村邊小溪村邊小溪, 木橋已斷木

9、橋已斷, 現(xiàn)有三板，尺寸相同，怎樣搭橋，現(xiàn)有三板，尺寸相同，怎樣搭橋，安全可靠安全可靠?第一個(gè)方法：把它們摞起來第一個(gè)方法：把它們摞起來第二個(gè)方法：把這三塊板牢固的粘在一起第二個(gè)方法：把這三塊板牢固的粘在一起實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析單平板的慣性矩單平板的慣性矩3012zbhIbhz03048zFlwEI方案一：三板疊放方案一：三板疊放 三板三心三板三心z1bhhh三塊板疊放時(shí)，力由三塊板承擔(dān)，每塊板只承受三分之三塊板疊放時(shí)，力由三塊板承擔(dān)，每塊板只承受三分之一，所以撓度就變成了單板撓度的一，所以撓度就變成了單板撓度的1/33013 483zwFlwEI方案二：三板粘合方案二：三板粘合 三板一心

10、三板一心zb3h三板組合，粘好粘緊，形成一塊整板，它就變成了一個(gè)截面。三板組合，粘好粘緊，形成一塊整板，它就變成了一個(gè)截面。就相當(dāng)于是一個(gè)寬為就相當(dāng)于是一個(gè)寬為b，高為，高為3h的板。的板。此時(shí)的慣性矩是此時(shí)的慣性矩是331(3 )27=271212zzbhbhII3300=48482727zzzwFlFlwEIEI（）它等于單板慣性矩的它等于單板慣性矩的27倍，等于三板疊放慣性矩的倍，等于三板疊放慣性矩的9倍。倍。它的撓度也變成了單板撓度的它的撓度也變成了單板撓度的1/27，是三塊板疊合時(shí)候的，是三塊板疊合時(shí)候的1/9。三板疊放，每塊板都是繞它自己的形心軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，叫三板疊放，每塊板都是繞它

11、自己的形心軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，叫三板三心。三板三心。三塊粘合，形成一塊整板，三塊板繞共同的一個(gè)形心軸轉(zhuǎn)動(dòng)三塊粘合，形成一塊整板，三塊板繞共同的一個(gè)形心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它就是三板一心，它就是三板一心團(tuán)結(jié)就是力量團(tuán)結(jié)就是力量思考：還有沒有更好的辦法？思考：還有沒有更好的辦法？2627同樣三塊板，由于做成的橫截面形狀不一樣，抵抗彎曲的能同樣三塊板，由于做成的橫截面形狀不一樣，抵抗彎曲的能力，相差巨大。力，相差巨大。這個(gè)就是慣性矩起的作用這個(gè)就是慣性矩起的作用工字鋼有兩種放置形式工字鋼有兩種放置形式29型鋼彎曲試驗(yàn)型鋼彎曲試驗(yàn)方案三：工字型方案三：工字型方案四：槽型方案四：槽型F判斷截面慣性矩大小的方法：判斷截面慣性

12、矩大小的方法：橫截面的面積，離形心軸越遠(yuǎn)，它的慣性矩就越大。橫截面的面積，離形心軸越遠(yuǎn)，它的慣性矩就越大。工字鋼豎放，截面的面積離中性軸最遠(yuǎn)，工字鋼橫放，截面工字鋼豎放，截面的面積離中性軸最遠(yuǎn)，工字鋼橫放，截面的面積離中性軸最近。的面積離中性軸最近。31工字鋼、槽鋼截面慣性矩的比較工字鋼、槽鋼截面慣性矩的比較截面面積離中性軸（對稱圖形即形心軸）越遠(yuǎn)，截面面積離中性軸（對稱圖形即形心軸）越遠(yuǎn)，截面的慣性矩越大。截面的慣性矩越大。32現(xiàn)代工程大跨度結(jié)構(gòu)中的現(xiàn)代工程大跨度結(jié)構(gòu)中的雙雙T字混凝土板字混凝土板333435竹子為什么是空心的？竹子為什么是空心的？因?yàn)榭招膱A的慣性矩大因?yàn)榭招膱A的慣性矩大常用

13、竹子或空心圓管做腳手架。常用竹子或空心圓管做腳手架。再看建筑結(jié)構(gòu)承載的大梁再看建筑結(jié)構(gòu)承載的大梁工字鋼豎放的形式工字鋼豎放的形式中國古代建筑的方梁，要從圓木中裁出來中國古代建筑的方梁，要從圓木中裁出來怎么裁出來才使它的強(qiáng)度和剛度都好呢？怎么裁出來才使它的強(qiáng)度和剛度都好呢？W抗彎截面系數(shù)要大抗彎截面系數(shù)要大I 截面慣性矩也要大截面慣性矩也要大40李誡李誡（10351110） 宋代人，主管皇家建造。宋代人，主管皇家建造。字明仲，鄭州管城縣（今河字明仲，鄭州管城縣（今河南新鄭）人。中國古代建筑南新鄭）人。中國古代建筑家、家、營造法式營造法式編纂者。編纂者。41營造法式營造法式 編于熙寧年間（編于熙寧

14、年間（1068-10771068-1077），），成書于元符三年（成書于元符三年（11001100），刊行于宋），刊行于宋崇寧二年（崇寧二年（11031103），是李誡在兩浙工），是李誡在兩浙工匠喻皓的匠喻皓的木經(jīng)木經(jīng)的基礎(chǔ)上編成的。的基礎(chǔ)上編成的。是北宋官方頒布的一部建筑設(shè)計(jì)、施是北宋官方頒布的一部建筑設(shè)計(jì)、施工的規(guī)范書，這是我國古代最完整的工的規(guī)范書，這是我國古代最完整的建筑技術(shù)書籍，標(biāo)志著中國古代建筑建筑技術(shù)書籍，標(biāo)志著中國古代建筑已經(jīng)發(fā)展到了較高階段。已經(jīng)發(fā)展到了較高階段。這本書影響中國建筑幾百年，近千年這本書影響中國建筑幾百年，近千年從北宋以后的元明清，所有從事建筑工程的，基本都是從

15、北宋以后的元明清，所有從事建筑工程的，基本都是靠這個(gè)靠這個(gè)營造法式營造法式成為一個(gè)建筑設(shè)計(jì)、施工的規(guī)范成為一個(gè)建筑設(shè)計(jì)、施工的規(guī)范它對圓木裁方給出了一個(gè)數(shù)據(jù)，圓木裁方高與寬之比應(yīng)該是它對圓木裁方給出了一個(gè)數(shù)據(jù)，圓木裁方高與寬之比應(yīng)該是3:243441.5恰好在這兩個(gè)數(shù)字之間，它兼顧兩者，非?？茖W(xué)恰好在這兩個(gè)數(shù)字之間，它兼顧兩者，非?？茖W(xué)4647四、慣性積：四、慣性積： 定義為圖形對定義為圖形對x、y軸的慣性積軸的慣性積AxyyzdAIZYzyyzdAdAO由于坐標(biāo)乘積由于坐標(biāo)乘積xy可能為正或可能為正或負(fù)，因此，負(fù)，因此，Ixy的數(shù)值可能為的數(shù)值可能為正也可能為負(fù)或?yàn)榱?。正也可能為?fù)或?yàn)榱?。?dāng)

16、整個(gè)圖形位于第一象限時(shí)，所有微面積dA的坐標(biāo)y、z均為正值，所以圖形對這兩個(gè)坐標(biāo)軸的慣性積必為正值。當(dāng)整個(gè)圖形位于第二象限時(shí)當(dāng)坐標(biāo)軸y、z中有一個(gè)是圖形的對稱軸時(shí)所有微面積dA的坐標(biāo)z均為正值，而y坐標(biāo)為負(fù)所以圖形對這兩個(gè)坐標(biāo)軸的慣性積必為負(fù)值。如圖z軸，z軸兩側(cè)微面積dA的z坐標(biāo)相同y坐標(biāo)數(shù)值相等符號相反，所以圖形對這個(gè)坐標(biāo)系的慣性積為零。2-2-3 3 組合圖形的慣性矩組合圖形的慣性矩一、平行移軸公式一、平行移軸公式 OxyCdAxCyCabyxxCyCACACAACCACAxdAydAyadAadAyayadAyadAyI2222222)2()(已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xO

17、y坐標(biāo)系下的坐標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(a，b)，求求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxICxACACAIdAydAyAdA20，ACCACACAACCCCACCAxydAyxdAybdAxadAabdAyxbyaxabdAyaxbxydAI)()(CCyxACCACACAIdAyxdAydAxAdA，00AaIICxx2AbIICyy2同理：abAIICCyxxy二、組合圖形慣性矩的計(jì)算二、組合圖形慣性矩的計(jì)算nii 1xxIInii 1yyIInii 1xyxyII例例 2-4 試計(jì)算圖示的組合圖形對形心軸的慣性矩 解解（1）計(jì)算形心C 的位置 設(shè)形心C 到X的距離為yc因?yàn)閳D形有縱向?qū)ΨQ軸，

18、所以形心必在此軸上0Cx將圖形分成、兩部分，它們對x軸的面矩分別為3132000)20240(2040mmS32120002202060mmS整個(gè)圖形對x軸的面矩為32144000mmSSSx整個(gè)圖形的面積221200020602040mmAAA,ccxyxyII、（2）計(jì)算圖形對形心軸的慣性矩422311036592040)2220240(124020mmIx42231021282060)22022(12206011mmIxmmASyxC222000440003440 202667 1012IyImmII32420 603600 1012yImmIII4436590021280057.9 1

19、0 xxxIIImmIII442667036000038.7 10yyyIIImmccxy25例求圖組合圖形對形心軸 ， 的慣性矩。解解：（1）計(jì)算形心C 的位置 x取 軸為參考軸16號槽鋼 2116.25cmA 414 .83cmIxcmzcmIy75. 193504116號工字鋼 42221130,1 .26cmIcmAx,1 .9342cmIy,160mmh 形心 mmyc9 .127101 .261016.2521601026.117.51601016.252222）（,2xyII（ ）計(jì)算整個(gè)圖形對形心軸的慣性矩22120)2()(211AhyIAyhzIIcxcxx42242254

20、83.4 10(17.5 160 127.9)25.16 101130 10160(127.9)26.1 102243 10 mm454410103101 .931093521mmIIIyyy當(dāng)互相垂直的兩根形心軸有一根是圖形的對稱軸時(shí)，則圖形對該對形心軸的慣性矩一為極大值，另一為極小值。在圖形平面內(nèi)，通過形心可以作無數(shù)根形心軸，圖形對各軸慣性矩的數(shù)值各不相同。可以證明，其中必然有一極大值與極小值具有極大值慣性矩的形心軸與具有極小值慣性矩的形心軸互相垂直cxcy如上例中對軸 的慣性矩為極大值，對軸 的慣性矩為極小值。 303055CC2C1y221y1zC1zC2例例2-6 求求T形截面對形心

21、軸的慣性矩形截面對形心軸的慣性矩先求形心的位置：取參考坐標(biāo)系如圖，則：即截面的形心軸。即截面的形心軸。、CCzy再求截面對形心軸的慣性矩：再求截面對形心軸的慣性矩：433ymm115601230512530IC yCzyCzC11221223.75iiCiA yA yA yymmAAA0Cz 由平行移軸定理得：由平行移軸定理得：22111222221112224()()(yy ) (yy )34530mmzczczczcczccIIa AIa AIAIA例2-7 已知三角形對底邊(x1軸)的慣性矩為bh3/12，求其對過頂點(diǎn)的與底邊平行的x2軸的慣性矩。bx1hx2xCh/3解：由于x1、x2

22、軸均非形心軸，所以不能直接使用平行移軸公式。123321123236CxxbhhbhbhIIa A需先求出三角形對形心軸xC的慣性矩，再求對x2軸的慣性矩，即進(jìn)行兩次平行移軸：223322236324CxxbhhbhbhIIa A2-2-4 4 轉(zhuǎn)軸公式和主慣性軸轉(zhuǎn)軸公式和主慣性軸平面圖形對y軸和z軸的慣性矩和慣性積為 ,2dAzIAydAyIAz2dAzyIAyz下面導(dǎo)出圖形對y1、z1軸的慣性矩及慣性積 dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 A21xdAyI11cos2sin22xyxyyxyIIIIII得到得到1| |=|yACADEBycosxsin

23、同理，利用同理，利用1|xOCOEBDxcosysin111 1xyxyxyx yIIIIII已知： 、 、 ，求、。dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy1 1sin2cos22xyx yxyIIII A2xdA)sinxcosy(I122cos2sincossinxxyyIII2222(cos2sincossin)AyxyxdA利用三角變換，得到利用三角變換，得到xy1x1dAy1x1 yx DEBACOy12cos2sin22xyxxyxyIIIIII轉(zhuǎn)軸公式：2222222221111cosIsinIIIsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyyxyxxyyxyxyx

24、yyxyxx注意：是x軸與x1軸的夾角，由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到x1軸時(shí)的為正。形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩；二、主慣性軸、主慣性矩二、主慣性軸、主慣性矩1.主軸的相關(guān)概念：主軸(主慣性軸)：慣性積等于零的一對正交軸；形心主軸：過圖形形心的主軸，圖形的對稱軸就是形心主軸由上式可求出相差90o的0，0+90o，分別對應(yīng)于一對相垂直的主軸x0、y0；求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：圖形對過某點(diǎn)所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對過該點(diǎn)主軸的兩個(gè)主慣性矩。2.主軸方位：利用主軸的定義慣性積等于零進(jìn)行求解；主軸與x軸的夾角:yxxyIII22tg0 與主軸方位的對應(yīng)關(guān)系：與主軸方位的對應(yīng)